彭 劍， 張 改， 胡 霞，謝獻(xiàn)忠

(湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

壓電彈性梁主共振響應(yīng)的時(shí)滯加速度反饋控制

彭 劍， 張 改， 胡 霞，謝獻(xiàn)忠

(湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

應(yīng)用時(shí)滯加速度反饋控制方法研究壓電彈性梁主共振響應(yīng)的減振控制?；贖amilton原理和時(shí)滯加速度閉環(huán)反饋控制策略，建立了壓電耦合彈性梁的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型。采用多尺度方法，得到了受控梁主共振響應(yīng)的一階近似解及穩(wěn)定性條件，進(jìn)而給出了響應(yīng)峰值和臨界激勵(lì)幅值的表達(dá)式，并給出算例分析。結(jié)果表明：采用時(shí)滯加速度反饋控制可以有效減振，其主共振響應(yīng)受時(shí)滯值周期性影響，合理選取控制增益和時(shí)滯值，可以避免主共振區(qū)及多值不穩(wěn)定解，提高振動(dòng)控制效果。

壓電彈性梁；主共振；時(shí)滯加速度反饋；振動(dòng)控制；穩(wěn)定性

端部非剛性支承彈性梁結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域極為常見(jiàn),如斜拉橋主梁、大型體育場(chǎng)館或廠房的橫梁、地下結(jié)構(gòu)樁基礎(chǔ)等。大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的重要性系數(shù)高，因此對(duì)其可靠性和穩(wěn)定性及計(jì)算精度要求也越高。這類(lèi)結(jié)構(gòu)往往非線(xiàn)性的影響突出，振動(dòng)與控制問(wèn)題極為重要。

采用壓電材料與結(jié)構(gòu)復(fù)合而構(gòu)成的主動(dòng)控制系統(tǒng)是抑制梁結(jié)構(gòu)大幅振動(dòng)的有效方法，已有研究將其應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的監(jiān)測(cè)、抗振和自適應(yīng)修復(fù)等[1]。同時(shí)，學(xué)者們從理論分析和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)梁結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)及其振動(dòng)控制進(jìn)行研究[2-3]。值得一提的是，控制系統(tǒng)中的時(shí)滯影響及其時(shí)滯反饋控制得到了廣泛關(guān)注。王在華等[4]從對(duì)當(dāng)前時(shí)滯動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展作了系統(tǒng)的綜述。馮志宏等[5]基于加速度時(shí)滯閉環(huán)反饋控制策略，研究了壓電耦合懸臂梁的時(shí)滯反饋控制及穩(wěn)定性。陳龍祥等[6]對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁的時(shí)滯主動(dòng)控制開(kāi)展了實(shí)驗(yàn)研究，得到控制系統(tǒng)中的時(shí)滯也有可利用的價(jià)值。趙艷影等[7]研究了時(shí)滯非線(xiàn)性動(dòng)力吸振器的減振機(jī)理，通過(guò)調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯來(lái)實(shí)現(xiàn)主系統(tǒng)的減振。李欣業(yè)等[8]研究了陀螺系統(tǒng)的受迫振動(dòng)及時(shí)滯反饋控制。尚慧琳等[9]對(duì)一類(lèi)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)開(kāi)展了時(shí)滯速度反饋控制研究。DAQAQ等[10]采用時(shí)滯加速度反饋控制研究了壓電耦合懸臂梁的非線(xiàn)性振動(dòng)。MASOUD等[11-12]針對(duì)起重機(jī)大幅振動(dòng)問(wèn)題，采用狀態(tài)時(shí)滯反饋策略對(duì)其進(jìn)行控制，起到了很好的抑制效果。孫清等[13]研究了含雙時(shí)滯振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)超諧共振及亞諧共振。

本文以軸力作用下的耦合彈性梁結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，推導(dǎo)出壓電耦合彈性梁的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程，并結(jié)合壓電傳感器與作動(dòng)器的輸出方程，建立了壓電耦合彈性梁的動(dòng)力學(xué)模型。同時(shí)基于時(shí)滯加速度反饋控制技術(shù)，研究了系統(tǒng)主共振響應(yīng)的減振控制。

