陳愛(ài)霞,梁智勇，馮慧敏

(1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北省機(jī)器學(xué)習(xí)與計(jì)算智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 保定 071002；2.河北省信息工程學(xué)校 財(cái)務(wù)科，河北 保定 071000)

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一種基于Choquet積分的不精確推理方法

陳愛(ài)霞1,梁智勇2，馮慧敏1

(1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北省機(jī)器學(xué)習(xí)與計(jì)算智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 保定 071002；2.河北省信息工程學(xué)校 財(cái)務(wù)科，河北 保定 071000)

模糊規(guī)則是模糊推理中的重要工具之一,它表示了模糊知識(shí)的因果關(guān)系.在一個(gè)模糊規(guī)則集中，當(dāng)模糊命題間存在交互作用時(shí)，將參數(shù)權(quán)重用模糊測(cè)度取代，得到了一種基于模糊規(guī)則矩陣變換和Choquet模糊積分的模糊推理方法.該方法主要應(yīng)用在不完全歸納推理中.

模糊測(cè)度;Choquet模糊積分;模糊規(guī)則矩陣變換

由于人們的主觀認(rèn)識(shí)和客觀實(shí)際之間存在著差異，于是產(chǎn)生了不確定性.目前研究較多的不確定性有隨機(jī)性、模糊性、粗糙性等.美國(guó)教授扎德于1965年發(fā)表了《模糊集合論》一文，首次提出了模糊集合的概念，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生.迄今為止，模糊集理論已經(jīng)在理論上取得了巨大的發(fā)展，并且成功應(yīng)用到型樣識(shí)別、控制工程、決策決定等方面.而馬利諾于第2年發(fā)表模糊邏輯的研究報(bào)告，產(chǎn)生了模糊邏輯這門(mén)學(xué)科.模糊邏輯是研究模糊推理與知識(shí)表示的邏輯基礎(chǔ)與應(yīng)用的.1974年，扎德發(fā)表關(guān)于模糊推理的研究報(bào)告，從此模糊推理成了一個(gè)熱門(mén)的課題.

模糊產(chǎn)生式規(guī)則簡(jiǎn)稱(chēng)模糊規(guī)則，用以描述模糊的或者不確定性的知識(shí)，并且表示了模糊知識(shí)之間的因果關(guān)系.基于模糊規(guī)則的模糊推理是一種常見(jiàn)的推理方法.局部權(quán)重、整體權(quán)重、閾值、置信度等參數(shù)的引入，有效地表示了模糊規(guī)則中的模糊性，并且使得推理結(jié)果更加合理.目前基于相似性度量的推理是一種常用的推理機(jī)制，而模糊集之間的相似度如何定義是基于相似性度量的推理方法之關(guān)鍵.作者Chen[1]將模糊集看作向量，定義了2種模糊集之間相似度的度量方法，實(shí)現(xiàn)了醫(yī)療診斷系統(tǒng)中的推理.Yeung等[2]給出了模糊集相似度的多種度量方法，并且比較了這些方法的優(yōu)劣.Chen等[3-4]提出了借助模糊規(guī)則矩陣變換實(shí)現(xiàn)的不精確推理算法，該算法可將其余條件的真值計(jì)算得到.對(duì)于不存在循環(huán)推理的模糊規(guī)則集，Chen[5]提出一種基于加權(quán)模糊邏輯的不精確推理方法，因?yàn)樵撍惴ㄓ媚：龜?shù)或模糊語(yǔ)言值表示模糊規(guī)則參數(shù)，使得其更加可行和合理.

本文首先介紹模糊測(cè)度、Choquet積分、模糊產(chǎn)生式規(guī)則等預(yù)備知識(shí)，然后提出了一種基于Choquet積分的不精確推理方法，并分析了該方法的復(fù)雜度.最后介紹了該方法在不完全知識(shí)推理中的應(yīng)用.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 模糊測(cè)度和Choquet積分

模糊測(cè)度是對(duì)經(jīng)典測(cè)度的推廣，本文只介紹適用于模糊推理的有限集上的模糊測(cè)度.

