謝 波

概括平差模型及其方差的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

謝 波

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶 402160)

文章區(qū)分了控制網(wǎng)中的兩類不同性質(zhì)的數(shù)據(jù)，通過控制網(wǎng)中的觀測(cè)數(shù)據(jù)和基準(zhǔn)數(shù)據(jù)分別建立了誤差方程和基準(zhǔn)方程，從而建立了概括平差模型。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)算了方差的區(qū)間估計(jì)和基準(zhǔn)方程的假設(shè)檢驗(yàn)，最后應(yīng)用于附合網(wǎng)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)選用的判斷，得出了有益的結(jié)論。

附合網(wǎng)；平差；單位權(quán)中誤差；基準(zhǔn)

0 引言

很多文獻(xiàn)論證了經(jīng)典平差各種模型的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)換，并提出了不同的概括平差模型，如於宗儔教授提出的附有限制條件的條件平差模型[1]，王新洲教授提出的附有限制條件的間接平差模型[2]，歐陽文森、朱建軍提出的附不等式約束條件的條件平差模型[3]，等等。但是，上述概括平差模型中條件方程均以必要起算數(shù)據(jù)為依據(jù)建立的，而必要起算數(shù)據(jù)和建立限制條件方程的數(shù)據(jù)共同決定了平差問題的基準(zhǔn)，因此，上述概括平差模型很容易混淆控制網(wǎng)中的兩類不同性質(zhì)的數(shù)據(jù)：觀測(cè)數(shù)據(jù)和起算數(shù)據(jù)，觀測(cè)數(shù)據(jù)決定了控制網(wǎng)的形狀，起算數(shù)據(jù)決定了控制網(wǎng)的定位或基準(zhǔn)[4]。所以，從控制網(wǎng)中的兩類數(shù)據(jù)入手來建立平差模型可以更好的理解控制網(wǎng)的內(nèi)部噪聲和參考系效應(yīng)[5]。

本文區(qū)分了控制網(wǎng)中的兩類不同性質(zhì)的數(shù)據(jù)，概括平差模型為誤差方程和基準(zhǔn)方程，以觀測(cè)數(shù)據(jù)建立誤差方程和以起算數(shù)據(jù)建立基準(zhǔn)方程，并計(jì)算附基準(zhǔn)方程的方差區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，最后應(yīng)用于附合網(wǎng)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)選用的判斷。

1 概括平差模型

對(duì)任意控制網(wǎng)，將網(wǎng)中所有點(diǎn)(包括已知點(diǎn)和未知點(diǎn))的坐標(biāo)(或高程)視為參數(shù)，則按照觀測(cè)數(shù)據(jù)和基準(zhǔn)數(shù)據(jù)分別建立誤差方程和基準(zhǔn)方程：

(1)

(2)

由誤差方程可得相應(yīng)的法方程：

(3)

式中：N=ATPA，w=ATPl，R(N)=t

考慮基準(zhǔn)方程。如果基準(zhǔn)方程的個(gè)數(shù)s不少于秩虧數(shù)d，即s≥d，則平差模型中已知數(shù)據(jù)就提供了控制網(wǎng)的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，方程有唯一的解。按最小二乘原理，由

(4)

得基礎(chǔ)方程

(5)

(6)

(7)

(8)

即

(9)

式(9)即為考慮基準(zhǔn)方程后的參數(shù)解算。

(10)

單位權(quán)方差

(11)

2 附基準(zhǔn)方程的方差區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)及應(yīng)用

基準(zhǔn)方程的個(gè)數(shù)多于秩虧數(shù)時(shí)，其為附合網(wǎng)，基準(zhǔn)方程是關(guān)于未知參數(shù)的線性約束，必須通過檢驗(yàn)。

單位權(quán)方差為

(12)

無基準(zhǔn)方程時(shí)，觀測(cè)數(shù)據(jù)決定了觀測(cè)的精度，殘差的二次型滿足

(13)

可得：

(14)

所以，方差的100(1-α)%的區(qū)間估計(jì)為

(15)

有基準(zhǔn)方程時(shí)，殘差的二次型滿足

(16)

為了檢驗(yàn)無基準(zhǔn)方程和有基準(zhǔn)方程時(shí)方差有無顯著性差異，可以構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量[7]：

(17)

滿足F(s-t，n-t)分布。選取α為顯著性水平，如果TFα(s-t，n-t)，則表示二者有顯著性差別。

由于無基準(zhǔn)方程時(shí)，秩虧自由網(wǎng)具有“保形性”的特征，即控制網(wǎng)的網(wǎng)型由且僅由觀測(cè)數(shù)據(jù)來確定的，但是，引入多于秩虧數(shù)個(gè)數(shù)的基準(zhǔn)方程后，控制網(wǎng)的網(wǎng)型受到基準(zhǔn)數(shù)據(jù)的影響以后就發(fā)生了變形，其變形的大小從本質(zhì)上反映了基準(zhǔn)數(shù)據(jù)之間的兼容性，因而，上述檢驗(yàn)方法可用于附合網(wǎng)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)選用的判斷。

