周 穎， 王秀蓮

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 天津 300387)

一類Omega模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

周 穎， 王秀蓮

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 天津 300387)

在經(jīng)典風(fēng)險模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)公司盈余的正負(fù)不同收取不同的保費，考慮期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)。首先，通過全概率公式得到了實質(zhì)性破產(chǎn)時間的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程。在索賠分布函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時導(dǎo)出了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的微分方程。最后，在罰金函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時選取常見的三種破產(chǎn)率函數(shù)，將微分方程變化為庫默爾方程，得出期望折現(xiàn)罰金函數(shù)具體的表達式。

Omega模型； 破產(chǎn)率函數(shù)； 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)； 庫默爾方程

在經(jīng)典風(fēng)險模型中保險公司的盈余過程可表示為[1]：

(1)

其中x=C(0)≥0是初始盈余；c是一個大于零的常數(shù)，表示保險公司單位時間內(nèi)收取的保費率；{N(t)}t≥0表示t時刻累計發(fā)生索賠的次數(shù)是一個強度為λ的齊次泊松過程；Yi表示保險公司的第i次索賠，{Yi,i=1,2,…} 為獨立同分布的非負(fù)隨機變量序列，其分布函數(shù)為FY(x)，密度函數(shù)為fY(x)；{N(t)}t≥0與{Yi,i=1,2,…} 相互獨立。對應(yīng)期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為：

mδ(x)=E[e-δτw(C(T-),|C(T)|)I{T<+∞}|C(0)=x],x≥0,

(2)

其中δ≥0是折現(xiàn)因子；T是破產(chǎn)發(fā)生的時間(盈余首次為負(fù)的時間)；C(T-)是破產(chǎn)時刻之前的盈余，|C(T)|是破產(chǎn)時的赤字；I{·}表示示性函數(shù)；w(C(T-),|C(T)|)是一個罰金函數(shù),依賴于破產(chǎn)時的立即盈余和赤字，一般設(shè)為連續(xù)函數(shù)。罰金函數(shù)w(C(T-),|C(T)|)在不同情況下可以表現(xiàn)為不同的表達形式，如：Albrecher等[2]在保費率恒定且破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)=1的情況下研究了罰金函數(shù)w(x1,x2)=e-γ2x2時的期望罰金函數(shù)；Albrecher等[3]在保費率不變且破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)=1的情況下研究了罰金函數(shù)w(x1,x2)=1時的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)(即實質(zhì)性破產(chǎn)的概率)；Gerber等[4]研究了罰金函數(shù)為w(U(t))時的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。

對于經(jīng)典風(fēng)險模型，通常學(xué)者們研究的一個主要任務(wù)是計算期望折現(xiàn)罰金函數(shù)，即Gerber-shiu函數(shù)如(2)式；其中保險公司破產(chǎn)是指盈余首次為負(fù)值時，即破產(chǎn)時間T=inf{t>0|C(t)<0} 。但是實際生活中，有時保險公司的資金為負(fù)值時，公司可能會采取一些措施，比如：保險公司向銀行貸款、提高保費率、延遲支付索賠等，使得公司即使出現(xiàn)赤字也能度過難關(guān)繼續(xù)運營，直到發(fā)生實質(zhì)性破產(chǎn)。針對實質(zhì)性破產(chǎn)，風(fēng)險理論的研究中出現(xiàn)了新的破產(chǎn)模型——Omega模型(Albrecher等[5])，在這個模型中實質(zhì)性破產(chǎn)發(fā)生的概率依賴于一個破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)(x≤0表示公司負(fù)盈余值)，ω(x)dt表示在dt時間內(nèi)公司資金為x時發(fā)生實質(zhì)性破產(chǎn)的概率；一般情況下，假設(shè)ω(x)≥0，且當(dāng)xω(y)，即當(dāng)盈余越小時，保險公司發(fā)生破產(chǎn)的概率越大。針對此類模型有許多的研究，如：Albrecher等[2]研究了復(fù)合泊松模型隨機觀察時期ω(x)=1時期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；Albrecher等[3]研究了復(fù)合泊松盈余過程下破產(chǎn)率函數(shù)分別為常數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和分段常數(shù)時破產(chǎn)概率問題； WANG Xiu-lian等[6]研究了Ornstein-Uhlenbac類Omega模型下破產(chǎn)率函數(shù)為常數(shù)和線性函數(shù)時期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。但這些研究成果中都沒有考慮保費率變化的情形。

