李愛芳

2009年頒布的《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)新大綱》指出，“使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，具備必需的相關(guān)技能與能力，為學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)”。從2006年開始，浙江省麗水市組織“麗水市中職數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用大賽”，使同類職業(yè)學(xué)校在數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用方面進(jìn)行更多學(xué)習(xí)與交流。2016年5月，麗水市教育教學(xué)研究院組織開展了麗水市中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評比暨數(shù)學(xué)建模教學(xué)觀摩活動(dòng)，活動(dòng)對增強(qiáng)中職學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、提高中職數(shù)學(xué)教師開展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)能力有很大的現(xiàn)實(shí)意義。

一、中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)

中職數(shù)學(xué)建模的模型素材主要來源于數(shù)學(xué)教材內(nèi)容以及對數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的延伸、拓展和改編，應(yīng)該貼近學(xué)生的生活實(shí)際，具有一定的實(shí)踐性與趣味性。中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)一般先提出問題、引入正題，然后分析問題，在“引導(dǎo)—探索—?jiǎng)?chuàng)造”中建立模型，最后利用模型解決問題。根據(jù)中職學(xué)生的身心發(fā)展水平、已經(jīng)掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)，中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)。

案例1.中等職業(yè)學(xué)校教材·數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）第一冊·第87頁例5

模型假設(shè)：

一家旅社有客房300間，每間房租20元，每天都客滿。旅社欲提高檔次，并提高租金。如果每間房租增加2元，客房出租數(shù)會(huì)減少10間。不考慮其他因素時(shí)，旅社將房間租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金收入最高？

此題是課本一元二次函數(shù)內(nèi)容中作為典型例題的應(yīng)用題，它利用二次函數(shù)的最值或不等式的基本性質(zhì)可使問題獲解，具有代表性和實(shí)用性。此題背景是與人們生活密切相關(guān)的怎樣定價(jià)的問題，學(xué)生對此比較熟悉，也對學(xué)生有一定的吸引力。問題是學(xué)生如何把這一應(yīng)用題抽象化為數(shù)學(xué)模型。學(xué)生根據(jù)前面所學(xué)函數(shù)知識(shí)以及利用函數(shù)建模的意識(shí)，建立了如下的數(shù)學(xué)模型。

解：設(shè)提高x個(gè)2元，則將有10x間客房空出，則客房租金總收入為

y=（20+2x）（300-10x）

=-20x2+600x-200x+6000

=-20（x2-20x+100-100）+6000

=-20（x-10）2+8000.

由此得到，當(dāng)x=10時(shí)，ymax=8000，即每間租金為20+10×2=40（元）時(shí)，每天租金的總收入最高，為8000元。

根據(jù)此題目訓(xùn)練學(xué)生利用函數(shù)知識(shí)來建模是具有代表性的。該題雖然不算復(fù)雜，但是卻有相當(dāng)?shù)木C合性和典型性，內(nèi)涵比較豐富，利用它可以改編出很多高思維價(jià)值的數(shù)學(xué)題目。

改編題一：某書刊以每本2元價(jià)格發(fā)行，可發(fā)行10萬本，若每本價(jià)格提高0.20元，發(fā)行量將減少5000本，要使銷售收入達(dá)到最大，應(yīng)以多少元價(jià)格發(fā)行該書刊？

改編題二：某種商品每件進(jìn)價(jià)600元，零售每件1000元，經(jīng)過一段時(shí)間的試銷，發(fā)現(xiàn)若每件按1000元銷售時(shí)，平均每月可銷售100條，但若銷售價(jià)每降低1%時(shí)，每月的銷售量可增加10%。商店為取得銷售這種商品的最大收入，應(yīng)以每件多少元銷售為宜？

改編題三：某種商品只有A、B兩個(gè)商店有售，而且價(jià)格相同，但是A店的運(yùn)輸費(fèi)（即每千米運(yùn)費(fèi)）是B店的2倍，顧客可以函購（即書信、電子郵件或電話聯(lián)系后由商店送貨上門），已知A、B兩地相距12千米，什么范圍內(nèi)的居民從A店購買該種商品比較合算（即包括運(yùn)輸費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用較少）？

只要教師做個(gè)有心人，精心設(shè)計(jì)，課本中的數(shù)學(xué)問題大都可以挖掘出生活模型。開展切實(shí)有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)，能有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造活力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

二、中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜與專業(yè)有效整合

與專業(yè)課相銜接是中職數(shù)學(xué)教學(xué)改革的方向。中職學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的熱情遠(yuǎn)低于學(xué)習(xí)專業(yè)課，由于數(shù)學(xué)底子薄弱，許多中職學(xué)生放棄學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教師急需尋找出路。通過將數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)有機(jī)結(jié)合的探索與實(shí)踐，變革常規(guī)的課堂教學(xué)，使學(xué)生重新?lián)P起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情與動(dòng)力。從學(xué)生熟悉的生活實(shí)例或與專業(yè)有關(guān)的實(shí)例創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而鏈接數(shù)學(xué)知識(shí)，通過師生的共同探究，再將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于處理實(shí)際問題或?qū)I(yè)問題。教師要積極引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作，使每個(gè)學(xué)生都能主動(dòng)地參與進(jìn)來，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，也使學(xué)生懂得專業(yè)需要數(shù)學(xué)，生活離不開數(shù)學(xué)，從而達(dá)到預(yù)期的效果。

