郭 亮，鄭俊娜

(浙江理工大學(xué)機械與自動控制學(xué)院，杭州 310018)

電磁懸浮高精密工作平臺建模研究

郭 亮，鄭俊娜

(浙江理工大學(xué)機械與自動控制學(xué)院，杭州 310018)

對一種6自由度電磁懸浮高精密工作平臺進行了建模研究，利用標(biāo)量磁位法和等效磁路法分別建立了平臺的直線電機和電磁鐵的電磁模型，并利用二維有限元和樣機實驗結(jié)果進行了模型準(zhǔn)確性驗證。進而針對等效磁路法無法準(zhǔn)確表征電磁鐵非線性電磁特性的問題，提出了一種新型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法。該方法將曲線擬合引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，可實現(xiàn)小樣本下的準(zhǔn)確學(xué)習(xí)。實驗結(jié)果表明：該建模方法可將計算誤差降至約3%，可滿足電磁懸浮工作平臺控制系統(tǒng)的精確建模要求。

高精密工作平臺；建模方法；有限元；解析法；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0 引 言

先進制造業(yè)對精密機械提出了加工范圍廣、自由度多和定位精度高等要求，磁懸浮式電磁工作臺成為國內(nèi)外研究的焦點，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種不同驅(qū)動平臺的結(jié)構(gòu)。Kim等[1]研制了一種由4個直線電機驅(qū)動的磁懸浮工作平臺，并使用矢量磁位法進行了建模和分析；該結(jié)構(gòu)具有6個自由度，x、y軸方向驅(qū)動范圍為數(shù)十厘米，具有良好的驅(qū)動范圍和精度，但其水平和垂直力均由直線電機提供，多個自由度間的電磁和機械耦合增加了控制的難度。為了進一步提高驅(qū)動范圍，Compter[2]提出了一種6自由度平面電機式磁懸浮工作平臺，并采用有限元法和矢量磁位法進行了建模和分析；該平臺同樣采用了4組繞組構(gòu)成二維陣列式結(jié)構(gòu)，提高了永磁體集成度，其動圈式結(jié)構(gòu)可使x、y軸方向驅(qū)動范圍在理論上無限擴展。張新華等[3]同樣提出了采用4組繞組陣列構(gòu)成的平面電機式磁懸浮工作平臺結(jié)構(gòu)，并分析了電流的配置方案。而Jansen等[4]提出的6自由度平面電機，寇寶泉等[5]提出的3自由度平面電機，郭亮等[6-7]提出的5自由度平面電機式磁懸浮工作平臺結(jié)構(gòu)，則進一步提高了繞組結(jié)構(gòu)的集成度，使得工作平臺結(jié)構(gòu)更加緊湊，運動體約束度進一步降低。但上述高集成度的平面電機式結(jié)構(gòu)均存在單一線圈必須同時提供x、y、z多軸作用力、多自由度間的磁場和電磁力耦合嚴(yán)重、動態(tài)過程中難以實現(xiàn)運動體空間姿態(tài)的精確調(diào)整等問題。

為了解決現(xiàn)有磁懸浮工作平臺中各自由度間的耦合問題，郭亮等[8]構(gòu)建了一種可實現(xiàn)水平力和懸浮力解耦控制的新型磁懸浮式工作平臺結(jié)構(gòu)。該平臺采用4個直線電機提供x軸、y軸方向的水平力，采用4個電磁鐵提供z軸方向的垂直懸浮力。該平臺驅(qū)動范圍與Kim等[1]提出的結(jié)構(gòu)驅(qū)動范圍近似，但從根本上解決了平面電機式磁懸浮工作平臺的水平和懸浮方向間的電磁場耦合問題，降低了控制的難度。文獻[8]主要對該平臺的結(jié)構(gòu)、原理進行了介紹，使用有限元法對其進行了建模和分析。本文將在文獻[8]基礎(chǔ)上對該工作平臺進行解析建模研究。雖然該平臺有限元模型的準(zhǔn)確性已得到證實，但其計算時間過長，不適用于優(yōu)化設(shè)計和平臺動態(tài)控制。建立可準(zhǔn)確、快速獲得電磁參數(shù)的解析模型是實現(xiàn)該工作平臺高精度控制的基礎(chǔ)，也是本文的主要研究內(nèi)容。

1 永磁直線電機建模

1.1 電磁懸浮式高精密工作平臺基本結(jié)構(gòu)

