駱 樺，劉 興

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

基于主成分分析的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對期權(quán)價格預(yù)測研究

駱 樺，劉 興

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

采用基于主成分分析的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對華夏上證50ETF期權(quán)價格進(jìn)行預(yù)測，并使用期權(quán)數(shù)據(jù)驗證該方法的有效性。比較傳統(tǒng)Black-Scholes期權(quán)定價、單個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對期權(quán)價格的預(yù)測精度，結(jié)果表明：基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測精度最高，傳統(tǒng)的Black-Scholes期權(quán)定價方法其預(yù)測精度最低。

期權(quán)價格；Black-Scholes期權(quán)定價；主成分分析；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0 引 言

金融市場中的期權(quán)是重要的金融衍生品，期權(quán)交易始于18世紀(jì)后期的美國和歐洲市場，1973年芝加哥期權(quán)交易所進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化合約的買賣后，期權(quán)得到迅猛發(fā)展。期權(quán)又被稱作選擇權(quán)，是指在未來一定期限內(nèi)可以買賣某種資產(chǎn)的權(quán)利，期權(quán)的買方向賣方支付一定的期權(quán)費(fèi)，擁有在未來一段時間或者特定時期以事先約定好的價格向賣方買入或者賣出一定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)價格變動影響著市場中投資者的利益，因此預(yù)測期權(quán)價格非常重要。2015年2月9日，中國大陸市場誕生了唯一一只可交易期權(quán)——華夏上證50ETF期權(quán)，研究該期權(quán)的價格變動對中國市場的投資者來說具有重要意義。

常用的期權(quán)價格預(yù)測方法有時間序列、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。時間序列方法中典型模型是ARMA模型[1]。李干瓊等[2]利用時間序列模型對農(nóng)產(chǎn)品市場價格進(jìn)行短期預(yù)測，模型預(yù)測誤差為10%；馬保忠等[3]利用時間序列分析對黃金期貨價格進(jìn)行擬合；尹玥[4]利用ARIMA模型對股票市盈率分析并預(yù)測。由于時間序列模型是一種線性模型，而期權(quán)價格呈現(xiàn)非線性，因此利用時間序列分析來研究期權(quán)價格有一定的缺陷。BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按照誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ?xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，能夠?qū)W習(xí)和儲存大量的輸入-輸出模式映射關(guān)系，在對各種隨機(jī)數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測上有著廣泛的應(yīng)用。董瑩等[5]利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期權(quán)；韋德民等[6]在Black-Scholes期權(quán)定價公式基礎(chǔ)上構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對中國市場上的權(quán)證價格進(jìn)行研究；王啟敢等[7]通過實證表明，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在我國權(quán)證市場上的定價效果優(yōu)于Black-Scholes期權(quán)定價方法；Laboissiere等[8]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及相關(guān)性分析來預(yù)測公司的股票價格。盡管很多研究表明利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法能提高精度，但是大多沒有考慮輸入輸出變量的設(shè)計。

本文提出了一種基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法來研究期權(quán)價格變動。構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重點在于輸入輸出變量的設(shè)計，本文對期權(quán)價格預(yù)測研究時，先對輸入變量進(jìn)行主成分分析，得到貢獻(xiàn)率較大的變量作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量，這樣可減少輸入變量的維數(shù)，優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提高預(yù)測精度。本文以50ETF期權(quán)價格為實證分析驗證該方法的可行性，同時比較傳統(tǒng)Black-Scholes期權(quán)定價方法、單個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法3種方法的期權(quán)價格預(yù)測精度，以驗證本文所提出算法的有效性。

1 實驗數(shù)據(jù)來源及輸入輸出變量設(shè)計

本文選擇中國大陸市場唯一上市可交易的期權(quán)——上證50ETF期權(quán)作為研究對象。該期權(quán)合約標(biāo)的是華夏上證50ETF(代碼為510050)，合約的履約方式為歐式，合約的到期月份為當(dāng)月、下月及最近的兩個季月，合約的最后交易日和行權(quán)日為合約到期月份的第4個星期三。本文以看漲期權(quán)為例，選擇50ETF購6月2.50(代碼為10000464)及其標(biāo)的資產(chǎn)自2015年11月5日到2016年3月17日的每日收盤價為樣本數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源于WIND資訊)，該數(shù)據(jù)分別包含90個交易日數(shù)據(jù)，其中前80個交易日的數(shù)據(jù)記為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，后10個記為樣本外數(shù)據(jù)。50ETF購6月2.50指的是2016年6月22日交割，執(zhí)行價為2.50的看漲期權(quán)。50ETF購6月2.50每日收盤價格序列如圖1所示。

