魏慧麗，何武光?，王 昭

(1. 湖北工程學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，湖北 孝感 432000；2. 德宏師范高等專科學(xué)校，云南 潞西 678400)

利用李薩如圖形確定頻率比的一種新方法

魏慧麗1，何武光1?，王 昭2

(1. 湖北工程學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，湖北 孝感 432000；2. 德宏師范高等專科學(xué)校，云南 潞西 678400)

在大學(xué)物理教學(xué)中分析李薩如圖像時(shí)，通常使用傳統(tǒng)的方法，即切點(diǎn)數(shù)反比法、或十字交點(diǎn)數(shù)反比法確定李薩如圖像水平與豎直方向分振動(dòng)頻率比。但切點(diǎn)數(shù)反比法無法確定有端點(diǎn)的李薩如圖像的頻率比，而十字交點(diǎn)數(shù)反比法分析時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)較多疑問。而此提出的新的分析方法——單曲線數(shù)正比法，其分析過程與分振動(dòng)物理含義結(jié)合緊密，容易理解，應(yīng)用簡單，對(duì)封閉以及有端點(diǎn)的李薩如圖形分析都適用。

李薩如圖形 頻率比 單曲線數(shù)正比法

1 引言

在大學(xué)物理教學(xué)中，示波器在不同頻率比、不同初相位以及不同的初相位差[1,2]等的信號(hào)源條件下，呈現(xiàn)出不同的李薩如圖像，如圖1所示。學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有教學(xué)中的方法，如切點(diǎn)數(shù)反比法，十字交點(diǎn)數(shù)反比法等，對(duì)李薩如圖像進(jìn)行分析，確定水平與豎直兩個(gè)分振動(dòng)的頻率比時(shí)，存在一些局限和疑問。針對(duì)此問題，我們?cè)诳偨Y(jié)和分析現(xiàn)有方法的基礎(chǔ)上，提出一種新方法——單曲線數(shù)正比法，讓學(xué)生更容易理解和掌握。

圖1 常見李薩如圖形

2 李薩如圖形頻率比的幾種確定方法

2.1 切點(diǎn)數(shù)反比法

對(duì)于封閉的李薩如圖形，我們利用切點(diǎn)數(shù)反比法可以很順利得到水平與豎直振動(dòng)的頻率之比。即假設(shè)一封閉的李薩如圖像內(nèi)切一矩形。李薩如圖形與矩形一水平邊切點(diǎn)數(shù)記為Nx，與矩形一豎直邊切點(diǎn)數(shù)為Ny，則水平振動(dòng)和豎直振動(dòng)的頻率之比等于水平邊切點(diǎn)數(shù)與豎直邊切點(diǎn)數(shù)之反比，表達(dá)式為：

但是對(duì)于如圖2(b)類似有端點(diǎn)的李薩如圖形，我們無法再利用切點(diǎn)數(shù)反比法計(jì)算頻率比。在此以水平和豎直振動(dòng)頻率比為3∶2的兩幅典型李薩如圖形為例，對(duì)以上結(jié)論做進(jìn)一步說明。如圖2(a)及(b)所示，李薩如圖形內(nèi)切于矩形ABCD。對(duì)于圖2(a)，封閉李薩如圖形與矩形AB邊切點(diǎn)數(shù)為Nx=2，與BC邊切點(diǎn)數(shù)為Ny=3，則水平與豎直方向振動(dòng)頻率之比為：

圖2 切點(diǎn)數(shù)反比法確定頻率比

即可驗(yàn)證封閉李薩如圖形水平與豎直方向振動(dòng)頻率之比等于水平與豎直切點(diǎn)數(shù)的反比。可以簡單解釋如下：封閉李薩如圖形與矩形水平邊AB的切點(diǎn)數(shù)表示豎直方向的分振動(dòng)完全振動(dòng)次數(shù)Nx，與矩形豎直邊BC的切點(diǎn)數(shù)代表的是水平方向分振動(dòng)的全振動(dòng)次數(shù)Ny。以AD邊切點(diǎn)F，G及BC邊切點(diǎn)E為例，在水平方向上，與切點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的有兩條單曲線EmF，EnG。在這里，我們所說的單曲線為水平方向或豎直方向兩邊界上，切點(diǎn)與切點(diǎn)或切點(diǎn)與交點(diǎn)之間李薩如圖像中的一段曲線。在AD和BC邊之間的一條單曲線代表李薩如圖形水平方向的一次半周期振動(dòng)，而單曲線EmF及EnG共同代表水平方向一個(gè)來回的全振動(dòng)，與BC邊的3個(gè)切點(diǎn)即代表水平方向三次全振動(dòng)，與AB邊的2個(gè)切點(diǎn)代表豎直方向的兩次全振動(dòng)。因此，得到結(jié)論：水平與豎直方向分振動(dòng)頻率之比等于水平方向與豎直方向的切點(diǎn)數(shù)的反比。

