王雪

引 言

對(duì)于含有參數(shù)激勵(lì)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)是振動(dòng)理論中的一類經(jīng)典系統(tǒng)，對(duì)它的研究是極其豐富而又復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)此已經(jīng)有了大量的研究[9].然而，對(duì)于含有參數(shù)激勵(lì)的非線性時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的研究，相關(guān)的文獻(xiàn)較少，僅限于文獻(xiàn)[10][1]等少量工作.

本文用某些承受周期激勵(lì)的地震波和具有時(shí)滯彈性地基作用的結(jié)構(gòu)為背景[2]，因?yàn)榈鼗哂幸欢ǖ拈L(zhǎng)度，當(dāng)彈性力在特定的時(shí)刻作用在物體上時(shí)沒(méi)有馬上導(dǎo)致物體活動(dòng)狀態(tài)，而是必須經(jīng)過(guò)固定的時(shí)間距離，在物體的加速度達(dá)到均衡狀態(tài)的時(shí)候，物體初步活動(dòng).在這個(gè)階段一定包含著時(shí)間滯后，同時(shí)，在處理相關(guān)實(shí)際難點(diǎn)的體系開(kāi)展探索時(shí)，滯量是必須重視的.所以，去掉滯量就不能使精確度準(zhǔn)確，嚴(yán)重的能引起體系紊亂，總而言之，最后的數(shù)學(xué)模型為：

x··-（α-βx·2）x·+x（t-τ）+γx3（t-τ）+（KcosΩt）x=0（1）

其中K=εL，L=1，2，3，…，ε是一個(gè)小參數(shù).Ω≈2ω，t為時(shí)間，τ為時(shí)滯量，t>0，τ>0.

當(dāng)γ=ε=0時(shí)，系統(tǒng)（1）的Hopf分支以及穩(wěn)定性分析已經(jīng)在文獻(xiàn)[8]中進(jìn)行了研究，本文主要是研究在該系統(tǒng)存在Hopf分支的情況下，外加周期參數(shù)擾動(dòng)時(shí)，調(diào)和解是否穩(wěn)定的問(wèn)題.本文主要運(yùn)用多尺度分析的方法討論（1）中介紹的地震波方程在周期參數(shù)擾動(dòng)下，仍然存在穩(wěn)定的周期解的問(wèn)題，并給出解的近似表達(dá)式.

一、調(diào)和解的存在性

對(duì)于系統(tǒng)（1）存在調(diào)和解：

定理1.1

ⅰ.當(dāng)τγ1-β1>0，ατ-2>0，1-2σω>0 時(shí)，系統(tǒng)（1.1）存在調(diào)和解，

此時(shí)a=a01=16·-（τω2+α）ω2[（β1-τγ1）ω2+（β1ω2+αγ1）（1-ατ）]>0，b=b′01>0.

ⅱ.當(dāng)ατ-1=0且τγ1-β1=0，且（1-2σω）（τα-2）同號(hào)時(shí)，系統(tǒng)（1.1）存在調(diào)和解，

此時(shí)a=a02=（τα-2）ω-σ[（τω2+α）2+ω2（τα-2）2]6[τβ1ω5+（2γ1+αβ1）ω3+α2γ1ω]>0，b=b′02>0.

ⅲ.當(dāng)1-2σω<0，ατ-2>0，τγ1-β1>0時(shí)，系統(tǒng)（1.1）存在調(diào)和解，

此時(shí)a=a03=a01>0，b=b03=b′01>0.

二、調(diào)和解的穩(wěn)定性定理

記f（a，b）=ma+（n+σ2）b+6（-mQ-nP）a2b+6（mP-nQ）ab2+6（mP-nQ）a3+6（-nP-mQ）b3，

g（a，b）=（n-σ2）a-mb+6（mP-nQ）a2b+6（mQ+nP）ab2+6（nP+mQ）a3+6（mP-nQ）b3.

