牛江川， 申永軍， 楊紹普， 李素娟

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

分?jǐn)?shù)階PID控制對單自由度線性振子的影響

牛江川， 申永軍， 楊紹普， 李素娟

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

研究了基于速度反饋分?jǐn)?shù)階PID控制的單自由度線性振子的自由振動(dòng)，利用平均法得到了系統(tǒng)的近似解析解。研究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PID控制的比例環(huán)節(jié)以等效線性阻尼的形式影響系統(tǒng)的振幅，積分環(huán)節(jié)以等效線性阻尼和等效線性剛度的形式影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，微分環(huán)節(jié)以等效線性阻尼和等效線性負(fù)剛度的形式影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。對近似解析解和數(shù)值解進(jìn)行了比較，二者吻合良好，驗(yàn)證了求解過程和近似解析解的正確性。通過系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)分析了分?jǐn)?shù)階PID控制的比例系數(shù)、積分環(huán)節(jié)系數(shù)、微分環(huán)節(jié)系數(shù)以及分?jǐn)?shù)階階次變化時(shí)，對系統(tǒng)控制性能的影響。最后，通過單自由度1/4車輛懸架模型的控制實(shí)例，說明了分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)整定過程。

分?jǐn)?shù)階PID控制；平均法；近似解析解

分?jǐn)?shù)階微積分理論在近年來取得了較大的研究進(jìn)展[1-5]。由于很多工程問題可以用分?jǐn)?shù)階微分或積分方程來描述，因此分?jǐn)?shù)階微積分在工程中的應(yīng)用越來越廣泛。其中一個(gè)很重要的方面就是在控制系統(tǒng)中引入分?jǐn)?shù)階反饋項(xiàng)，利用分?jǐn)?shù)階反饋的魯棒性好、抗噪聲能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，提高系統(tǒng)的控制效果。例如，CHEN等[6]研究了分?jǐn)?shù)階阻尼對van der Pol系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響；張成芬等[7]研究了分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為；吳光強(qiáng)等[8]利用分?jǐn)?shù)階微積分的天棚阻尼控制策略抑制汽車車身共振；孫會(huì)來等[9]在油氣懸架運(yùn)動(dòng)微分方程基礎(chǔ)上建立了分?jǐn)?shù)階Bagley-Torvik方程。

PODLUBNY[10]在研究分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了分?jǐn)?shù)階PID控制器,與傳統(tǒng)整數(shù)階PID相比，分?jǐn)?shù)階PID控制在穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能方面具有很大優(yōu)勢。目前學(xué)者們對分?jǐn)?shù)階PID控制的研究[11-20]，主要集中在控制器的設(shè)計(jì)方法和控制器的穩(wěn)定性分析以及最優(yōu)控制等方面。直接通過系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)來分析分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)對控制效果影響的成果尚不多見。本文以一個(gè)基于速度反饋的分?jǐn)?shù)階PID控制的單自由度線性振子為例，利用平均法得到了系統(tǒng)自由振動(dòng)的近似解析解，該近似解析解能以簡單的形式說明系統(tǒng)響應(yīng)特性與分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。然后通過數(shù)值解驗(yàn)證了近似解析解的正確性，并分析了分?jǐn)?shù)階PID控制器的系數(shù)Kp、Ki、Kd以及分?jǐn)?shù)階階次λ和δ變化時(shí)，對系統(tǒng)控制性能的影響。最后，通過一個(gè)控制實(shí)例說明了分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)整定過程。

1 近似解析解

分?jǐn)?shù)階PID控制器的時(shí)域數(shù)學(xué)模型為[10]

(1)

(2)

式中r為微分積分的階次，此處r為實(shí)數(shù)，分?jǐn)?shù)階積分算子以0為積分下限，以t為積分上限。

單自由度線性振子由質(zhì)量塊、彈簧以及阻尼組成。研究基于速度反饋分?jǐn)?shù)階PID控制的單自由度線性振子的振動(dòng)。設(shè)系統(tǒng)受到的擾動(dòng)力為F，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于速度反饋的分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)Fig.1 Control system with fractional-order PID controller of velocity feedback

