柴 凱，楊慶超，朱石堅，樓京俊

（1.海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢 430033；2.海軍工程大學(xué) 船舶振動噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430033）

矩形永磁鐵的磁力計算及其應(yīng)用

柴 凱1，楊慶超2，朱石堅2，樓京俊2

（1.海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢 430033；2.海軍工程大學(xué) 船舶振動噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430033）

負(fù)剛度結(jié)構(gòu)可用于系統(tǒng)的低頻隔振，依據(jù)等效磁荷法建立矩形永磁鐵的磁力和剛度解析模型，得到實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度的最優(yōu)磁鐵布置和充磁方向，并設(shè)計三磁體型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明，矩形磁鐵磁力和剛度計算模型準(zhǔn)確，三磁體型準(zhǔn)零剛度隔振器在不影響載荷性能的前提下具有優(yōu)越的低頻隔振性能。

振動與波；矩形磁鐵；負(fù)剛度；準(zhǔn)零剛度；低頻隔振

機(jī)械設(shè)備振動是潛艇輻射噪聲的主要來源，隔振是控制振動向艇體傳遞的常用手段。降低固有頻率和實(shí)現(xiàn)共振峰附近振動的高效隔離是提高隔振系統(tǒng)性能的關(guān)鍵[1]，傳統(tǒng)的方法是通過降低系統(tǒng)剛度，但較低的剛度會使彈簧的靜態(tài)位移增大，導(dǎo)致系統(tǒng)的承載能力降低。準(zhǔn)零剛度隔振器是通過合理選擇負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的幾何和剛度參數(shù)，將正負(fù)剛度彈性元器件并聯(lián)在靜平衡位置附近獲得零剛度的組合隔振器，系統(tǒng)的承載力由正剛度彈簧決定，負(fù)剛度元件用以減少系統(tǒng)動剛度，高靜低動的特性能有效解決低頻隔振下穩(wěn)定性和隔振效果之間的矛盾，并顯著擴(kuò)大了隔振頻帶范圍[2]。準(zhǔn)零剛度隔振技術(shù)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的設(shè)計和計算，基于永久磁鐵或電磁鐵的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)因?yàn)闊o機(jī)械摩損、噪聲小、無需潤滑、可引入半主動控制調(diào)節(jié)系統(tǒng)剛度和承載能力不受負(fù)剛度機(jī)構(gòu)影響等優(yōu)點(diǎn)，引起了諸多學(xué)者的極大關(guān)注。Zhou等將結(jié)構(gòu)梁、電磁鐵和永久磁鐵并聯(lián)設(shè)計了隔振器，通過調(diào)節(jié)電流的方向?qū)崿F(xiàn)隔振器的半主動控制[3]；Li等通過磁環(huán)與橡皮膜結(jié)合設(shè)計了負(fù)剛度隔振器[4]；Tao等設(shè)計了六自由度的磁懸浮型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)[5]；Shan等利用氣囊和磁環(huán)結(jié)合設(shè)計了一種新型空氣彈簧減振器[6]；Zheng等對基于永磁鐵和電磁鐵的準(zhǔn)零剛度隔振器進(jìn)行了深入研究[7]；Yu等采用垂直線性線圈彈簧和兩個對稱的磁力彈簧組合設(shè)計了磁力準(zhǔn)零剛度隔振器[8]。但上述文獻(xiàn)主要采用環(huán)形磁鐵，文中通過建立矩形磁鐵的磁力和剛度解析模型，并分析其負(fù)剛度特性，通過仿真優(yōu)化矩形磁鐵的布置方式、充磁方向和尺寸參數(shù)，將其應(yīng)用于三磁體型準(zhǔn)零剛度隔振器。

1 矩形磁鐵的磁力解析模型

1.1 點(diǎn)磁荷磁場強(qiáng)度的計算

對于面積為2a×2b矩形磁面，見圖1，磁荷面密度為σ，依據(jù)等效磁荷理論[9]，任意一點(diǎn)P的標(biāo)量磁位的二維泊松方程

圖1 矩形磁面對P點(diǎn)的磁標(biāo)量勢

其中Ui=x-(-1)ia，Vj=y-(-1)jb，W=z，

圖2 矩形磁體對P點(diǎn)的磁標(biāo)量勢

對于體積為2a×2b×2c矩形磁鐵，被磁化后各磁偶極子在磁鐵內(nèi)部均勻排列，N，S極首尾相連，只在兩個端面出現(xiàn)單一的正或負(fù)磁荷，見圖2。由靜磁學(xué)理論[10]，當(dāng)充磁方向與磁鐵表面法線重合，釹鐵硼永磁材料的介質(zhì)極化強(qiáng)度J、面磁荷密度σ和剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度Br三者相等，令Wk=-(-1)kc，根據(jù)H=- φP，在場點(diǎn)P對φP求梯度，可得P點(diǎn)磁場強(qiáng)度