則有：

f（a，b）a=m+12（-mQ-nP）ab+6（mP-nQ）b2+18（mP-nQ）a2，

f（a，b）b=（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2+12（mP-nQ）ab+18（-nP-mQ）b2，

g（a，b）a=（n-σ2）+12（mP-nQ）ab+6（mQ+nP）b2+18（nP+mQ）a2，

g（a，b）b=-m+6（mP-nQ）a2+12（mQ+nP）ab+18（mP-nQ）b2.

當(dāng)a=a>0，b=b=0時(shí)，

f（a，b）aa=a*

b=b*=m+18（mP-nQ）a2，

f（a，b）ba=a*

b=b*=（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2，

g（a，b）aa=a*

b=b*=（n-σ2）+18（nP+mQ）a2，

g（a，b）ba=a*

b=b*=-m+6（mP-nQ）a2.

得到雅可比陣記為A=m+18（mP-nQ）a2 （n+σ2）+6（-mQ-nP）a2（n-σ2）+18（nP+mQ）a2 -m+6（mP-nQ）a2

其特征方程為A-λE=m+18（mP-nQ）a2-λ （n+σ2）+6（-mQ-nP）a2（n-σ2）+18（nP+mQ）a2 -m+6（mP-nQ）a2-λ=[m+18（mP-nQ）a2-λ][-m+6（mP-nQ）a2-λ]-[（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2][（n-σ2）+18（nP+mQ）a2]=λ2-[24（mP-nQ）a2]λ+[12n2P-12m2P+36mnQ+12σnP+6σmQ]a2+108（mP-nQ）a4+108（-mQ-nP）（nP+mQ）a4-m2-n2-σ24.

由一元二次方程求根公式λ=-b±b2-4ac2a，

其中a=1，

b=-24（mP-nQ）a2，

c=[12n2P-12m2P+36mnQ+12σnP+6σmQ]a2+108（mP-nQ）a4+108（-mQ-nP）（nP+mQ）a4-m2-n2-σ24.

當(dāng)b=-24（mP-nQ）a2>0，即mP-nQ<0時(shí)，λ就有實(shí)部小于零的根，此時(shí)系統(tǒng)的調(diào)和解是穩(wěn)定的.對(duì)調(diào)和解的討論中滿足mP-nQ<0，在此條件下的調(diào)和解是穩(wěn)定的.其他兩個(gè)條件下的調(diào)和解是不穩(wěn)定的.

于是有

定理2.1 當(dāng)1-ατ=ε>0即mP-nQ<0時(shí)，系統(tǒng)（3.1）存在穩(wěn)定的調(diào)和解，

此時(shí)a=a02=（τα-2）ω-σ[（τω2+α）2+ω2（τα-2）2]6[τβ1ω5+（2γ1+αβ1）ω3+α2γ1ω]>0，b=b′02>0.

三、調(diào)和解的近似表達(dá)式

由x0（T0，T1）=A（T1）eiωT0+cc ，其中A=A（T1）=[a（T1）+ib（T1）]eiσT12

得x0（T0，T1）=[a（T1）+ib（T1）]eiσT12eiωT0+cc =（a+ib）cos（σ2T1）+isin（σ2T1）cos（ωT0）+isin（ωT0）+cc =（a+ib）[cos（σ2T1）cos（ωT0）+icos（σ2T1）sin（ωT0）+isin（σ2T1）cos（ωT0）-sin（σ2T1）sin（ωT0）]+cc =2a[cos（σ2T1）cos（ωT0）-sin（σ2T1）sin（ωT0）]-2b[cos（σ2T1）sin（ωT0）+sin（σ2T1）cos（ωT0）] =2acos（ωT0+σ2T1）-2bsin（ωT0+σ2T1）.

再由D02x1-αD0x1+x1（T0-τ，T1）=A3e3iωT0（-γ1e-3iωτ+iβ1ω3）+12Aei（3ω+εσ）T0，

可解得：x1（T0，T1）.

于是經(jīng)過(guò)參數(shù)激勵(lì)后，系統(tǒng)（3.1）仍能得到穩(wěn)定的調(diào)和解：

x（t）=x0（T0，T1）+εx1（T0，T1）+o（ε2）.

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