以系統(tǒng)自由振動(dòng)的平衡位置為原點(diǎn)，以系統(tǒng)的輸出速度作為反饋量，考慮系統(tǒng)的自由振動(dòng)問題，則系統(tǒng)受到的擾動(dòng)力F=0，建立含有分?jǐn)?shù)階PID控制的單自由度線性振子的運(yùn)動(dòng)方程，如式(3)所示。

(3)

(4)

(5)

式中Γ(z)為Gamma函數(shù)，滿足Γ(z+1)=zΓ(z)。

(6)

式(6)從形式上滿足了平均法求解的要求。利用平均法[21]求系統(tǒng)的一次近似解。設(shè)式(6)的解滿足

(7)

式中φ=ω0t+θ，則根據(jù)平均法可以得到

P2[a(t),θ]+P3[a(t),θ]}sinφ

(8a)

P2[a(t),θ]+P3[a(t),θ]}cosφ

(8b)

式中，P1[a(t),θ]=2μω0a(t)sinφ，

振幅a和相位θ是隨時(shí)間變化的ε的同階小量，與φ相比，它們變化緩慢。利用平均法，可以將式(8)在區(qū)間[0,T]之間進(jìn)行積分平均，得到振幅a和相位θ的近似值。將式(8)改寫為

(9a)

(9b)

式中，如果Pi[a(t),θ](i=1,2,3)為周期函數(shù)，那么積分終止時(shí)間T可以取為T=2π;如果Pi[a(t),θ](i=1,2,3)為非周期函數(shù)，那么積分終止時(shí)間T可以取為T=∞。因此，式(9)中的第一部分積分為

(10a)

(10b)

為了計(jì)算式(9)中的其它部分，引入兩個(gè)基本公式

(11a)

(11b)

這兩個(gè)公式的求解過程可參見文獻(xiàn)[22-23]。

研究式(9a)的第二部分，并將式(5)代入，可以得到

(12)

引入s=t-τ和ds=-dτ，則有

(13)

其中，

對式(13)中第一部分A1進(jìn)行分部積分可以得到

(14)

當(dāng)T→∞時(shí)發(fā)現(xiàn)式(14)的第二部分趨近于零，根據(jù)式(11)可以得到

(15)

同理，式(13)的第二部分A2也趨近于零，因此

(16a)

利用同樣的方法可以得到

(16b)

對于式(9)的第三部分，利用同樣的方法可以得到

(17a)

(17b)

將式(10)、(16)、(17)聯(lián)合起來，則有

(18a)

(18b)

解出振幅和相位，則有

(19a)

(19b)

將原系統(tǒng)參數(shù)代入式(19)，則得到

(20a)

(20b)

其中，五個(gè)新的參數(shù)為

C(P)=Kp

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

(21e)

系統(tǒng)的近似解析解可以表示為

其中，C=c+C(P)+C(I)+C(D)。這樣就得到了系統(tǒng)的近似解析解。式(22)表明，在系統(tǒng)(3)中，分?jǐn)?shù)階PID通過參數(shù)C(P)、C(I)、C(D)增大了系統(tǒng)的阻尼，可以將參數(shù)C(P)、C(I)、C(D)分別定義為分?jǐn)?shù)階PID比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)引起的等效線性阻尼，并將參數(shù)C定義為系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)；通過參數(shù)K(I)增大了系統(tǒng)的剛度，可以將參數(shù)K(I)定義為積分環(huán)節(jié)引起的等效線性剛度；通過參數(shù)K(D)減小了系統(tǒng)的剛度，可以將參數(shù)K(D)定義為微分環(huán)節(jié)引起的等效線性負(fù)剛度。并令K=k+K(I)+K(D)，則可以將參數(shù)K定義為系統(tǒng)的等效線性剛度。

(23)

(24)