但是，此類結(jié)論針對(duì)如圖2(b)這類有端點(diǎn)李薩如圖形，并不太好解釋，因?yàn)椴缓么_定切點(diǎn)數(shù)。因此切點(diǎn)數(shù)反比法適合計(jì)算封閉的李薩如圖形的頻率比，而不適合有端點(diǎn)的李薩如圖形的頻率比計(jì)算。

2.2 十字交點(diǎn)數(shù)反比法

十字交點(diǎn)數(shù)反比法對(duì)于封閉和有端點(diǎn)的李薩如圖像的頻率比計(jì)算都適合[3]。在前面所述的方法——切點(diǎn)數(shù)反比法的基礎(chǔ)上，此方法需要再分別作一條水平和一條豎直的輔助線，即十字交叉線。假設(shè)李薩如圖形的所有單曲線與水平方向的交點(diǎn)數(shù)為Nx，與豎直線的交點(diǎn)數(shù)為Ny，則水平和豎直方向分振動(dòng)的頻率之比等于水平與豎直交點(diǎn)數(shù)的反比，表達(dá)式為：

我們?nèi)匀灰运胶拓Q直振動(dòng)頻率比為3:2的兩幅典型李薩如圖形為例，進(jìn)行解釋說明。如圖3(a)及(b)所示，分別在圖2(a)及(b)水平和豎直方向上畫兩條線，即十字交叉線OP和MN。先分析圖3(a)圖，李薩如圖形與水平線OP交點(diǎn)數(shù)Nx=4，與豎直線MN交點(diǎn)數(shù)為Ny=6，因此水平與豎直方向的分振動(dòng)的頻率之比為：

圖3 十字交點(diǎn)數(shù)反比法確定頻率比

再分析圖3(b)，李薩如圖形與OP交點(diǎn)數(shù)為Nx=2，與MN交點(diǎn)數(shù)為Nx=3，同理可得到水平與豎直方向的分振動(dòng)頻率之比為：

因此，水平與豎直分振動(dòng)的頻率之比，等于李薩如圖像的單曲線分別與十字線的水平線、豎直線交點(diǎn)數(shù)的反比。十字線交點(diǎn)數(shù)反比法適用于所有封閉和有端點(diǎn)的穩(wěn)定李薩如圖形?？梢越忉屚普撊缦拢豪钏_如圖像的單曲線分別與十字線中水平線交點(diǎn)數(shù)表示豎直方向的半周期振動(dòng)次數(shù)，與豎直線交點(diǎn)數(shù)代表水平振動(dòng)的半周期振動(dòng)次數(shù)。因此我們可以得到上述結(jié)論。這里需要注意的地方是，我們強(qiáng)調(diào)的是單曲線（如EmF，EnG）與十字線交點(diǎn)的數(shù)目，因此，當(dāng)十字交叉線經(jīng)過李薩如自身的交點(diǎn)時(shí)，即兩條單曲線的交點(diǎn)與其中一條十字線相交，如圖3(b)李薩如圖與虛線HQ的一個(gè)交點(diǎn)K，此處交點(diǎn)數(shù)應(yīng)記為2。

但是，在大學(xué)物理教學(xué)中用十字線交點(diǎn)數(shù)反比法講解，會(huì)有如下弊端：

（1）學(xué)生容易將李薩如圖像的單曲線與十字線的交點(diǎn)數(shù)目，理解為李薩如圖像與十字線的交點(diǎn)數(shù)目。即三線交于一點(diǎn)時(shí)容易出錯(cuò)，如圖3(b)中K點(diǎn)。另外，當(dāng)十字線處于切點(diǎn)處的交點(diǎn)也容易忽略，如圖3(b)中Q點(diǎn)；

（2）利用這種方法講解，學(xué)生的重點(diǎn)放在數(shù)交點(diǎn)的數(shù)目上，而非重點(diǎn)理解交點(diǎn)數(shù)目及數(shù)目比值所表示物理含義，因此即使得到錯(cuò)誤的結(jié)論，也很少覺察錯(cuò)誤的結(jié)果；