保費在保險經(jīng)營中也是至關(guān)重要的一部分。保險的目的是針對可能出現(xiàn)的意外風(fēng)險從經(jīng)濟上緩解損失,保險公司一般通過收取保費來增加收入,因理賠及常規(guī)管理造成支出。在經(jīng)典風(fēng)險模型中，保險公司收取的保費一般是關(guān)于時間的線性函數(shù)，即保費率視為固定的常數(shù)。實際上，保險公司的保費率可能會受一些因素影響而發(fā)生變換，比如：保險公司的盈余、保險公司索賠的次數(shù)、國家經(jīng)濟狀況等。如：鄭燦亮[7]和Jasiulewicz[8]研究了保費率受盈余大小影響時的破產(chǎn)概率；LU Yi等[9]研究了馬氏調(diào)制風(fēng)險模型中保費受環(huán)境影響時的破產(chǎn)概率。

本文考慮罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)的條件下，討論Omega模型中保費值與公司盈余正負(fù)相關(guān)時的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。假設(shè)當(dāng)盈余為正值時，保險公司收取一定的保費率；一旦盈余為負(fù)值時，公司通過提高保費率來降低破產(chǎn)發(fā)生的概率。

1 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

在Omega模型中，因為公司的盈余可以為負(fù)值，且本文考慮罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)，所以定義期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為：

mδ(x)=E[e-δτw(|C(τ)|)I{τ<+∞}|C(0)=x],x∈R,

其中τ表示實質(zhì)性破產(chǎn)發(fā)生的時間(實際生活中即為保險公司倒閉的時間)。

定理 假設(shè)x≥0時保費率為c1，x<0時保費率為c2，則期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足下面的積分微分方程:

證明 考慮在很小的時間區(qū)間(0,h)內(nèi)，以是否有索賠到達或發(fā)生實質(zhì)性破產(chǎn)為條件，由全概率公式有：當(dāng)x≥0時，

mδ(x)=e-δhe-λhmδ(x+c1h)+∫0he-δtλe-λt∫0+∞mδ(x+c1t-y)dFY(y)dt，

(3)

mδ(x)=e-δhe-λh-∫0hω(x+c2y)dymδ(x+c2h)+∫0he-δtw(-(x+c2t))e-λtω(x+

c2t)e-∫0tω(x+c2y)dydt+∫0he-δte-∫0tω(x+c2y)dyλe-λt∫0+∞mδ(x+c2t-y)dFY(y)dt。

(4)

考慮(3)，(4)式,當(dāng)x→0且令h→0可以得到：

mδ(0+)=mδ(0-)，

(5)

故mδ(x)在x=0處連續(xù)。

(3)，(4)式先關(guān)于h求導(dǎo)再令h→0得到：

(6)

(6)，(7)式對x→0，再由(5) 式的連續(xù)性得：

(8)

故mδ(x)在x=0處不可導(dǎo)。

且滿足：

mδ,u(0+)=mδ,l(0-)。

(11)

求解微分方程(10)和(11)時，需確定索賠分布FY、折現(xiàn)罰金函數(shù)w(-x)和破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)；以下將針對索賠分布和罰金函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時，選取3種常見的破產(chǎn)率函數(shù)進行計算。

2 指數(shù)索賠情況下期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

2.1 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程

(12)

(w(-x)ω′(x)-w′(-x)ω(x)+vw(-x)ω(x))=0,x<0。

(13)

(12)式是一個二階齊次線性微分方程，其特征方程為：

(14)

故可設(shè)方程的解為：

mδ,u(x)=A1e-Rux+B1eρux,x≥0,

(15)

其中A1,B1∈R，且-Ru<0,ρu>0是特征方程(14)的兩個根。

mδ,u(x)=A1e-Rux,x≥0。

(16)

對于(13)式，它是一個變系數(shù)微分方程，其對應(yīng)齊次方程的系數(shù)中包含ω(x)，故其解是不容易得到的。下面對給定的ω(x),w(-x)函數(shù)對方程(13)的解進行討論。

2.2 特殊破產(chǎn)率函數(shù)的具體計算

2.2.1 常數(shù)破產(chǎn)率函數(shù)時的情況

當(dāng)ω(x)=ωc,w(-x)=eqx,q>0時，方程(13)變?yōu)椋?/p>

(17)

方程(17)對應(yīng)齊次方程的特征方程為：

(18)

則方程(17)的解可設(shè)為：

mδ,l(x)=A2e-Rlx+B2eρlx+D2eqx，x<0,

mδ,l(x)=B2eρlx+D2eqx，x<0。

(19)

把(19)式代入方程(10)，通過eqx項的系數(shù)關(guān)系可得：

另一方面把(16)，(19)式代入方程(9)，通過e-vx項的系數(shù)關(guān)系得：

(20)

(16)，(19)式由連續(xù)條件(11)得：

A1=B2+D2,

(21)

由(20)，(21)式可解出A1、B2為：

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為：

2.2.2 線性破產(chǎn)率函數(shù)時的情況

當(dāng)ω(x)=-ax,w(-x)=eqx,q>0時，方程(13)變?yōu)椋?/p>

(a-v(δ-ax))mδ,l(x)-(ax(q+v)+a)eqx=0,x<0,

(22)

