丁南麗

1.角的有關(guān)概念

（1）從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角。

（2）從終邊位置來(lái)看，角可分為象限角與軸線角。

（3）若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β=2kπ+α，kZ。

2.弧度與角度的互化

我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角，如何判斷角度以及對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的符號(hào)，我們引入了單位圓。

1.任意角的三角函數(shù)

（1）定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正負(fù)之分，由旋轉(zhuǎn)方向決定 3.還有零角， 一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn)。要點(diǎn)闡釋 任意角的三要素：題型一 ：鐘表走了兩個(gè)半小時(shí)，，分針?biāo)D(zhuǎn)的角度是多少？角的符號(hào)主要由旋轉(zhuǎn)方向決定角。題型二： 比較下面三個(gè)角的大小 根據(jù)角的符號(hào)判斷規(guī)律。誤區(qū)解密：下列四個(gè)命題中，正確的是（ ） A.第一象限的角必是銳角。（學(xué)生這方面犯錯(cuò)比較多，初中主要學(xué)的是銳角，特別是特殊角。） B.銳角必是第一象限的角。C.終邊相同的角必相等。（從橫軸正方向開(kāi)始，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角是正角，多轉(zhuǎn)一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。錯(cuò)解：D 錯(cuò)誤分析：在象限角中，做題的時(shí)候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。銳角必是第一象限的角 糾錯(cuò)心得： 對(duì)于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋轉(zhuǎn)方向。初中對(duì)于角的認(rèn)識(shí)只限于0 ° ——360°，在剛接觸任意角時(shí)容易忽略任意角的方向，任意角的旋轉(zhuǎn)方向是有始邊到終邊決定的。注意： 任意角是有方向的，角的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定 任意角的大小事沒(méi)有限制的，角可以任意大小，絕對(duì)值大小由旋轉(zhuǎn)次數(shù)及終邊位置決定 描述任意角時(shí)需要注意三個(gè)要素，尤其是旋轉(zhuǎn)方向。（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量。）

借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義。根據(jù)三角函數(shù)的定義，能夠判斷三角函數(shù)值的符號(hào)。通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。單位圓對(duì)于學(xué)生理解任意角三角函數(shù)的正負(fù)有極大的幫助。當(dāng)一個(gè)角出現(xiàn)時(shí)，我們首先判斷它的象限，利用單位圓的知識(shí)很方便?，F(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)變化都有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫這種變化？我們要來(lái)學(xué)習(xí)刻畫這種規(guī)律的數(shù)學(xué)模型之一 ——三角函數(shù)。

三角函數(shù)是與角有關(guān)的函數(shù)，在學(xué)習(xí)任意角概念時(shí)，我們知道在直角坐標(biāo)系中研究角，可以給學(xué)習(xí)帶來(lái)許多方便，比如我們可以根據(jù)角終邊的位置把它們進(jìn)行歸類，現(xiàn)在大家考慮：若在直角坐標(biāo)系中來(lái)研究銳角，則銳角三角函數(shù)又可怎樣定義呢？

學(xué)生情況估計(jì)：學(xué)生可能會(huì)提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)。

問(wèn)題：1.銳角三角函數(shù)能否表示成第二種比值方式？

2.點(diǎn)P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3.點(diǎn)P在哪個(gè)位置，比值會(huì)更簡(jiǎn)潔？符號(hào)決定于什么？橫軸和縱軸決定什么？（引出單位圓的定義）。指出sina=MP的函數(shù)依舊表示一個(gè)比值，不過(guò)其分母為1而已。

三角函數(shù)首先是函數(shù)。你能從函數(shù)觀點(diǎn)解析三角函數(shù)嗎？（定義域）

對(duì)于確定的角a，上面三個(gè)函數(shù)值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合和實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)。

新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數(shù)的定義是否也該推廣到任意角的三角函數(shù)的定義呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到新知識(shí)的發(fā)生是可能的，自然的。

其次，到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢？讓學(xué)生提出自己的想法，同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的？因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，科學(xué)的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突。在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成，在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思。這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解。理解了單位圓的概念，我們判斷三角函數(shù)的符號(hào)及特殊角容易多了。

再次，讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想。我們引導(dǎo)學(xué)生從以前的銳角和鈍角的知識(shí)擴(kuò)充到任意角，依靠單位圓和特殊角的三角函數(shù)求解任意角。學(xué)生在自己的腦子里應(yīng)該有單位圓的圖形，把角化成0°——360°的范圍后，就可以用單位用的知識(shí)判斷角的符號(hào)。剛判斷是容易忽略角的方向，我們規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)角，把四個(gè)象限的角分正角和負(fù)角找出范圍，就可以判斷角的象限。學(xué)生理解了任意角對(duì)于三角函數(shù)非常重要。計(jì)算三角函數(shù)的值方便快捷、準(zhǔn)確。