1 振動(dòng)控制方程

軸力作用下彈性支座梁與壓電作動(dòng)器和傳感器共同構(gòu)成閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)如圖1所示，其中懸臂梁為Euler-Bernoulli梁，梁不可伸長(zhǎng)且忽略其扭轉(zhuǎn)和剪切變形，假設(shè)壓電材料理想地埋入梁內(nèi)，不考慮壓電材料的質(zhì)量及剛度影響。

圖1 時(shí)滯反饋激勵(lì)梁控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1A schematic of a beam with delayed feedback actuation

基于Hamilton原理，考慮軸力彈性支座和壓電激勵(lì)作用，得到受控梁的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程[14-15]：

(1)

邊界條件為：

v(0,t)=0,v′(0,t)=0,v″(l,t)=0,

EIv?(l,t)+kv(l,t)=0

(2)

式中:m,c分別為梁的線(xiàn)密度、阻尼,E為梁的彈性模量,p為軸向作用力,k為彈性剛度系數(shù),I為截面慣性矩,l為梁的長(zhǎng)度。q(x,t)=?2M/?x2是由壓電作動(dòng)器產(chǎn)生的分布荷載，M為壓電材料產(chǎn)生的應(yīng)力生成關(guān)于整個(gè)結(jié)構(gòu)中性軸的力矩，其表達(dá)式為：

[H(x-x1)-H(x-x2)]

其中，b為壓電材料寬度，d為壓電材料中截面距梁結(jié)構(gòu)中截面距離，d31為壓電材料的電荷壓電常數(shù)，Ea為壓電材料的彈性模量，Va(t)為外加控制電壓，2ta為壓電作動(dòng)器的厚度，x1，x2分別為作動(dòng)器固定在梁上的位置坐標(biāo)。

運(yùn)用Galerkin方法對(duì)其位移函數(shù)v(x,t)進(jìn)行展開(kāi)：

(3)

式中:φn(x)為振型函數(shù)，表達(dá)式表示為,

n=1,2,…,∞

(4)

(5)

本文考慮壓電激勵(lì)的驅(qū)動(dòng)電壓采用加速度時(shí)滯反饋策略，記為如下形式：

(6)

(7)

則受迫振動(dòng)下單模態(tài)梁的響應(yīng)方程為：

(8)

式中:fn為外激勵(lì)幅值，Ω為外激勵(lì)頻率。

2 主共振響應(yīng)分析

本節(jié)采用多尺度法求解單模態(tài)梁的主共振解，調(diào)整阻尼，非線(xiàn)性及外激勵(lì)項(xiàng)的系數(shù)：

μn=Ο(ε),Γnnnn=Ο(ε),kann=Ο(ε),

fn=Ο(ε),Ω=ω0+εσ,σ=Ο(1)

(9)

2.1 主共振近似解析解

設(shè)式(8)的攝動(dòng)解形式為：

qn(t)=qn0(T0,T1)+εqn1(T0,T1)+…,

Tj=εjt,j=0,1

(10)

將式(10)代入式(8)，令兩端的ε0和ε1的系數(shù)相等，得到：

(11)

fncos(ω0T0+σT1)

(12)

式(11)的通解可以寫(xiě)為：

qn0=An(T1)exp(iω0T0)+

(13)

(14)

式中:cc代表前面各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。消去式(14)中的久期項(xiàng)，可得：

(15)

令：

(16)

式中:an和βn是T1的實(shí)函數(shù)。分離實(shí)虛部，得到:

(17)

式中:γn=σT1-βn。則可得壓電彈性梁主共振的幅頻響應(yīng)方程：

(18)

相應(yīng)地，壓電彈性梁位移v(x,t)的一階近似解為：

v(x,t)=ancos(Ωt-γn)φn(x)+Ο(ε)

(19)

同時(shí)，根據(jù)幅頻響應(yīng)方程式(18)可得主共振最大幅值的表達(dá)式：

(20)

進(jìn)一步，可得到：

(21)

fL=2ω0μe(2ω0μe/3Γnnnn)1/2

(22)