定義1[6]設(shè)X是一個(gè)非空有限集合，P(X)是X的冪集.若集函數(shù)μ∶P(X)→(-∞，+∞)滿足：

1)μ(Φ)=0(歸零性)；

2)對(duì)任意A?X，有μ(A)≥0(非負(fù)性)；

3)對(duì)任意A?B,A?X,B?X,有μ(A)≤μ(B)(單調(diào)性)；

則稱(chēng)μ為模糊測(cè)度.當(dāng)μ(X)=1時(shí)，稱(chēng)μ為正則模糊測(cè)度.在模糊推理中，通常采用的都是正則的模糊測(cè)度.

定義2[6]設(shè)f為定義在非空有限集合X={x1,x2,…，xn}上的非負(fù)函數(shù)，μ是P(X)上的正則模糊測(cè)度.不失一般性，不妨假定f(x1)≤f(x2)≤…≤f(xn)，且Ai={xi,xi+1,…，xn}，則函數(shù)f關(guān)于模糊測(cè)度μ的Choquet積分定義為

其中f(x0)=0.

1.2 模糊產(chǎn)生式規(guī)則

模糊產(chǎn)生式規(guī)則，簡(jiǎn)稱(chēng)模糊規(guī)則，用以表示模糊知識(shí)之間的因果關(guān)系,其基本形式如下：

IFxisATHENyisB

其中,xisA是前提，yisB是結(jié)論，A和B是模糊集.也可簡(jiǎn)寫(xiě)為A→B，意為A導(dǎo)致B.隨著知識(shí)系統(tǒng)越來(lái)越復(fù)雜，局部權(quán)重、整體權(quán)重、閾值、置信度等參數(shù)被相繼引入到模糊規(guī)則中來(lái)，這些參數(shù)的引入有效地表示了模糊規(guī)則中的模糊性，并且使得推理結(jié)果更加合理.加權(quán)模糊規(guī)則主要有以下3種形式.

1)模糊規(guī)則的前提是單個(gè)模糊命題

R: IFdjTHENdk(CF,GW,λ)

其中，CF為該規(guī)則的置信度；λ為閾值，表示該規(guī)則在大于閾值時(shí)被激活；GW為全局權(quán)重，表示該規(guī)則在規(guī)則集中的重要程度.

2)模糊規(guī)則的前提是多個(gè)模糊命題的合取

R: IFdj1ANDdj2AND … ANDdjnTHENdk(CF,LW,GW,λ)

這時(shí)，記模糊規(guī)則的前提為復(fù)合條件dj，可將該規(guī)則簡(jiǎn)寫(xiě)為

R: IFdjTHENdk(CF,LW,GW,λ)

3)模糊規(guī)則的前提是多個(gè)模糊命題的析取

R: IFdj1ORdj2OR … ORdjnTHENdk(CF,GW,λ)

這時(shí)，可將該規(guī)則等價(jià)地寫(xiě)為下面n條規(guī)則：

R1: IFdj1THENdk(CF,GW,λ)

R2: IFdj2THENdk(CF,GW,λ)

……

Rn: IFdjnTHENdk(CF,GW,λ)

2 一種基于Choquet積分的不精確推理方法

文中模糊規(guī)則集將用一個(gè)模糊規(guī)則矩陣來(lái)表示.筆者知道，在模糊規(guī)則集中，經(jīng)常出現(xiàn)首尾相連的規(guī)則，也就是說(shuō)，某條規(guī)則的結(jié)論同時(shí)可能又是另一條規(guī)則的前提.為了方便討論，本文將模糊規(guī)則的前提和結(jié)論統(tǒng)稱(chēng)為條件.