其中εx=ln(r-V)，εy=ln(r-U)，

1.2 矩形磁鐵的磁力和剛度解析模型

設(shè)上下磁鐵均均勻充磁，下磁鐵尺寸為2a×2b×2c，介質(zhì)極化強(qiáng)度為J，所在坐標(biāo)系為O-XYZ；上磁鐵尺寸為介質(zhì)極化強(qiáng)度為方向與下磁鐵相同，所在坐標(biāo)系為坐標(biāo)原點(diǎn)為見圖3。

圖3 上下矩形磁鐵的幾何模型

根據(jù)等效磁荷理論，兩塊磁鐵間的磁力由上、下磁鐵的上、下端面相互作用產(chǎn)生，兩塊充磁方向平行的靜磁能

當(dāng)上下磁鐵充磁方向相同時F取正，反之則F取負(fù)，省略多重求和為零的項，可得

其中α=ln(r-U)，β=ln(r-V)，剛度可表示為力對位移的負(fù)導(dǎo)數(shù)，對式(10)分別在不同方向求導(dǎo)，并省略多重求和為零的項，可得

其中τx=Ulnβ+r，τy=Vlnα+r，τz=-2r-Ulnβ-Vlnα。

2 磁鐵布置方式和充磁方向的選擇

由上述分析可知，矩形磁鐵磁力與磁鐵的相對位置、磁鐵充磁方向、磁鐵幾何參數(shù)和剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度等密切相關(guān)。

實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度隔振器的負(fù)剛度曲線應(yīng)滿足平衡位置某個鄰域內(nèi)剛度小于零，關(guān)于平衡位置兩邊對稱且可微，且對于曲線2而言，由于負(fù)剛度系統(tǒng)不穩(wěn)定，還應(yīng)將其位移控制在-a和a之間，如圖4所示。

圖4 負(fù)剛度的特征曲線

研究矩形磁鐵的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的相對安裝位置和充磁方向條件。設(shè)三塊磁鐵的尺寸均為20 mm×20 mm×10 mm，磁鐵上下間隔h=20 mm，磁鐵左右間隔l=30 mm，根據(jù)磁鐵相對位置和充磁方向不同，分以下情況對中間磁鐵的剛度進(jìn)行分析。

圖5(a)中三塊磁鐵沿Z軸間隔h布置，充磁方向相同，兩兩之間的磁力表現(xiàn)為吸引力。當(dāng)上、下磁鐵固定，中間磁鐵沿Z軸上下運(yùn)動時，kz=Kz(0,0,z-h)+Kz(0,0,z+h)，剛度曲線如圖6(a)所示，滿足負(fù)剛度曲線特征，但有位移限制；沿Y軸左右運(yùn)動時，ky=2Ky(0,y,h)，剛度曲線見圖6(b)，具有正剛度特性，需將中間磁鐵的充磁方向改為垂直向下；沿X軸前后運(yùn)動時，kx=Kx(x,0,h)=Ky(0,y,h)，也需將中間磁鐵的充磁方向改為垂直向下后才能用于準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計。

圖5 矩形磁鐵的布置方式

圖6 垂直布置結(jié)構(gòu)的剛度-位移曲線

圖5(b)中三塊磁鐵沿Y軸間隔l布置，充磁方向兩邊磁鐵相同，中間磁鐵與兩邊磁鐵相反。中間磁鐵沿Z軸上下運(yùn)動時，磁鐵kz=-2Kz(0,l,z)，剛度曲線見圖7(a)，具有正剛度特性，需將中間磁鐵充磁方向改為垂直向上；沿Y軸左右運(yùn)動時，ky=-Ky(0,y+l,0)-Ky(0,y-l,0)，剛度曲線見圖7(b)，具有負(fù)剛度特性，但有位移限制；沿X軸前后運(yùn)動時，kx=-2Kx(x,l,0)，剛度曲線見圖7(c)，具有正剛度特性，需將中間磁鐵的充磁方向改為垂直向上，才能用于準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計。