2.2 周期解的穩(wěn)定性

本小節(jié)主要通過(guò)式(17)來(lái)確定周期解的穩(wěn)定性，設(shè)：

an=an0+an1,γn=γn0+γn1

(23)

其特征方程為：

(25)

周期解的穩(wěn)定性依賴(lài)于式(21)特征方程的特征值，因此根據(jù)穩(wěn)定性理論有：當(dāng)υn>0,ρn>0時(shí)周期解穩(wěn)定，反之不穩(wěn)定。

3 數(shù)值分析與討論

本節(jié)對(duì)受控梁第一階模態(tài)的主共振響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析，討論其與控制增益和時(shí)滯量之間的關(guān)系。梁和壓電激勵(lì)器的幾何尺寸和材料特性參數(shù)如下。梁：l=99.62×10-2m，A=15.36×10-4m2，E=34.5 GPa，I=9.866 2×10-8m4，k=6.872×104N/m，p=2.574×10-1kN，m=4.4 kg/m；壓電激勵(lì)器：d31=-270×10-12m/V,Ea=108 GPa,b=0.2×10-2m,2ta=0.04×10-2m,d=0.5×10-2m,x1=12×10-2m,x2=18×10-2m,x3=80×10-2m。

給定f1=0.005,μ1=0.02,圖2為控制增益k=-2時(shí)時(shí)滯影響下壓電耦合彈性梁第一階模態(tài)主共振響應(yīng)的幅頻曲線(xiàn)。從中可以看出，當(dāng)τ=π/4時(shí)，其響應(yīng)幅值較τ=π/30顯著減小，然而當(dāng)τ=π時(shí)，幅值急劇增大，當(dāng)τ=5π/4時(shí)，幅值又得到抑制，且曲線(xiàn)有多值區(qū)域，共振區(qū)發(fā)生偏移。

值得提出的是，圖3給出的響應(yīng)幅值峰值曲線(xiàn)恰好證明了這一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)滯τ∈(kπ,kπ+π/2),k=0,1,…時(shí)，幅值隨時(shí)滯t增大而減小，而當(dāng)時(shí)滯值τ∈(kπ+π/2,kπ+π)時(shí)，響應(yīng)幅值隨時(shí)滯增大而增大，且幅值的變化率在一段區(qū)間內(nèi)顯著高于時(shí)滯值變化率。

圖2 不同時(shí)滯值時(shí)受控梁第一模態(tài)主共振響應(yīng)幅頻曲線(xiàn)Fig.2 The amplitude-frequency curves of the first mode (n=1) primary resonance response of beam with time delay

圖3 不同時(shí)滯值時(shí)受控梁第一模態(tài)主共振臨界激勵(lì)和響應(yīng)峰值曲線(xiàn)Fig.3 The curves of the critical excitation and the peak amplitude of the primary resonance response of beam with time delay

圖3中同時(shí)給出了臨界激勵(lì)值曲線(xiàn)。該曲線(xiàn)與幅值峰值曲線(xiàn)均呈現(xiàn)出周期性，此處周期T=2π。給定控制增益和時(shí)滯值，當(dāng)外激勵(lì)幅值fnfL時(shí)，an有三個(gè)解，則可能出現(xiàn)多值和跳躍現(xiàn)象。臨界激勵(lì)值與時(shí)滯量、阻尼及材料參數(shù)有關(guān)。

圖4為當(dāng)時(shí)滯τ=π/30時(shí)，不同控制增益影響下，壓電耦合梁第一模態(tài)主共振響應(yīng)幅頻曲線(xiàn)?？梢钥闯觯?dāng)k=0，即無(wú)控狀態(tài)下，幅值較大。當(dāng)采取時(shí)滯加速度反饋控制后，幅值得到明顯抑制，且控制效果與k值正相關(guān)。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，隨著k值的不同，共振區(qū)發(fā)生明顯偏移。