下面介紹如何用一個(gè)模糊規(guī)則矩陣來(lái)表示模糊規(guī)則集.假設(shè)有一個(gè)模糊規(guī)則集，它包含m個(gè)條件，那么與之對(duì)應(yīng)的模糊規(guī)則矩陣T便是一個(gè)m階方陣，其中第i行第j列元素為規(guī)則IFdjTHENdi的置信度CFk，即T[i,j]=CFk(CFk∈[0,1]).若規(guī)則集中不存在IFdjTHENdi這條規(guī)則，則T[i,j]=0；顯然，對(duì)角線元素T[i,i]全為1.舉例如下，一個(gè)模糊規(guī)則集包含以下規(guī)則：

R1: IFd1THENd2( 0.3 )

R2: IFd2THENd3( 0.7 )

R3: IFd5THENd4( 0.9 )

R4: IFd6THENd3( 0.6 )

于是，這一模糊規(guī)則集便可用下面模糊規(guī)則矩陣T來(lái)表示：

類(lèi)似地，用一個(gè)m維列向量來(lái)表示模糊規(guī)則集中m個(gè)條件的真值，假設(shè)條件di的真值為yi，記作R[i]=yi，yi∈[0,1]，1≤i≤m.上述例子中，若y2=0.3，y4=0.5，y5=0.8，則對(duì)應(yīng)的真值列向量為

R=[0 0.3 0 0.5 0.8 0]T.

在基于Choquet模糊積分的不精確推理方法中，將按照下面的2種情況進(jìn)行推理.

1)當(dāng)模糊規(guī)則的前提是多個(gè)模糊命題的合取時(shí)，即模糊規(guī)則形式如下.

R: IFdj1ANDdj2AND...ANDdjnTHENdk(μ,CF)

其中，置信度CF屬于[0,1]，μ是條件集合{dj1,dj2,…,djn}上的模糊測(cè)度，一般由領(lǐng)域?qū)＜医o出.假定條件dj1,dj2…,djn的真值分別為yj1，yj2，…,yjn,yji∈[0,1],1≤i≤n,那么條件dk的真值為

2)當(dāng)2條模糊規(guī)則具有相同的結(jié)論時(shí)，即2條模糊規(guī)則形式如下.

R1: IFd11ANDd12AND …ANDd1mTHENdk(μ1,CF1)

R2: IFd21ANDd22AND …ANDd2nTHENdk(μ2,CF2)

其中，置信度CF1和CF2都屬于[0,1]，μ1和μ2分別是條件集合{d11，d12，…，d1m}和{d21，d22，…，d2n}上的模糊測(cè)度.假定條件d11，d12，…，d1m和條件d21，d22，…，d2n的真值分別為y11，y12，…，y1m和y21,y22,…,y2n,y1j∈[0,1],1≤j≤m,y2i∈[0,1],1≤i≤n,那么條件dk的真值為

對(duì)于一個(gè)推理網(wǎng)絡(luò)(即首尾連接的模糊規(guī)則集)，如果想自動(dòng)推算出各個(gè)中間節(jié)點(diǎn)以及頂層假設(shè)的真值，那么下面介紹的模糊規(guī)則矩陣變換方法便可實(shí)現(xiàn).具體過(guò)程如下：假設(shè)有一個(gè)模糊規(guī)則矩陣T和一個(gè)條件真值列向量R如下：

其中，矩陣T中的第i行第j列元素tij為模糊規(guī)則：IFdjTHENdi的置信度CFk，列向量R的第i(1≤i≤m)個(gè)元素yi是條件di的真值(若某一條件的真值未知，則此時(shí)該條件的真值設(shè)為0).

對(duì)模糊規(guī)則矩陣T和條件真值列向量R施行如下的矩陣運(yùn)算可得到一個(gè)新的真值列向量R′：

顯然，由R推導(dǎo)出的條件真值包含在R′中，此時(shí)R′的第i(1≤i≤m)個(gè)元素表示條件di的真值.

下面給出基于Choquet積分的不精確推理算法.假定模糊規(guī)則集中有m個(gè)條件(d1,d2,…,dm)和k個(gè)復(fù)合條件(dm+1,dm+2,…,dm+k)，記m+k=n，且假定條件di(1≤i≤m)的真值為yi,yi∈[0,1]，那么可得到一個(gè)n×n的模糊規(guī)則矩陣T.令R和R′是2個(gè)n×1的條件真值列矩陣，dj,dt,…,ds是d1,d2,…,dm中的任意條件.