圖1 50ETF購6月2.50每日收盤價格

50ETF購6月2.50的每日收盤價作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出變量?？紤]各影響因素以及滯后效應(yīng)，本文選擇以下變量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入變量：期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)分別滯后1、2、3、4、5d的價格、執(zhí)行價格、資產(chǎn)價格5d波動率和上海銀行間同業(yè)拆放利率Shibor 1年，共8個變量。這8個變量自2015年11月5日到2016年3月17日的數(shù)據(jù)來源于WIND資訊。

2 建立基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的期權(quán)價格模型

2.1 基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

主成分分析[9]是一種統(tǒng)計方法，通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量稱為主成分。在實際問題中，總體X的協(xié)方差矩陣Σ通常未知，需要由樣本進(jìn)行估計。設(shè)x1,x2,…,xn為取自總體X的樣本，每個樣本有p個指標(biāo)，則樣本xi可以表示為p維向量，即：

xi=(xi1,xi2,…,xip)T(i=1,2,…,n).

其中元素xij(j=1,2,…,p)表示描述該樣本的一個指標(biāo)。樣本表示為X=(x1,x2,…,xn)T。記樣本協(xié)方差矩陣S為：

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[10]由信號的正向傳播和誤差的反向傳播兩個階段組成。在正向傳播過程中，信號從輸入層輸入，經(jīng)過隱含層處理之后從輸出層輸出。如果從輸出層輸出的結(jié)果跟預(yù)期結(jié)果誤差大，則轉(zhuǎn)入反向傳播過程，將輸出結(jié)果誤差按照一定形式沿著網(wǎng)絡(luò)反向傳播，并且按照誤差函數(shù)的負(fù)梯度方向不斷修正各層的連接權(quán)值以及閾值，直至輸出誤差達(dá)到精度要求，從而實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的大量的輸入輸出的非線性映射。

2.2 基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的期權(quán)價格模型的建立與結(jié)果

模型變量包括期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格分別滯后1、

2、3、4、5 d值，執(zhí)行價格、資產(chǎn)價格5日波動率以及上海銀行間同業(yè)拆放利率Shibor 1年，共8個變量。首先對這8個變量做主成分分析，將8個變量所包含的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理后，得到它們對應(yīng)的特征值為：0.0061、1.9000、0.6391、0.6288、1.0062、1.3185、1.2965、1.2048。將這些特征值排序并計算貢獻(xiàn)率，結(jié)果見表1。

表1 輸入變量貢獻(xiàn)率結(jié)果表

計算得前6個特征值對應(yīng)的貢獻(xiàn)率累計達(dá)到92.07%，因此主成分有6個。對應(yīng)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量設(shè)計上，本文選擇表1中前6個特征值對應(yīng)的變量為輸入變量，即期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格分別滯后2、3、5d值，執(zhí)行價格、資產(chǎn)價格5日波動率以及上海銀行間同業(yè)拆放利率Shibor1年，共6個輸入變量。

利用這6個輸入變量數(shù)據(jù)構(gòu)造BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練參數(shù)如下：輸入層到隱含層的傳遞函數(shù)為tansig，隱含層到輸出層的傳遞函數(shù)為purelin；動量項系數(shù)為0.3，最大學(xué)習(xí)次數(shù)為5000，學(xué)習(xí)速率為0.25；網(wǎng)絡(luò)輸出與真實值之間的誤差采用均方誤差。初始權(quán)值和閾值為(-1,1)之間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，通過多次試驗確定隱含層的神經(jīng)元個數(shù)為5個?；谥鞒煞址治鏊鶚?gòu)建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為6-5-1。

圖2是基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值與實際值的比較結(jié)果，從圖中可以看出輸出值與實際值的誤差較小，這說明所構(gòu)建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效果良好。利用構(gòu)建好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可預(yù)測出后10個交易日的期權(quán)價格，結(jié)果見表3。

圖2 基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值與實際值比較

3 與兩種傳統(tǒng)期權(quán)價格預(yù)測模型比較

3.1 Black-Scholes期權(quán)定價

利用Black-Scholes隨機(jī)微分方程[11]得到的期權(quán)定價公式是一個連續(xù)時間的金融衍生品的定價模型。由于金融衍生品價格滿足Black-Scholes微分方程：

(1)