綜上分析，充磁方向平行時可用于準(zhǔn)零剛度隔振器設(shè)計的組合有六種，如圖8所示。

3 磁鐵的尺寸優(yōu)化

以圖8中組合1為例，探究磁鐵間距和磁鐵幾何尺寸對負(fù)剛度曲線的影響。由圖9可知，h過大會導(dǎo)致剛度較小，無法抵消正剛度，不能降低系統(tǒng)固有頻率；h過小會導(dǎo)致負(fù)剛度非線性特征增大，無法與正剛度匹配，分析中給定h=20 mm。為了在具有較大負(fù)剛度的同時還有較好的線性特征，磁鐵組在X或Y方向可以并聯(lián)布置，相應(yīng)方向上尺寸應(yīng)較小，假設(shè)X方向并聯(lián)，故可將中間磁鐵尺寸定為10 mm×30 mm×15 mm。

圖7 垂直布置結(jié)構(gòu)中的剛度-位移曲線

圖8 不同矩形磁鐵的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)組合

圖9 不同h下的剛度曲線

為了使結(jié)構(gòu)緊湊，設(shè)上下磁鐵尺寸相同且滿足a＞5 mm，b＞15 mm，c＜7.5 mm，下面依次分析a、b和c的變化對Z向剛度的影響。令b=20 mm，c=6 mm，a在6mm-12 mm內(nèi)間隔0.5取值，由圖10(a)可知，剛度隨著a的增加而減小，線性特征變好，但當(dāng)a超過9 mm后，剛度減小但線性改善程度并不明顯，故取a=9 mm。令a=9 mm，c=6 mm，b在16 mm-22 mm內(nèi)間隔0.5取值，由圖10(b)可知，剛度隨著b的增加而減小，線性特征變好，但當(dāng)b超過20 mm后，剛度減小但線性改善程度并不明顯，故取b=20 mm。令a=9 mm，b=20 mm，c在1 mm-7 mm內(nèi)間隔0.5取值，由圖10(c)可知，剛度隨著c的增加而增加，線性特征變化程度較小，取c=5 mm。

4 基于三磁體的準(zhǔn)零剛度隔振器設(shè)計

基于磁引力的三磁體型準(zhǔn)零剛度隔振器原理如圖11所示，永磁鐵C1和C3固定于基座上，中間磁鐵C2與隔振質(zhì)量塊相連，通過約束使其只能上下運(yùn)動，C2和C1、C3呈吸引力布置。設(shè)M=2.5 kg，K=600 N/m，三塊永磁鐵的充磁方向相同，上下磁塊尺寸為18 mm×40 mm×10 mm，中間磁塊尺寸為10 mm×30 mm×15 mm，Br=1.1 t，μr=1.05 t，h=30 mm。

圖12是三磁體Maxwell有限元仿真結(jié)構(gòu)圖。由圖13可知，C2在平衡位置所受磁力為0，故將C2與質(zhì)量塊連接不會影響彈簧的載荷性能；三磁體組成的負(fù)剛度元件能產(chǎn)生與載荷位移相同的力，使得系統(tǒng)的回復(fù)力和剛度減??；有限元仿真結(jié)果與三磁體磁力解析模型結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了文中采用磁力解析模型的準(zhǔn)確性。由圖14可知，通過正負(fù)剛度的并聯(lián)，使得系統(tǒng)在位移區(qū)間-10 mm和10 mm內(nèi)總剛度趨于0，從而能在小幅振動范圍內(nèi)達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定以實(shí)現(xiàn)低頻隔振。

圖10 尺寸參數(shù)對負(fù)剛度的影響

圖11 三磁體型準(zhǔn)零剛度隔振器

圖12 三磁體有限元結(jié)構(gòu)圖

圖13 三磁體型隔振器的力-位移曲線

圖14 三磁體型隔振器的剛度-位移曲線

5 結(jié)語

通過矩形磁鐵與機(jī)械彈簧并聯(lián)設(shè)計了三磁體型準(zhǔn)零剛度隔振器。

（1）利用基于磁極化強(qiáng)度與磁偶極子之間的關(guān)系，計算出單位長度兩塊磁體之間的靜磁能，通過對靜磁能求導(dǎo)得到兩磁體間磁力。

（2）采用矩形磁鐵作為負(fù)剛度元件，通過合理選擇磁鐵布置方式和充磁方向，可使其負(fù)剛度區(qū)間范圍擴(kuò)大，且在區(qū)間內(nèi)剛度變化平緩。