案例2.學(xué)生建模案例（片段）：做個(gè)精明的旅游者

數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)，可以涉及各個(gè)領(lǐng)域。比如在建筑中，工程師往往需要用數(shù)學(xué)來計(jì)算建筑的比例，比如洗衣節(jié)水問題等等。在生活中，需要學(xué)會(huì)許多數(shù)學(xué)技巧，雖然每次只能省下一點(diǎn)，可是如果數(shù)量多了，或是次數(shù)多了，那么積少成多，加起來也會(huì)是一大筆錢，而且這樣也可以為單調(diào)的買賣添加一些樂趣。旅游與數(shù)學(xué)的聯(lián)系也較為廣泛。當(dāng)要組織一個(gè)團(tuán)隊(duì)去旅游，我們時(shí)常猶豫是該跟旅游團(tuán)，還是自己組織去，哪一種比較合算一點(diǎn)。這就需要考慮人數(shù)、車型和車的數(shù)量以及門票等等的問題，不同的結(jié)果都關(guān)系著游客的利益。

模型假設(shè)：

假設(shè)總共有4個(gè)班準(zhǔn)備去游學(xué)活動(dòng)（旅游專業(yè)學(xué)生每學(xué)期1次），地點(diǎn)選擇在縉云仙都，時(shí)間為一天，中晚餐自理。假設(shè)四個(gè)班平均每班人數(shù)為30人，則學(xué)生人數(shù)為 30×4=120人，加上學(xué)校規(guī)定每班需帶上2位教師，所以總?cè)藬?shù)為 120+8=128（人）。

旅游景點(diǎn)：鼎湖峰、小赤壁、倪翁洞，門票分別為40元/人、10元/人、10元/人，憑學(xué)生證、教師證門票可以打五折。

大巴每輛可乘坐49人，租金為1700元；中巴每輛可乘坐29人，租金為1000元；小巴每輛可乘坐18人，租金為800元。

旅游團(tuán)的標(biāo)價(jià)為每人68元，全程有專業(yè)導(dǎo)游陪同，旅游集散中心有權(quán)利按實(shí)際人數(shù)調(diào)整車輛，且價(jià)格按25人核算，人數(shù)不足則需補(bǔ)足車費(fèi)。

模型建立：

如果128個(gè)人跟旅行社，每人平均付68元，共需128×68=8704（元）。

如果自己組織去，則需要租車。先考慮車型的搭配問題，通過調(diào)查的數(shù)據(jù)，進(jìn)行小組討論，得出8種租車方案。但要考慮空位不能太多以及租金不能太貴等問題，其中第8種方案空出的座位最少，但是第5種方案的租金最少，所以最終選擇第5種方案。大巴1輛、中巴3輛，空出座位8個(gè)，總計(jì)租金為1700+3×1000=4700（元）。

由于是自行組織去，門票只要30元每人，而3個(gè)景點(diǎn)票價(jià)為學(xué)生半票教師半票，則門票總計(jì)為128×30=3840（元），經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4個(gè)班自己組團(tuán)去仙都的租車費(fèi)需4700元，門票為3840元，總計(jì)4700+3840=8540（元）。

綜上可知跟旅行團(tuán)去共需8704元，每個(gè)人需要交68元；而自己組織去只需8540元，每個(gè)人需要交66.7元?？赡軅€(gè)人只差了68-66.7=1.3（元），但如果128個(gè)人則差了8704-8540=164（元）。所以在上述的假設(shè)下選擇方案5自行組織去。兩種旅游方式中差價(jià)164元的去向，主要是旅行社的利潤和導(dǎo)游費(fèi)，當(dāng)然可能這其中的差價(jià)不只164元，旅游團(tuán)與租車行和景點(diǎn)之間還可能存在某種優(yōu)惠。由于是一日游，而且用餐自理，所以不需要考慮住宿、餐飲等問題，可在此條件上得出自己組織去仙都比較劃算，而且自由度也大一點(diǎn)。如果需要考慮住房、吃飯等，則情況可能有所不同。

模型分析：

上述的計(jì)算過程都是在模型假設(shè)的前提下建立的，在現(xiàn)實(shí)生活中具有一定的局限性。比如在車型及座位的問題上，只是選取了其中的一小部分，事實(shí)上大、中、小巴都分別有很多不同的類型。在假設(shè)的前提下，本文對各種情況的考慮還算周到，對車型搭配的不同方案都詳細(xì)列出。

（作者單位：浙江省麗水市職業(yè)高級(jí)中學(xué)）