構(gòu)建的電磁懸浮式高精密工作平臺基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。運動體為集成的平臺式結(jié)構(gòu)，運動體上方安裝有4個電磁鐵，工作狀態(tài)下可通過分別調(diào)節(jié)電磁鐵中的直流電流，控制運動體z軸、θx和θy3個自由度內(nèi)的運動。運動體下表面粘貼有4組Halbach永磁體陣列，與下方的4組空心繞組對應(yīng)組成4個永磁直線同步電機。其中2個直線電機沿x軸放置，2個直線電機沿y軸放置，可分別提供x軸方向或y軸方向的水平推力。工作狀態(tài)下可通過分別調(diào)節(jié)直線電機交流電流幅值和相位，控制運動體x軸、y軸和θz3個自由度的運動。與文獻[8]中的平臺結(jié)構(gòu)相比，本文將4個電磁鐵的位置從平臺的4個角，分別移動至4條邊的中間。新結(jié)構(gòu)中θx和θy自由度的控制由原來的4個電磁鐵降為2個電磁鐵，進一步降低了控制的難度。

圖1 磁懸浮式高精度工作平臺結(jié)構(gòu)

設(shè)圖1中4個電磁鐵提供的懸浮力分別為f1z、f2z、f3z和f4z，兩個x軸方向放置的永磁直線電機提供的水平推力分別為f1x和f2x，兩個y軸方向放置的永磁直線電機提供的水平推力分別為f1y和f2y，l為直線電機中心到平臺中心線的距離，L為電磁鐵中心到平臺中心線的距離，則x軸、y軸、z軸和θx、θy、θz六個自由度受到的電磁力和扭矩公式分別如下：

(1)

其中：fx為x軸方向的推力；fy為y軸方向的推力；fz為z軸方向的懸浮力；Tx為繞x軸θx方向的扭矩；Ty為繞y軸θy方向的扭矩；Tz為繞z軸θz方向的扭矩。

由于該驅(qū)動平臺中電磁鐵和永磁直線電機結(jié)構(gòu)具有良好的對稱性，f1x、f2x、f1y和f2y的電磁模型和控制策略基本相同，f1z、f2z、f3z和f4z的電磁模型和控制策略基本相同。故下述研究中，將重點以x軸方向放置的永磁直線電機和任一電磁鐵為例，研究精確建模方法，最終得到電流幅值、電流相位、氣隙高度等輸入量與輸出電磁力f1x和f1z間的精確數(shù)學(xué)關(guān)系，為該平臺的精密控制提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

1.2 永磁直線電機解析法建模

該磁懸浮工作平臺水平驅(qū)動力由2個沿x軸方向和2個沿y軸方向放置的三相空心繞組式永磁直線同步電機提供。以x軸方向放置的電機為例，該電機基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。其永磁體采用Halbach式陣列結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可在繞組側(cè)形成較高的磁通密度，達到提高電機電磁力的目的。其永磁體水平磁化強度Mx和垂直磁化強度Mz的變化周期均為T=2τ(τ為極距)。設(shè)陣列中水平充磁與垂直充磁的永磁體寬度相等，均為τ/2，則磁化強度曲線分布如圖3所示。對磁化強度曲線進行周期延拓后，對其進行傅立葉分解，得到永磁體磁化強度公式為[1]：

(2)

圖2 Halbach永磁直線同步電機結(jié)構(gòu)

圖3 磁化強度曲線分布

根據(jù)麥克斯韋方程可知各區(qū)間下的磁場邊界條件為：

將式(2)帶入邊界條件，得出該永磁體矩陣在給定氣隙高度的磁密分量計算式為：

(3)

電機主要參數(shù)如表1所示，采用式(3)計算得到氣隙高度1mm處磁通密度的分布如圖4所示。圖中橫坐標(biāo)為x軸位置，縱坐標(biāo)為磁通密度的x軸分量。從式(3)可知，z軸分量與x軸分量幅值相同，僅存在相位差異。從圖4中可以看出，該解析模型得到的氣隙高度1 mm處的磁通密度為周期性良好的平頂波，周期為25.6 mm，幅值約為0.75 T。圖4所示的解析模型和有限元模型的磁密計算結(jié)果表明：雖然解析模型中采用的周期型拓展方法無法準(zhǔn)確地計算出永磁體橫向兩端磁場的衰減情況，但由于直線電機磁場沒有飽和，有限元模型和解析模型得到的磁通密度計算結(jié)果吻合度仍然十分良好。兩種計算方法的氣隙磁密差值僅約為0.01 T，僅為幅值的1.2%，因此解析模型的準(zhǔn)確性得到了有效驗證。

表1 永磁直線同步電機主要參數(shù)表

圖4 氣隙高度1 mm處的磁通密度分布

由于沿x軸方向放置的直線電機繞組中電流僅有y軸分量I，根據(jù)洛倫茲力基本公式[9]，可得永磁直線電機中電磁力積分公式為：

(4)

其中：h為繞組z向厚度；lx為直線電機x軸方向有效長度；ly為電機y軸方向有效寬度；J為繞組的電流密度。

分解上式中的磁通密度x和z分量，并以面電流的方式引入三相繞組電流，式(4)可細(xì)化為：

(5)