圖5給出了不同時(shí)滯τ和調(diào)諧參數(shù)σ情況下系統(tǒng)第一模態(tài)的激勵(lì)-響應(yīng)幅值曲線(xiàn)。從中可以看出，隨著σ值的增大，曲線(xiàn)實(shí)現(xiàn)了從單值到多值的轉(zhuǎn)換，且出現(xiàn)不穩(wěn)定解，同時(shí)響應(yīng)幅值增大，彎曲程度增強(qiáng)。固定相應(yīng)σ值，隨著時(shí)滯τ增大，也顯示出相同的現(xiàn)象。因此，在共振范圍內(nèi)，非線(xiàn)性特征隨著時(shí)滯值和調(diào)諧參數(shù)的增大表現(xiàn)更為明顯。

圖4 不同控制增益值時(shí)受控梁第一模態(tài)主共振響應(yīng)幅頻曲線(xiàn)Fig.4 The amplitude-frequency curves of the first mode primary resonance response of beam with control feedback gain

圖5 時(shí)滯作用下主共振響應(yīng)激勵(lì)-響應(yīng)幅值曲線(xiàn)Fig.5 The response-excitation amplitude curve of the primary resonance with time delay

圖6給出的發(fā)生主共振和非主共振硬激勵(lì)時(shí)，壓電耦合梁穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程曲線(xiàn)對(duì)比圖。對(duì)比圖中三條曲線(xiàn)響應(yīng)幅值，可知發(fā)生主共振時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值顯著增大，且控制增益k=0.5時(shí)，幅值明顯大于小時(shí)滯情形。因此，時(shí)滯值對(duì)系統(tǒng)實(shí)際動(dòng)力影響很大，且必須考慮主共振作用。

圖6 時(shí)程曲線(xiàn)對(duì)比Fig.6 The contrast of time history curves

圖7為無(wú)控和受控情形下發(fā)生主共振的頻域分析圖，可以看出，發(fā)生主共振的時(shí)的穩(wěn)態(tài)頻率沒(méi)有太大差別，但是其位移幅值有顯著變化，采用時(shí)滯反饋控制后，其幅值得到了明顯抑制。

圖7 不同時(shí)程曲線(xiàn)的FFT變換Fig.7 The Fast Fourier Transformation of time history curves

4 結(jié) 論

本文研究了壓電耦合彈性梁主共振的時(shí)滯反饋控制，采用時(shí)滯加速度反饋控制策略，運(yùn)動(dòng)多尺度方程得到主共振響應(yīng)的解析解。通過(guò)數(shù)值算例，得出結(jié)果如下：

(1)采用時(shí)滯加速度反饋控制，可以有效抑制其大幅振動(dòng)，其主共振響應(yīng)受時(shí)滯值周期性影響；

(2)調(diào)整控制增益和時(shí)滯值，可以避免主共振區(qū)及多值不穩(wěn)定解；

(3)主共振硬激勵(lì)幅值明顯低于主共振幅值，因此研究主共振響應(yīng)的控制具有工程實(shí)際意義。

[1] 歐進(jìn)萍. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制——主動(dòng)、半主動(dòng)和智能控制[M]. 北京：科學(xué)出版社，2003.

[2] HIROSHI Y, SHIGENOBU S, NOBUHARU A. Stabilization of the parametric resonance of a cantilever beam by bifurcation control with a piezoelectric actuator[J]. Nonlinear Dynamics, 2001, 26(2): 143-161.

[3] 朱辰鐘,葉敏. 參強(qiáng)聯(lián)合作用非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)建模[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2013,45(1): 116-128. ZHU Chenzhong, YE Min. Research of dynamic experimental modeling for nonlinear structure under parametric and forced excitation[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013,45(1): 116-128.

[4] 王在華，胡海巖. 時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔：從理論走向應(yīng)用[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 2013, 43(1):1-20. WANG Zaihua, HU Haiyan. Stability and bifurcation of delayed dynamics systems: From theory to application[J].Advances in Mechanics,2013, 43(1):1-20.

[5] 馮志宏, 霍睿. 壓電耦合懸臂梁的時(shí)滯反饋控制及穩(wěn)定性分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2011, 30(6): 181-184. FENG Zhihong, HUO Rui. Time-delay feedback control and stability analysis of piezoelectric-coupling cantilever beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(6): 181-184.