如圖1為測(cè)角網(wǎng)，A、B、C、D為已知點(diǎn)，觀測(cè)值的個(gè)數(shù)為20，待定點(diǎn)為E、F點(diǎn)。表1為數(shù)據(jù)計(jì)算與分析表。

觀測(cè)數(shù)據(jù)起算點(diǎn)組合單位權(quán)中誤差區(qū)間估計(jì)α=0.05區(qū)間估計(jì)結(jié)果統(tǒng)計(jì)量TF0.05(n,t)方差檢驗(yàn)結(jié)果任意兩點(diǎn)0.82(0.59,1.35)通過 A、B、C1.08(0.60,1.29)通過5.143.74未通過A、B、D0.95(0.60,1.29)通過2.393.74通過A、C、D1.06(0.60,1.29)通過4.703.74未通過B、C、D0.84(0.60,1.29)通過0.353.74通過A、B、C、D1.05(0.61,1.25)通過2.243.11通過

從表1可知：A、B、C、D點(diǎn)的組合在區(qū)間估計(jì)時(shí)都通過檢驗(yàn)，但是，在方差檢驗(yàn)時(shí)，A、B、C組合和A、C、D組合均未通過檢驗(yàn)，說明起算點(diǎn)間的兼容性差，不宜作為起算數(shù)據(jù)；A、B、D組合和A、B、C、D組合通過了方差檢驗(yàn)，對(duì)觀測(cè)網(wǎng)的網(wǎng)型影響可接受，可以考慮作為起算數(shù)據(jù)；B、C、D組合通過了方差檢驗(yàn)，且單位權(quán)中誤差和僅有必要起算數(shù)據(jù)時(shí)的單位權(quán)中誤差最接近，反映了不受基準(zhǔn)數(shù)據(jù)影響的觀測(cè)值的精度，因而是基準(zhǔn)數(shù)據(jù)選用的最好組合。

3 結(jié)論

通過應(yīng)用分析，筆者可得到如下結(jié)論：

1)將測(cè)量平差模型統(tǒng)一為誤差方程和基準(zhǔn)方程，有利于區(qū)分控制網(wǎng)中的觀測(cè)數(shù)據(jù)和起算數(shù)據(jù)兩類不同性質(zhì)的數(shù)據(jù)，可以更好的理解控制網(wǎng)的內(nèi)部噪聲和參考系效應(yīng)。

2)附合網(wǎng)在基準(zhǔn)數(shù)據(jù)選用或判斷基準(zhǔn)數(shù)據(jù)間的兼容性時(shí)，僅僅從方差的區(qū)間估計(jì)或者假設(shè)檢驗(yàn)去評(píng)判都會(huì)有偏差，宜采用方差的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)相結(jié)合的方法，這樣的判斷更為合理。

[1] 於宗儔，于正林.測(cè)量平差原理[M].武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社，1990：127-130.

[2] 王新洲.論經(jīng)典測(cè)量平差模型的內(nèi)在聯(lián)系[J].測(cè)繪通報(bào)，2004(2)：1-4.

[3] 歐陽文森，朱建軍.經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2009，38(1)：12-15.

[4] 劉根友，郝曉光，柳林濤.參數(shù)約束平差法[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2006，26(4)：5-9.

[5] 張西光.地球參考框架的理論與方法[D].鄭州：解放軍信息工程大學(xué)，2009：35-38.

[6] 陶本藻.自由網(wǎng)平差與變形分析[M].武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社，2001：1-108.

[7] 武漢測(cè)繪科技大學(xué)測(cè)量平差教研室.測(cè)量平差基礎(chǔ)[M].3版.北京：測(cè)繪出版社，1996：177-180.

Generalized Adjustment Model and Its Variance Interval Estimation and Hypothesis Testing

XIE Bo

(ChongqingWaterResourcesandElectricEngineeringCollege，Chongqing402160，China)

The article distinguished two different types data in control network，and establishded error equation and reference equation by observation data and baseline data in the controlling network，and then established a generalization adjustment model.Interval estimation of variance and hypothesis testing of reference equations were calculated by mathematical statistics，and finally they were applied with the selection of baseline data in combined network.A useful conclusions was obtained.

networks with several fixed points；adjustment；unite weight mean square error；datum

2016-06-14

P 207+.2

：A

：1007-9394(2016)04-0006-02

謝波(1973～)，男，湖北襄陽人，工程師，現(xiàn)主要從事精密工程測(cè)量、測(cè)量數(shù)據(jù)處理等方面的研究工作。