其中：Fx為水平推力；Fz為垂直吸力；Ja為A相繞組的電流密度；Jb為B相繞組的電流密度；Jc為C相繞組的電流密度。

當(dāng)三相繞組初始位置如圖2所示時，以A相繞組電流為例，其線電流密度在空間的分布如下：

(6)

其中：Jm為電流密度幅值；θ為電流相位角。

(7)

將電流相位：θ=-πx/τ+θ0代入式(7)，僅考慮磁場基波和含量較高的5次諧波，忽略磁場中的高次諧波，可得動子z軸高度為g mm，沿x軸平動時的水平推力和懸浮吸力分別為：

(8)

由式(8)可知，直線電機水平推力和懸浮力與電流初始相位角θ0有關(guān)。由于該平臺僅需直線電機提供水平推力，故控制時需保持θ0為0，即id=0，此時水平方向的推力為最大值，而垂直方向的懸浮吸力為0。推力幅值與極距、電流密度、繞組縱向長度成正比，與懸浮高度呈指數(shù)性衰減。雖然在5次諧波磁場作用下，電磁力會產(chǎn)生6次頻的微幅波動，但圖5所示的相電流有效值為1 A，動子高度為2 mm時的推力變化曲線表明，推力均值為27.5 N時，波動幅值僅為均值的2%，推力波動可近似忽略。與有限元分析結(jié)果的對比證實，解析模型計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果之間差值僅為0.02 N，小于均值的0.1%，進一步證實了解析模型的準(zhǔn)確性。

圖5 推力波動

2 電磁鐵建模

2.1 電磁鐵解析法建模

高精度工作平臺的上方放置4塊圓柱形電磁鐵，利用電磁鐵與平臺上表面鐵板之間的吸力，可實現(xiàn)懸浮方向的驅(qū)動。平臺4個邊的懸浮高度可由4個電磁鐵的勵磁電流進行分別控制。當(dāng)4個電磁鐵的受力不均衡時，平臺將圍繞x和y軸產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)。4個電磁鐵的結(jié)構(gòu)對稱，其軸剖面如圖6所示。

圖6 電磁鐵懸浮結(jié)構(gòu)圖

圖6中的電磁鐵結(jié)構(gòu)包括電磁鐵鐵心、平臺上部鐵板以及兩層氣隙部分，分析中采用等效磁路法進行計算。圖6中右半側(cè)示出了電磁鐵中的等效磁路，其中Rt1、Rt2、Rt3代表了電磁鐵各部分鐵心對應(yīng)的磁阻值，Rg1、Rg2代表了各部分氣隙對應(yīng)的磁阻值?；谀芰縒m導(dǎo)數(shù)法，電磁吸引力Fm(g,i)可由式(9)得到：

(9)

(10)

2.2 樣機實驗驗證

為了驗證解析模型的準(zhǔn)確性，本文構(gòu)建了電磁鐵樣機并搭建了圖7所示的電磁懸浮測試系統(tǒng)。懸浮電磁鐵的主要參數(shù)如表2所示。系統(tǒng)構(gòu)架平臺下方固定了一片4 mm厚鐵片，電磁鐵采用吸附方式實現(xiàn)懸浮，懸浮高度由電渦流傳感器實時檢測，并通過數(shù)據(jù)采集卡將數(shù)據(jù)輸送至上位機，上位機通過控制驅(qū)動電路運行，以達到調(diào)節(jié)懸浮高度的目的。為了驗證解析模型的準(zhǔn)確，樣機實驗中保持平臺結(jié)構(gòu)重量不變，通過調(diào)節(jié)電磁鐵輸入電流，對電渦流傳感器輸出的平臺懸浮高度變化曲線進行了檢測，得到的實驗結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看出解析模型計算得到的數(shù)值與實驗值差異較大，均差約為16.1%，且隨著電流的增加，誤差呈增大趨勢。

圖7 電磁鐵測試系統(tǒng)照片

產(chǎn)生誤差的原因主要有兩點：a)吸附鐵板和電磁鐵采用的電工純鐵材料易飽和，BH曲線非線性強，而解析模型難以準(zhǔn)確描述磁場飽和引起的非線性影響，常忽略鐵心磁阻的存在；b)電磁鐵和吸附鐵皮間、電磁鐵內(nèi)外鐵心之間均存在漏磁，且漏磁會隨著懸浮高度的變化而改變，解析模型對此難以準(zhǔn)確模擬。故本文采用的解析方法不適用于電磁鐵的精確建模。

圖8 懸浮高度隨電流變化情況

2.3 電磁鐵的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法建模

有限元法與解析法相比，可以更加真實地描述分析對象的非線性材料特性和漏磁分布，適合計算磁場飽和系統(tǒng)的電磁特性。但有限元法計算耗時較長，不適用于參數(shù)多變且實時性要求高的控制系統(tǒng)建模。