再結(jié)合邊界條件，可以求出金融衍生品的價格。以歐式看漲期權(quán)為例，其價格為：

f(t,St)=StΦ(d1)-Ke-r(T-t)Φ(d2)

(2)

其中：

在應(yīng)用Black-Scholes微分方程計算金融衍生品的理論價格時，本文作了如下假設(shè)：a)金融衍生品的剩余期限T-t的單位為年份；b)所采用的無風(fēng)險利率r為年利率；c)基礎(chǔ)資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差σ亦為年標(biāo)準(zhǔn)差，σ的計算方法如下：

這里采用上海銀行間同業(yè)拆放利率Shibor1年的60日均值3.2471%作為無風(fēng)險利率值，由期權(quán)合約標(biāo)的資產(chǎn)的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)計算得到收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.3307。以2016年3月3日到2016年3月10日的合約標(biāo)的資產(chǎn)價格，由式(2)通過計算可得后10個交易日的期權(quán)計算價格，結(jié)果見表2。

表2 基于Black-Scholes期權(quán)定價模型的50EFT購6月2.50的理論價格

3.2 單個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)價格預(yù)測

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量個數(shù)為8個，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練參數(shù)設(shè)置如下：輸入層到隱含層的傳遞函數(shù)為tansig，隱含層到輸出層的傳遞函數(shù)為purelin；動量項系數(shù)為0.3，最大學(xué)習(xí)次數(shù)為5000，學(xué)習(xí)速率為0.25；網(wǎng)絡(luò)輸出與真實值之間的誤差采用均方誤差。初始權(quán)值和閾值為(-1,1)之間的服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，通過多次試驗最終確定隱含層的神經(jīng)元個數(shù)為6個。因此構(gòu)建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為8-6-1，由構(gòu)建好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可預(yù)測出后10個交易日的期權(quán)價格，結(jié)果見表3。

表3 傳統(tǒng)期權(quán)價格預(yù)測模型與基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型結(jié)果比較

3.3 結(jié)果比較

表3是傳統(tǒng)期權(quán)價格預(yù)測模型與基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)價格預(yù)測模型結(jié)果比較，比較這3種方法的優(yōu)劣性，優(yōu)劣性由誤差大小來判定，誤差較小的方法較優(yōu)。本文選取兩種誤差，一是均方誤差MSD，二是平均絕對誤差MAD，它們的計算公式如下：

通過計算，得到3種方法的誤差見表4。

表4 3種方法預(yù)測期權(quán)價格誤差比較

從表4中可以看到：應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價模型得到的期權(quán)計算價格與實際值之間的誤差較大，其均方誤差MSD為6.3569×10-6，平均絕對誤差MAD為1.90×10-3；通過構(gòu)建單個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法以及基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法來預(yù)測期權(quán)價格得到的預(yù)測值與實際值間的誤差均較??；這三種方法中均方誤差和平均絕對誤差最小的是基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法?？梢娀谥鞒煞址治龅腂P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對期權(quán)價格預(yù)測可行，且其預(yù)測精度最高。

4 結(jié) 語

本文提出基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對期權(quán)價格預(yù)測研究，利用主成分分析對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的輸入變量進(jìn)行優(yōu)化，減少輸入變量維數(shù)，降低神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度，提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度。實驗結(jié)果表明，利用單個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對期權(quán)價格預(yù)測研究，其預(yù)測精度比傳統(tǒng)的Black-Scholes期權(quán)定價方法高，而基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法其預(yù)測精度比單個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法高。因此本文采用的基于主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對期權(quán)價格預(yù)測研究可行，且該方法的預(yù)測效果好。

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(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Study on Option Price Forecasting with Neural Network Algorithm Based on Principal Component Analysis

LUOHua,LIUXing

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

Neural network algorithm based on principal component analysis was applied to forecast the option price of Chinese Shanghai 50 ETF, and the option data were used to verify the effectiveness of the proposed method. Besides, we compared prediction accuracy among traditional Black-Scholes option pricing, single BP neural network algorithm and the BP neural network algorithm based on principal component analysis. The results show that the BP neural network algorithm based on principal component analysis has the highest prediction accuracy, and traditional Black-Scholes option pricing method has the lowest prediction accuracy.

option price; Black-Scholes option pricing; principal component analysis; BP neural network

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.01.020

2016-05-10

日期： 2017-01-03

國家自然科學(xué)基金項目(11401532)

駱 樺(1962-)，男，浙江諸暨人，副教授，碩士，主要從事金融數(shù)學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計方面的研究。

F830.91

A

1673- 3851 (2017) 01- 0122- 05