2 近似解析解和數(shù)值解的比較

研究系統(tǒng)(3)，選取某單自由度1/4車輛懸架模型參數(shù)：質(zhì)量m=240 kg，彈簧剛度k=16 000 N/m，阻尼系數(shù)c=1 000 N·s/m，其它參數(shù)定義為Kp=1，Ki=1，Kd=1，λ=0.6，δ=0.4，a0=-1 m，根據(jù)式(22)可以繪制出系統(tǒng)振動(dòng)位移的時(shí)間歷程，如圖2中實(shí)線所示，圖中橫軸為時(shí)間，縱軸為位移。為了進(jìn)行比較，本文采用冪級(jí)數(shù)法計(jì)算系統(tǒng)(3)，其計(jì)算公式為[1,24]：

(25)

(26)

根據(jù)式(25)和式(26)，系統(tǒng)(3)可以表示為

(27a)

y(tn)=[-kx(tn)-(c+Kp)y(tn-1)-Kiz1(tn-1)-

(27b)

(27c)

z2(tn)=[-kx(tn)-(c+Kp)y(tn)-Kiz1(tn)-

(27d)

根據(jù)式(27)計(jì)算系統(tǒng)(3)的數(shù)值解，計(jì)算過程中時(shí)間步長h=0.001，分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的初值設(shè)定如下[25]：

(28a)

(28b)

圖2 數(shù)值解和近似解析解比較Fig.2 Comparison of numerical solution and approximate analytical solution

3 分?jǐn)?shù)階PID控制性能分析

下面分析分?jǐn)?shù)階PID控制的系數(shù)Kp、Ki、Kd以及分?jǐn)?shù)階階次λ和δ變化時(shí)，對系統(tǒng)控制性能的影響。參照二階振蕩系統(tǒng)的性能指標(biāo)，分析分?jǐn)?shù)階PID控制參數(shù)對系統(tǒng)的上升時(shí)間和峰值的影響。

(1)上升時(shí)間

系統(tǒng)響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，定義為上升時(shí)間tr。由式(22)得

(29)

求解方程，并利用式(23)進(jìn)行化簡，上升時(shí)間為tr為：

(30)

由式(30)可知，當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時(shí)，上升時(shí)間與比例環(huán)節(jié)的等效線性剛度以及積分環(huán)節(jié)的等效線性負(fù)剛度有關(guān)。由式(21)可知，增大比例環(huán)節(jié)系數(shù)Kp，將增大系統(tǒng)的阻尼，當(dāng)系統(tǒng)成為過阻尼系統(tǒng)時(shí)，上升時(shí)間將會(huì)增大。增大積分環(huán)節(jié)系數(shù)Ki，其階次λ保持不變時(shí)，將增大K(I)和系統(tǒng)的等效線性剛度K，使上升時(shí)間減少，加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度。增大微分環(huán)節(jié)系數(shù)Kd，其階次δ保持不變時(shí)，將減小K(D)和系統(tǒng)的等效線性剛度K，使上升時(shí)間增長，減慢系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

積分環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)階階次λ和系數(shù)Ki共同調(diào)節(jié)積分環(huán)節(jié)的作用。當(dāng)積分環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)階階次λ從0到1變化時(shí)，繪制出系統(tǒng)(3)的等效線性剛度曲線，如圖3所示。由圖3可見，隨著λ的增大，將使系統(tǒng)的等效線性剛度K先變大然后變小，在λ=0.4附近時(shí)系統(tǒng)的等效線性剛度最大，上升時(shí)間最短。

圖3 λ變化時(shí)的等效剛度曲線Fig.3 Equivalent linear stiffness with λ

微分環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)階階次δ和系數(shù)Kd共同調(diào)節(jié)微分環(huán)節(jié)的作用。當(dāng)微分環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)階階次δ從0到1變化時(shí)，繪制出系統(tǒng)(3)的等效線性剛度曲線，如圖4所示。由圖4可見，隨著δ的增大，將使系統(tǒng)的等效線性剛度K先略有增大再逐漸變??；上升時(shí)間也將先略有減少，再逐漸變長。