為了有效縮短有限元建模所需計算時間，本文以有限元計算結(jié)果為學(xué)習(xí)樣本，采用具有誤差反傳的前饋BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對工作平臺的電磁力特性進行建模。為了解決因有限元計算結(jié)果有限而引起的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)小樣本學(xué)習(xí)誤差問題，在建模過程中引入了曲線擬合方法。

由于電磁懸浮力的大小主要由電磁鐵的電流及其與平臺間的氣隙高度決定，故在本研究中詳細(xì)分析了電磁鐵電流在0～0.4 A、氣隙高度在0.2～4.0 mm范圍內(nèi)變化時，懸浮力的變化情況。并基于有限元分析結(jié)果進行了多項式曲線擬合，得到了在一定的電流或者氣隙高度下電磁力的變化公式。圖9

為電磁鐵不同勵磁電流下電磁懸浮力隨氣隙高度變化的曲線族，從圖中可以看出多項式擬合效果良好，各電磁力擬合結(jié)果與初始值的均差值均小于2%。

圖9 懸浮力隨電流和氣隙高度變化

以曲線擬合結(jié)果為樣本，將電磁鐵電流、電磁鐵氣隙作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，可分別利用如圖10所示的三層前向網(wǎng)絡(luò)對電磁鐵懸浮力模型Fz(I,g)進行辨識。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層神經(jīng)元2個，中間隱層神經(jīng)元50個，輸出層神經(jīng)元1個，激勵函數(shù)采用連續(xù)可導(dǎo)的tan-sigmoid函數(shù)，激發(fā)函數(shù)采用線性函數(shù)，訓(xùn)練初始權(quán)系數(shù)在0～1之間隨機選取，學(xué)習(xí)率為0.08，在訓(xùn)練1812步后，達到滿足誤差指標(biāo)所要求的精度10-5。

圖10 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

為了驗證BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的準(zhǔn)確性，本文對比分析了學(xué)習(xí)樣本以外的，氣隙高度為1.5 mm時的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計算結(jié)果與樣機實驗測量結(jié)果，結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對磁懸浮力的計算結(jié)果準(zhǔn)確，故推導(dǎo)得出的懸浮高度與實驗結(jié)果吻合良好，誤差均值僅約為3.42%。與解析模型計算結(jié)果相比，誤差均值降低了12.64%，準(zhǔn)確度大幅提升。

表3 不同電流下懸浮高度的計算和測量數(shù)據(jù)

3 結(jié) 論

本文針對一種可實現(xiàn)推力和懸浮力解耦的磁懸浮式工作平臺進行了建模研究。研究中分別使用標(biāo)量磁位法和等效磁路法對工作平臺中的永磁直線電機和電磁鐵部件進行了電磁場和電磁力分析，并分別進行了有限元仿真和實驗驗證。有限元和樣機結(jié)果證實永磁直線電機的解析模型誤差僅為0.1%，但電磁鐵解析模型誤差高達16.1%。

針對解析模型無法準(zhǔn)確表征電磁鐵非線性特征的問題，本文提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法。該方法將曲線擬合引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模，解決了以有限元結(jié)果為參照的小學(xué)習(xí)樣本問題。實驗結(jié)果表明：該方法可有效實現(xiàn)對非線性系統(tǒng)的建模，在保持有限元法計算精度的基礎(chǔ)上，有效地提高了計算速度，適用于實時仿真和控制。

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(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Research on Modeling of Electromagnetic Suspension High-Precision Working Platform

GUOLiang,ZHENGJunna

(Faculty of Mechanical Engineering & Automation, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

The modeling research was carried out for a electromagnetic suspension high-precise working platform with six degrees of freedom. The scalar magnetic potential method and equivalent magnetic circuit method were used to build the electromagnetic models of the linear motors and electromagnets respectively. And the accuracy of the models was verified by using two-dimensional finite element and experiment results of the prototype respectively. Then, a new BP neural network modeling method was proposed, for the equivalent magnetic circuit method could not accurately represent nonlinear electromagnetic property of electromagnet. The new method introduced curve fitting in the BP neural network technology to improve the learning accuracy under small sample. As proved by the experimental results, the error of the modeling method can decrease to about 3%. It can fully meet the accuracy requirement of the control systems of electromagnetic suspension high-precise working platform.

high-precision working platform; modeling method; FEA; analytical method; BP neural network

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.01.012

2016-01-14

日期： 2016-12-09

浙江省自然科學(xué)基金項目(LY14E070008)

郭 亮(1979-)，女，山東濟寧人，副教授，主要從事電機設(shè)計和優(yōu)化方面的研究。

TM153

A

1673- 3851 (2017) 01- 0071- 06