李夢曉，黃土森

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

一類廣義鞍結(jié)平面系統(tǒng)正規(guī)形的計(jì)算

李夢曉，黃土森

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

對(duì)于一類廣義鞍結(jié)系統(tǒng)，利用Carleman線性化方法，把非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無窮維上的線性系統(tǒng)，得到矩陣中具體項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，從而計(jì)算出它的正規(guī)形，并給出相應(yīng)的近恒等變量變換。文章提出的計(jì)算方法和結(jié)果把經(jīng)典正規(guī)形理論中只能計(jì)算具非零線性部分動(dòng)力系統(tǒng)的正規(guī)形,推廣到可以計(jì)算具零線性部分動(dòng)力系統(tǒng)的正規(guī)形情形；從計(jì)算過程中可以直接得出相應(yīng)的近恒等變量變換，從而解決了經(jīng)典正規(guī)形理論中只能在理論上說明相應(yīng)近恒等變量變換的存在卻無法給出具體變換的難題。該文結(jié)果為簡化分析這類退化系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

廣義鞍結(jié)系統(tǒng)；正規(guī)形；近恒等變量變換；Carleman方法

0 引 言

正規(guī)形理論是研究非線性微分方程奇點(diǎn)附近軌線結(jié)構(gòu)的基本工具之一。正規(guī)形理論研究的主要內(nèi)容是計(jì)算給定非線性微分方程的正規(guī)形以及相應(yīng)近恒等變量變換[1]。目前國內(nèi)外已提出了很多計(jì)算正規(guī)形的有效方法，例如直接計(jì)算法[2-3]、內(nèi)積法[4-5]、李括號(hào)法[6-7]等。這些方法主要計(jì)算了具有非零系數(shù)矩陣的非線性微分方程的正規(guī)形，但是受方法本身的限制，不能同時(shí)給出相應(yīng)的近恒等變量變換。然而，由于應(yīng)用學(xué)科中的許多非線性微分方程在奇點(diǎn)的系數(shù)矩陣為零矩陣，因此需要研究當(dāng)非線性微分方程在奇點(diǎn)的系數(shù)矩陣為零(即退化非線性微分方程)時(shí)正規(guī)形的計(jì)算問題。這方面的研究直到最近幾年才涉及，如：Algaba等[8]利用李括號(hào)法結(jié)合非線性微分方程的主系統(tǒng)的守恒-耗散分解研究了一類所謂廣義冪零系統(tǒng)，并解決了此系統(tǒng)按齊次分解的正規(guī)形計(jì)算及其解析可積性問題；Algaba等[9]利用李括號(hào)方法結(jié)合非線性微分方程的擬主系統(tǒng)的守恒-耗散分解研究了一類平面退化系統(tǒng)，并解決了此系統(tǒng)按擬齊次分解的正規(guī)形計(jì)算及其解析可積性問題；Algaba等[10]利用李括號(hào)方法結(jié)合非線性微分方程的擬主系統(tǒng)的守恒-耗散分解，研究了退化非線性微分方程按擬齊次分解的正規(guī)形計(jì)算及其中心問題；李夢曉等[11]利用Carleman方法計(jì)算了

(1)

的正規(guī)形。

本文利用Carleman方法研究另外一類所謂的廣義鞍結(jié)非線性微分方程

(2)

的正規(guī)型的計(jì)算，并給出所做的近恒等變量變換。由于系統(tǒng)(2)的最低次齊次項(xiàng)比系統(tǒng)(1)的最低次齊次項(xiàng)高一次，因此本文采用比文獻(xiàn)[11]中更復(fù)雜的近恒等變量變換計(jì)算系統(tǒng)(1)的正規(guī)形。

1 正規(guī)形的推導(dǎo)

考慮平面系統(tǒng)

(3)

(4)

k=4,5,…，

若記M(k,m)表示λ=(λ1,…,λn)矩陣構(gòu)成的線性空間，則D1k∈M(2,dk)。

經(jīng)典正規(guī)形理論計(jì)算正規(guī)形的一般步驟是：假定已經(jīng)求得系統(tǒng)的k-1階正規(guī)形，然后再求k階正規(guī)形[1]。而對(duì)于系統(tǒng)(3)，則需要假定已經(jīng)求得k+1階正規(guī)形，再去求k+2階正規(guī)形。為此本文做如下近恒等變換：

φ(x1,x2)=(x1,x2)T+ξk(x1,x2)，

其中：ξk(x1,x2)是待求的2維k次齊次多項(xiàng)式向量場，并且它在H∞的標(biāo)準(zhǔn)基下的表示分別為：

φ(mi)=mi+Ei,k+i-1mk+i-1+Ei,2k+i-2m2k+i-2+…+ Ei,(i-1)k+1m(i-1)k+1+Ei,ikmik，

于是，近恒等變量變換φ可以用矩陣形式表示如下：

其中：

先來求系統(tǒng)(3)的4階正規(guī)形，為此令k=2，并取k+2=4階截?cái)嗍?，即?/p>

所以

所以

所以

于是

D13E34-E12D24=

令E12中的元素分別為：

則

繼續(xù)令k=3，并取k+2=5階截?cái)嗍?，即?/p>

經(jīng)簡單計(jì)算得:

所以

又

所以

于是

類似地，當(dāng)k≥4時(shí)，取k+2次截?cái)嗍剑?/p>

經(jīng)簡單計(jì)算得

于是

因?yàn)?/p>

Dk,k+2=

又

所以

D13E3,k+2-E1kDk,k+2=

其中：

現(xiàn)為求出E1k中的元素，令

則求得E1k的第一行上各個(gè)元素。再令

則求得E1k的第二行各個(gè)元素，從而可給出：

綜上，本文得到系統(tǒng)(3)的正規(guī)形定理如下：

定理1 考慮形式為(3)的廣義鞍結(jié)平面系統(tǒng)，可通過近恒等變量變換化為正規(guī)形，使得4次齊次多項(xiàng)式向量場中非零參數(shù)系統(tǒng)最多有4個(gè)；5次齊次多項(xiàng)式向量場中非零參數(shù)系統(tǒng)最多有6個(gè)，而對(duì)于j≥6，j次齊次多項(xiàng)式向量場中非零參數(shù)系統(tǒng)最多有4個(gè)。

2 結(jié) 論

本文利用Carleman線性化方法計(jì)算出了一類廣義鞍結(jié)系統(tǒng)的正規(guī)形，把其正規(guī)形進(jìn)行簡化，使得5次齊次多項(xiàng)式向量場中最多有6項(xiàng)非零，而其它

的齊次多項(xiàng)式向量場中最多都只有4項(xiàng)非零，并給出所作的相應(yīng)近恒等變量變換。這些結(jié)果可以用于微分方程的可積性與中心問題的研究。

[1] CHOW S N, DRACHMAN B, WANG D. Computation of normal forms[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,1990,29(2)：129-143.

[2] BRUNO A D. Local Method in Nonlinear Differential Equations[M]. Berlin：Springer-Verlag,1989：1-38.

[3] CHEN G T, DORA J D. Further reduction of normal forms for dynamical systems[J]. Journal of Differential Equations,2000,166(1):79-106.

[4] ELPHICK C, TIRAPEGUI E, BRACHET M E, et al. A simple global characterization for normal forms of singular vector fields[J]. Physica D,1987,29(1/2)：95-127.

[5] CHUA L O, KOKUBU H. Norma forms for nonlinear vector fields：part i：theory and algorithm[J]. IEEE Transaction. Circuits and Systems,1988,35(7)：863-880.

[6] CHOW S N, HALE J K. Methods of Bifurcation Theory[M]. New York ：Springer-Verlag,1982:401-442.

[7] TAKENS F. Singularities of vector fields[J]. Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes études Scientifiques,1974,43(1)：47-100.

[8] ALGABA A, GARCIA C, GINE J. Analytic integrability for some degenerate planar systems[J]. Communications on Pure and Applied Analysis,2013,12(6)：2797-2809.

[9] ALGABA A, GARCIA C, GINE J. Analytic integrability for some degenerate planar vector fields[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations,2014,257(2)：549-565.

[10] ALGABA A, GARCIA C, GINE J. The center problem：a view from the normal form theory[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications.2016,434(1):680-697.

[11] 李夢曉,黃土森.一類退化平面系統(tǒng)的正規(guī)形的計(jì)算[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展,2016,5(1)：98-111.

(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Computation of Normal Forms for a Type of Generalized Planar Saddle-node System

LIMengxiao,HUANGTusen

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

For a type of generalized saddle-node system, nonlinear system is transformed to linear system on the infinite dimension by using the method of Carleman linearization. In this way, the recursive relation among the terms in the matrix the system is obtained and then its normal forms are computed. At the same time, the corresponding nearly identical transformation of variables is given. The calculation method and results in this paper generalize the computation of normal forms for non-linear differential equations with non-zero linear part in the classic theory of normal forms to that with zero linear part. The corresponding nearly identical transformation of variables can be directly gained from the calculation process, which solves the problem that classical theory of normal forms can explain the existence of nearly identical transformation of variables only in theory but cannot give the specific transformation. The results in this paper lay a foundation for simplify analyses of the dynamical behaviors of such type of degenerate system.

generalized saddle-node system; normal form; nearly identical transformation of variables; Carleman’s method

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.01.019

2016-04-07

日期： 2017-01-03

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY15A010021)

李夢曉(1992-)，女，河南焦作人，碩士研究生，主要從事微分方程定性理論方面的研究。

O175.14

A

1673- 3851 (2017) 01- 0116- 06