步1：由給定的模糊產(chǎn)生式規(guī)則生成模糊規(guī)則矩陣T;

步2：計(jì)算k個(gè)復(fù)合條件的真值，然后寫(xiě)出n×1真值列矩陣R

步3：令R′=T*R，若R′=R，轉(zhuǎn)步4；否則令R[q]=R′[q],q=1,2，…，m,轉(zhuǎn)步2;

步4：令R[q]=R′[q],q=1,2，…,m+k,輸出R[q],q=1，2,…,m,停止.

例：假定知識(shí)庫(kù)中有如下模糊規(guī)則：

R1: IFd1ANDd2THENd4( 0.7 )μ({d1})=0.3,μ({d2})=0.3,μ({d1,d2})=1

R2:IFd3THENd2( 0.6 )

R3:IFd1ORd3THENd5( 0.5 )

且條件d1和d3的真值分別為0.8和0.6.

解：從給定的知識(shí)庫(kù)可發(fā)現(xiàn)：該模糊規(guī)則集共包含5個(gè)單一條件和1個(gè)復(fù)合條件，于是可得到1個(gè)6×6的模糊規(guī)則矩陣和2個(gè)6維的條件真值列向量R和R′.

對(duì)于規(guī)則R3，由前面的討論可將其等價(jià)為如下2個(gè)規(guī)則：

R3a: IFd1THENd5( 0.5 )

R3b: IFd3THENd5( 0.5 )

而規(guī)則R1可簡(jiǎn)寫(xiě)成：

R1:IFd6THENd4( 0.7 )

其中，d6=d1ANDd2，其真值可由下式計(jì)算得到：

經(jīng)過(guò)上面分析，最終得到一個(gè)6×6的模糊規(guī)則矩陣和一個(gè)6維的條件真值列向量，如下：

對(duì)模糊規(guī)則矩陣T和真值列向量R做1次矩陣運(yùn)算，得到：

由于R′≠R，令R=R′，繼續(xù)對(duì)R進(jìn)行變換得到

由于R′≠R，令R=R′，繼續(xù)對(duì)R進(jìn)行變換得到

由于R′≠R，令R=R′，繼續(xù)對(duì)R進(jìn)行變換得到

由于R′=R，系統(tǒng)完成推理過(guò)程，推得條件d1，d2，d3，d4，d5的真值分別為0.8，0.36，0.6，0.319 2，0.4.

假設(shè)1個(gè)模糊規(guī)則集中具有n條規(guī)則，并且在1條規(guī)則中1個(gè)條件只能出現(xiàn)1次，由上面例題可看出由該算法每個(gè)節(jié)點(diǎn)只能生成1個(gè)后繼節(jié)點(diǎn)，則可得推理過(guò)程由模糊規(guī)則的數(shù)目n限制，即最多需要n+1步即可滿足停止條件.

3 結(jié)論

當(dāng)模糊命題之間存在交互作用時(shí)，將參數(shù)權(quán)重用模糊測(cè)度取代，提出了1種基于Choquet模糊積分的不精確推理方法.該方法在一些條件的真值給定時(shí)，可自動(dòng)推算出其余條件的真值，主要應(yīng)用在不完全歸納推理中.

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(責(zé)任編輯：梁俊紅)

An inexact reasoning method based on Choquet integral

CHEN Aixia1，LIANG Zhiyong2,FENG Huimin1

(1.Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence，College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China;2.Finance Section,Hebei Province Information Engineering School,Baoding 071000,China)

Fuzzy rule,which expresses the causation of the fuzzy knowledge,is one of the important tools in fuzzy reasoning.When the interaction exists among fuzzy propositions in a fuzzy rule set,the parameter weight is displaced by the fuzzy measure,and an inexact reasoning algorithm based on Choquet integral is proposed.This method is mainly used in the incomplete inductive reasoning.

fuzzy measure;Choquet fuzzy integral;fuzzy rule matrix transformation

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.06.001

2015-07-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61672205)；保定市科技局項(xiàng)目(15ZJ055)

陳愛(ài)霞 (1982—)，女，河北保定人，河北大學(xué)講師，主要從事不確定信息處理方面研究.E-mail:aixia_chen@163.com

TP18

A

1000-1565(2016)06-0561-05