方程(22)對應(yīng)的齊次方程為：

(23)

該方程是一個變系數(shù)微分方程，將其進行化簡：

解庫默爾方程可得解為：

則方程(23)的解為：

(24)

令

,

則由常數(shù)變易法，我們可以求出方程(22)的一個特解：

方程(22)的解為：

當(dāng)x→-∞時，(24)式是無界的，(25)式趨于0；而x→-∞時，mδ,l(x)函數(shù)是有界的，故A3=0，則

(26)

把(16)和(26)式帶入方程(9)中，并取x=0得：

(27)

(16),(26)式再由連續(xù)條件(11)可得：

(28)

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的表達式為：

mδ(x)=

2.2.3 指數(shù)破產(chǎn)率函數(shù)時的情況

當(dāng)ω(x)=e-ax,w(-x)=eqx,a,q>0時，方程(13)變?yōu)椋?/p>

方程(29)對應(yīng)的齊次方程為：

方程(30)的解法與方程(23)的解法相似，

庫默爾方程的解為：

其中A4、B4∈R。則方程(30)的解為：

且有

(31)

(32)

令

同樣由常數(shù)變易法，我們可以求出方程(29)的一個特解：

方程(29)的解為：

當(dāng)x→-∞時，(31)式是無界的，(32)式趨于0；而x→-∞時，mδ,l(x)函數(shù)是有界的，故A4=0，則

(33)

(16)，(33)式再由條件(8)和連續(xù)條件(11)可得：

解得：

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的表達式為：

3 結(jié) 論

本文研究了Omega模型下保費大小與盈余正負(fù)有關(guān)時期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問題，利用相關(guān)風(fēng)險理論和概率知識，得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程，再通過給出索賠密度函數(shù)、罰金函數(shù)和破產(chǎn)率函數(shù),最終得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的明確表達式，為進一步研究期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問題奠定了一定的基礎(chǔ)。

[1] GERBER H U,SHIU E S W.On the time value of ruin[J].North American Actuarial Journal，1998，2(1)：48-72.

[2] ALBRECHE H,CHEUNG E C K,THONHAUSER S.Randomized observation Times for the compound Poisson risk model：the discounted penalty function[J].Scandinavian Actuarial Journal，2013，2013(6)：424-452.

[3] ALBRECHER H,LAUTSCHAM V.From Ruin to Bankruptcy for compound Poisson surplus processes[J].Astin Bulletin，2013，43(2)：213-243.

[4] GERBER H U,YANG H,SHIU E S W.The Omega model：from bankruptcy to occupation time in the red[J].European Actuarial Journal，2012，2(2)：258-272.

[5] ALBRECHER H,GERBER H U,SHIU E S W.The optimal dividend barrier in the Gamma-Omega model[J].European Actuarial Journal，2011，1(1)：43-55.

[6] WANG Xiu-lian,WANG Wei,ZHANG Chun-sheng.Ornstein-Uhlenback type Omega model[J].Frontiers of Mathematics in Chain，2016,11(3)：737-751.

[7] 鄭燦亮.馬氏環(huán)境下一類風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[D].北京：清華大學(xué)，2010.

[8] JASIULEWICZ H.Probability of ruin with variable premium rate in a Markovian environment[J].Insurance Mathematics and Economics，2001，29(2)：291-296.

[9] LU Yi，LI Shuan-ming.On the probability of ruin in a Markov-modulated risk model[J].Insurance Mathematics and Economics，2005，37(3)：522-532.

[10] ALBRECHE H,CHEUNG E C K, THONHAUSER S.Randomized observation periods for the compound Poisson risk model：dividends[J].Astin Bulletin，2011，41(2)：645-672.

[責(zé)任編輯：張存鳳]

Expected discounted penalty function for a class of Omega models

ZHOU Ying, WANG Xiu-lian

(College of Mathematical Science, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

On the basis of the classical risk model, this paper considers the expected discounted penalty function according to the company’s surplus plus or minus charge the premium. Firstly, we obtain the integral differential equation for the expected discounted penalty function of bankruptcy by the law of total probability. Secondly, the differential equation for the expected discounted penalty function in the case of exponential claim is given. Finally, choosing three common bankruptcy rate functions in the penalty function as exponential function, we have derived the explicit expressions of the expected discounted penalty function by changing differential equation to Kummer function.

Omega model; bankruptcy rate function; discounted penalty function; Kummer equation

1673-2944(2016)06-0072-08

2016-07-06

2016-09-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(11401436)；天津師范大學(xué)博士基金資助項目(52XB1204)

周穎(1991—)，女，安徽省無為縣人，天津師范大學(xué)碩士研究生，主要研究方向為隨機過程在金融保險中的應(yīng)用;[通信作者]王秀蓮(1965—)，女，山西省呂梁市人，天津師范大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為隨機過程在金融保險中的應(yīng)用。

O211.67

A