圖4 δ變化時(shí)的等效剛度曲線Fig.4 Equivalent linear stiffness with δ

(2)峰值時(shí)間及峰值

系統(tǒng)響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值時(shí)，定義為峰值時(shí)間tp。將式(22)對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即由

(31)

整理后得到

(32)

因此，解得：

(33)

當(dāng)t=tp時(shí)，代入式(22)，則可以計(jì)算出第一個(gè)峰值Mp，即

(34)

由式(21)和式(34)可知，隨著比例環(huán)節(jié)系數(shù)Kp的增大，等效阻尼比ξ逐漸增大，則第一個(gè)峰值將逐漸減小。當(dāng)積分環(huán)節(jié)的系數(shù)Ki及其分?jǐn)?shù)階階次λ、微分環(huán)節(jié)的系數(shù)Kd及其分?jǐn)?shù)階階次δ分別變化時(shí)，繪制出系統(tǒng)(3)的等效阻尼比曲線，如圖5所示。

圖5 等效阻尼比曲線Fig.5 Equivalent damping ratio curves

由圖5(a)可知，隨著積分環(huán)節(jié)系數(shù)Ki的增大，等效阻尼比ξ逐漸增大，則第一個(gè)峰值將逐漸減小。由圖5(b)可知，隨著積分環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)階階次λ的增大，等效阻尼比ξ逐漸減小，則第一個(gè)峰值逐漸增大。由圖5(c)可知，隨著微分環(huán)節(jié)系數(shù)Kd的增大，等效阻尼比ξ逐漸增大，則第一個(gè)峰值將逐漸減小。由圖5(d)可知，隨著微分環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)階階次δ的增大，等效阻尼比ξ先逐漸增大然后減小，則第一個(gè)峰值將先逐漸減小后增大。

4 分?jǐn)?shù)階PID控制實(shí)例

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器時(shí)，需要根據(jù)控制目標(biāo)合理地選擇控制器參數(shù)，以提高系統(tǒng)的控制效果。下面以一個(gè)實(shí)例來說明分?jǐn)?shù)階PID控制參數(shù)的整定過程和控制效果。

對于二階系統(tǒng)，一般希望系統(tǒng)工作在ξ=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)，因?yàn)檫@個(gè)工作狀態(tài)的振蕩特性適度而且過渡過程較短。設(shè)單自由度1/4車輛懸架模型以ξ=0.4為設(shè)計(jì)目標(biāo)對控制器參數(shù)進(jìn)行整定，并保持系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間基本不變，以滿足一定的響應(yīng)快速性和乘客的舒適度。根據(jù)前面的分析，僅包含比例環(huán)節(jié)就可以實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)，但是若考慮車輛的載重量變化時(shí)懸架的靜撓度保持不變，控制器應(yīng)包含比例、積分以及微分三個(gè)環(huán)節(jié)。

根據(jù)控制目標(biāo)可以建立如下方程：

(35a)

(35b)

以分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制參數(shù)為變量，式(35)有無窮多解。為了便于計(jì)算，可以取λ=0.5和δ=0.5，并令比例環(huán)節(jié)引起的等效阻尼為調(diào)節(jié)阻尼的1/3，則可以得到一組解：Kp=189，Ki=768，Kd=94。根據(jù)式(22)繪制出PID控制參數(shù)整定前后系統(tǒng)振動(dòng)位移的時(shí)間歷程，如圖6所示。從圖6中可以看出最大振幅得到了抑制，上升時(shí)間保持不變，達(dá)到了控制目標(biāo)。

圖6 分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定前后比較Fig.6 Comparison of before and after parameters tuning