[6] 陳龍祥，蔡國(guó)平. 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁的時(shí)滯主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)研究[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 40(10): 520-527. CHEN Longxiang, CAI Guoping. Experimental study on active control of a rotating flexible beam with time delay [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2008, 40(10): 520-527.

[7] 趙艷影, 徐鑒. 時(shí)滯非線(xiàn)性動(dòng)力吸振器的減振機(jī)理[J].力學(xué)學(xué)報(bào), 2008,40(1):98-105. ZHAO Yanying, XU Jian. Mechanism analysis of delayed nonlinear vibration absorber[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2008,40(1):98-105.

[8] 李欣業(yè), 張利娟, 張華彪. 陀螺系統(tǒng)的受迫振動(dòng)及其時(shí)滯反饋控制[J].振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(9): 63-68. LI Xinye, ZHANG Lijuan, ZHANG Huabiao. Forced vibration of a gyroscope system and its delayed feedback control[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(9): 63-68.

[9] 尚慧琳，李偉陽(yáng)，韓元波. 一類(lèi)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)及時(shí)滯速度反饋控制[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2015, 34(12): 127-132. SHANG Huilin, LI Weiyang, HAN Yuanbo. The complex dynamics of a relative rotation system and its control by delay velocity feedback[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(12): 127-132.

[10] DAQAQ M F, ALHAZZA K A, ARAFAT H N. Non-linear vibrations of cantilever beams with feedback delays [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2008, 43: 962-978.

[11] MASOUD Z, DAQAQ M F, NAYFEH N H. Pendulation reduction of small telescopic cranes[J]. Journal of Vibration and Control, 2004, 10(8): 1167-1179.

[12] MASOUD Z, NAYFEH A H, AL-MOUSA A. Delayed-position feedback controller for the reduction of payload pendulations on rotary cranes [J]. Journal of Vibration and Control, 2003, 9(1/2): 257-277.

[13] 孫清，張斌，劉正偉，等. 含雙時(shí)滯振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)超諧共振及亞諧共振分析[J]. 工程力學(xué), 2010, 27(12): 84-89. SUN Qing, ZHANG Bin, LIU Zhengwei, et al. Analysis of superharmonic and subharmonic resonance responses of active vibration control system with double time delay [J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(12): 84-89.

[14] NAYFEH A H. Linear and nonlinear structure mechanics [M]. New York: Wiley Interscience, 2004.

[15] 彭劍, 趙珧冰, 王連華. 時(shí)滯反饋及軸力作用下彈性梁的非線(xiàn)性振動(dòng)[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 40(9):30-36. PENG Jian, ZHAO Yaobing, WANG Lianhua. Nonlinear vibrations of elastic beams subjected to axial force and delayed-feedback[J]. Journal of Hunan University (Naturnal Science), 2013, 40(9):30-36.

Time-delayed acceleration feedback control of primary resonance of piezoelectric elastic beams

PENG Jian, ZHANG Gai, HU Xia, XIE Xianzhong

(School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

The time-delayed acceleration feedback control method was applied to study the primary resonance response of vibration control of piezoelectric flexible beams. Based on the Hamilton principle and a closed-loop feedback control strategy with delayed acceleration, a piezoelectric coupling nonlinear dynamic model of the elastic beam were established. Utilizing the multiple scale method, the first-order approximate solution and the stability condition of the primary resonance response of controlled beam were obtained. The peak amplitude and the critical excitation amplitude were given. It is shown that using time-delayed acceleration feedback control can reduce vibration effectively, and that the primary resonance response is affected by the delay value periodically. Reasonable selection of control gain and time delay value can avoid the resonance region and improve the effect of vibration control.

piezoelectric elastic beam; primary resonance; time-delayed acceleration feedback; vibration control; stability

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)項(xiàng)目(2015CB057702)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11402085；11272119)；湖南省教育廳項(xiàng)目(14C0464); 湖南省優(yōu)秀博士論文資助項(xiàng)目(YB2015B035)

2015-11-26 修改稿收到日期：2016-01-25

彭劍 男，博士，碩士生導(dǎo)師，1982年11月生

O328; TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.001