（3）將磁鐵尺寸參數(shù)作為對象，對充磁方向相同的上、中、下磁鐵的剛度進(jìn)行了優(yōu)化，并通過有限元分析驗(yàn)證了解析模型的有效性。

（4）設(shè)計了三磁體型準(zhǔn)零剛度隔振器，實(shí)現(xiàn)了高靜低動的剛度特性，能有效解決低動剛度和失穩(wěn)的矛盾，具有一定的工程應(yīng)用價值。

[1]候九霄，朱海潮.雙自由度自調(diào)吸振器及其吸振特性[J].噪聲與振動控制，2015，35(6)：36-40.

[2]張曉平，何琳，周瑋.一種新型磁致負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的研究[J].噪聲與振動控制，2015，35(4)：159-162.

[3]ZHOU N,LIU K.A tunable high-static-low-dynamic stiffness vibration isolator[J].Journal of Sound and Vibration,2010,329:1254-1273.

[4]LI QIANG,ZHU YU,XU DENGFENG,et al.A negative stiffness vibration isolator using magnetic spring combined with rubber membrane[J].Journalof Mechanical Science and Technology,2013,27(3):813-824.

[5]ZHU TAO,BENJAMIN CAZZOLATO,ANTHONY ZANDER,et al.Vibration isolation using six degree-offreedom quasi-zero stiffnessmagneticlevitation[J].Journal of Sound and Vibration,2015,358:48-73.

[6]SHAN YUHU,WU WENJIANG,CHEN XUEDONG. Design of a miniaturized pneumatic vibration isolator with high-static-low-dynamic stiffness[J].Journal of Vibration andAcoustics,2015,137:1-8.

[7]ZHENG YISHENG,ZHANG XINONG,LUO YAJUN,et al.Design and experiment of a high-static-low-dynamic stiffness isolator using a negative stiffness magnetic spring [J].Journal of Sound and Vibration,2016,360:31-52.

[8]XU DAOLIN,YU QIPING,ZHOU JIAXI,et al. Theoreticaland experimentanalysesofa nonlinear magnetic vibration isolator with quasi-zero-stiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration,2013, 332:3377-3389.

[9]WILL ROBERTSON,BEN CAZZOLATO,ANTHONY ZANDER.Theoretical analysis of a non-contact spring with inclined permanent magnets for load-independent resonance frequency[J].Journal of Sound and Vibration,2012,331:1331-1341.

[10]BISWAS B.A magnetic quadrupole from rectangular permanent magnets[J].Nuclear Instruments and Methods in Physics ResearchA,2009,605:233-242.

[11]WU WENJIANG,CHEN XUEDONG,SHAN YUHU. Analysis and experiment of a vibration isolator using a novel magnetic spring with negative stiffness[J].Journal of Sound and Vibration,2014,333:2958-2970.

Magnetic Force Calculation of Rectangular Permanent Magnets and ItsApplication

CHAI Kai1,YANG Qing-chao2,ZHU Shi-jian2,LOU Jing-jun2
(1.College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China; 2.National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise,Naval University of Engineering, Wuhan 430033,China)

Negative stiffness mechanism can be used to isolate low frequency vibration of systems.In this paper, analytical expressions of the magnetic force and stiffness of rectangular permanent magnets are derived by using the equivalent magnetic charge method.Meanwhile,the optimal arrangement and magnetization of the rectangular permanent magnets are obtained to accomplish the negative stiffness.Finally,the tri-magnet quasi-zero stiffness vibration isolation is designed.The simulation results show that the theoretical analysis is correct and the excellent low frequency vibration isolation performance is achieved without affecting the load ability.

vibration and wave;rectangular permanent magnets;negative stiffness;quasi-zero stiffness;low frequency vibration isolation

O328

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.010

1006-1355(2016)06-0051-05+66

2016-07-11

國家自然科學(xué)基金資助項目(51579242)；國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項目(51509253)

柴凱(1989-)，男，湖南省益陽市人，博士研究生，研究方向?yàn)榕灤瑒恿ρb置振動噪聲控制。

朱石堅(1955-)，男，湖南省雙峰市人，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:hjcckll@sina.com