當(dāng)λ=1和δ=1時(shí)，分?jǐn)?shù)階PID轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)整數(shù)階PID。若采用整數(shù)階PID控制實(shí)現(xiàn)上述控制目標(biāo)，整數(shù)階PID僅包含比例環(huán)節(jié)，也可以實(shí)現(xiàn)相同的控制效果。但是當(dāng)車輛的載重量增加時(shí)，如果需要保持懸架的靜撓度固定不變，整數(shù)階PID需要增加積分環(huán)節(jié)以增大系統(tǒng)的剛度，同時(shí)為了滿足上升時(shí)間保持不變,同樣也需要包含微分環(huán)節(jié)。當(dāng)傳統(tǒng)整數(shù)階PID各個(gè)環(huán)節(jié)的系數(shù)取整定后的分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)時(shí)，根據(jù)式(22)繪制出分?jǐn)?shù)階PID控制和傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制的系統(tǒng)振動(dòng)位移的時(shí)間歷程，如圖7所示。從圖7中可以看出，采用分?jǐn)?shù)階PID控制的最大振幅比整數(shù)階PID的小，而且整數(shù)階PID控制的上升時(shí)間增大了，可見基于速度反饋的分?jǐn)?shù)階PID控制對單自由度1/4車輛懸架模型的控制效果要優(yōu)于傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制。

圖7 分?jǐn)?shù)階PID與整數(shù)階PID控制效果比較Fig.7 Comparison between the control effects of fractional-order PID with integer-order PID

4 結(jié) 論

本文研究了基于速度反饋的分?jǐn)?shù)階PID控制的單自由度線性振子的動(dòng)力學(xué)特性，利用平均法求得了系統(tǒng)的近似解析解，并利用數(shù)值解驗(yàn)證了方法和結(jié)果的正確性。定義了三個(gè)等效線性阻尼參數(shù)、一個(gè)等效線性剛度參數(shù)和一個(gè)等效線性負(fù)剛度參數(shù)，從理論上分析了分?jǐn)?shù)階PID控制對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。通過系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)，分析了分?jǐn)?shù)階PID控制的系數(shù)Kp、Ki、Kd以及分?jǐn)?shù)階階次λ和δ變化時(shí)，對系統(tǒng)控制性能的影響。最后，通過單自由度1/4車輛懸架模型的控制實(shí)例，證實(shí)了當(dāng)控制參數(shù)相同時(shí),基于速度反饋的分?jǐn)?shù)階PID控制比傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制具有明顯的優(yōu)越性。

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Effect of a fractional-order PID controller on the dynamical response of a linear single degree-of-freedom oscillator

NIU Jiangchuan, SHEN Yongjun, YANG Shaopu, LI Sujuan

(School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

The free vibration of a linear single degree-of-freedom (SDOF) oscillator with a fractional-order PID controller of velocity feedback was investigated by the averaging method, and the approximately analytical solution was obtained. The results indicate that the effects of the parameters in the fractional-order PID controller on the dynamical properties are characterized. The proportional component of the fractional-order PID controller is characterized in the form of equivalent linear damping. The integral component of the fractional-order PID controller is characterized in the form of equivalent linear damping and equivalent linear stiffness. The differential component of the fractional-order PID controller is characterized in the form of equivalent linear damping and equivalent linear negative stiffness. Those equivalent parameters could distinctly illustrate the effects of the parameters in the fractional-order PID controller on the dynamical response. A comparison of the analytical solution with numerical results is made, and their agreement verifies the correctness of the approximately analytical results. The effects on system control performance of the coefficients and the orders in the fractional-order PID controller were analyzed by time response performance metrics parameters. Finally, the parameters tuning of the fractional-order PID controller based on velocity feedback was demonstrated through controlling a SDOF quarter vehicle suspension model.

fractional-order PID control; averaging method; approximately analytical solution

國家自然科學(xué)基金(11372198);河北省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)領(lǐng)軍人才計(jì)劃(LJRC018);河北省高等學(xué)校高層次人才科學(xué)研究項(xiàng)目(GCC2014053);河北省高層次人才資助項(xiàng)目(A201401001)

2015-06-23 修改稿收到日期：2015-12-17

牛江川 男，博士，副教授，1977年生

申永軍 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1973年生 E-mail：shenyongjun@126.com

O322；TP273

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.015