（3）這種方法需要作輔助線，有時(shí)李薩如圖形中的線條本身就比較密集，再作輔助線使得圖像更為復(fù)雜。

（4）學(xué)生在分析Nx與Ny兩個(gè)數(shù)據(jù)前后以及成反比時(shí)容易弄反，而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

基如此，我們提出了第三種方法——單曲線數(shù)正比法，見以下內(nèi)容分析。

2.3 單曲線數(shù)正比法

單曲線數(shù)正比法對(duì)于封閉和有端點(diǎn)的李薩如圖形都適用。大學(xué)物理教學(xué)中所介紹的李薩如圖形，幾乎都可以內(nèi)切于一個(gè)矩形。從水平方向，我們只需要計(jì)從矩形最左邊AD起始點(diǎn)（切點(diǎn)或交點(diǎn)處）到最右邊BC相應(yīng)的切點(diǎn)或交點(diǎn)處截止的所有單曲線數(shù)Nx，從矩形最上邊AB邊起始點(diǎn)（即與AB的切點(diǎn)或交點(diǎn)處）到最下邊DC相應(yīng)切點(diǎn)或交點(diǎn)截止的所有單曲線數(shù)Ny，則水平與豎直振動(dòng)頻率比等于相應(yīng)水平與豎直單曲線數(shù)之比，表達(dá)式為：

仍以頻率比為3:2的李薩如圖形為例，如圖4(a)及(b)所示，李薩如圖形與AD邊切點(diǎn)為E、F、G，與BC邊切點(diǎn)為H、I、J，則在水平方向上的單曲線數(shù)6條，分別為Em3I, Em4J, Fm1H, Fm6J, Gm2H, Gm5I。可解釋如下：每條單曲線表示這個(gè)方向的半周期振動(dòng)，單曲線數(shù)為6，則表示水平分振動(dòng)的半周期振動(dòng)的次數(shù)為6。同理，在同一時(shí)間里，豎直方向的半周期振動(dòng)次數(shù)為4。又半周期數(shù)之比等于整周期數(shù)之比，因此，水平與豎直方向振動(dòng)的頻率之比為：

圖4 單曲線數(shù)正比法確定頻率比

因此，水平和豎直分振動(dòng)的頻率之比等于水平與豎直方向單曲線數(shù)之比。此方法對(duì)封閉和有端點(diǎn)李薩如圖像計(jì)算兩分振動(dòng)的頻率比都適用。相對(duì)于前兩種方法，單曲線數(shù)正比法對(duì)于學(xué)生而言直觀，簡單，更容易理解其物理含義，甚至可以不用畫任何輔助線（圖4中的輔助線只為輔助說明分析），并且不容易出錯(cuò)，特別是頻率之比等于相應(yīng)方向有限長單曲線數(shù)目之比，而不是反比，大大提高學(xué)生分析正確率。

3 結(jié)論

現(xiàn)在大學(xué)教改正在如火如荼展開中，所學(xué)的內(nèi)容增多，有些課時(shí)不得不進(jìn)行大幅壓縮，大學(xué)物理的教學(xué)課時(shí)同樣如此，甚至是課時(shí)量對(duì)半減少。那么，如何在更少的課時(shí)，有效的傳授一些知識(shí)方法，不僅需要老師在備課中對(duì)教學(xué)內(nèi)容深入的鉆研和仔細(xì)的甄選，同時(shí)，也要對(duì)教學(xué)的方法做進(jìn)一步思考。而此方法針對(duì)相關(guān)內(nèi)容的講解，大大提高老師和學(xué)生教學(xué)過程中的成效性。因此，單曲線數(shù)正比法分析李薩如圖形的頻率比在課堂上推廣講解有一定積極意義。

[1] 張學(xué)文. 初相位對(duì)李薩如圖形的影響分析. 湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)[J]. 2000,20（1）: 56-60.

[2] 吉莉，劉景旺，孫光東. 用Excel測試?yán)钏_如圖形實(shí)驗(yàn)得出的新結(jié)論. 現(xiàn)代物理知識(shí)[J]. 2005, 17（2）：50-52 .

[3] 楊繼先. 李薩如圖形的性質(zhì)研究. 西華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)[J]. 2008, 27（6），98-100.

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：1003-7551(2016)02-0029-04

2016-05-19

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（B2015031）

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