宋春雷，彭志科

（上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

變速銑削穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的整體離散算法

宋春雷，彭志科

（上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

在銑削過(guò)程中，顫振的發(fā)生通常會(huì)導(dǎo)致被加工工件表面粗糙、刀具快速磨損，甚至?xí)p壞主軸系統(tǒng)，嚴(yán)重影響機(jī)床生產(chǎn)效率和產(chǎn)品精度。其中，再生顫振在實(shí)際銑削過(guò)程中最為普遍?；谠偕澱裨砗碗x散算法進(jìn)行顫振預(yù)測(cè)，針對(duì)變速銑削中的周期較長(zhǎng)、系數(shù)變化明顯等問(wèn)題，提出一種應(yīng)用于變速銑削過(guò)程的整體逼近的離散化算法，并分析算法收斂性。結(jié)果證明，此方法可提高計(jì)算效率和精度。

振動(dòng)與波；再生顫振；Floquet原理；變速銑削；穩(wěn)定性預(yù)測(cè)

銑削加工具有生產(chǎn)效率高、機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、適用性廣等優(yōu)點(diǎn)，是應(yīng)用最為廣泛的機(jī)械加工方法。在實(shí)際加工過(guò)程中，操作人員為防止發(fā)生顫振，通常會(huì)保守選擇切削參數(shù)，從而降低機(jī)床的真實(shí)加工性能。顫振是指機(jī)床加工過(guò)程中，機(jī)床的刀具主軸系統(tǒng)與工件相互作用而產(chǎn)生的自激振動(dòng)[1]，會(huì)導(dǎo)致工件表面粗糙、刀具磨損，嚴(yán)重的情況下甚至能損壞主軸系統(tǒng)[2]。

再生型顫振的發(fā)生最為普遍，機(jī)床刀具系統(tǒng)與工件系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程通常被表示為周期時(shí)滯微分方程[3]。穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的離散方法是一種有效解析方法。Insperger首先提出了穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的半離散算法，有效地解決了徑向切深較低的銑削過(guò)程的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的問(wèn)題[4-5]。Ding提出了全離散算法，并大幅度提高了算法的計(jì)算效率，使算法擁有更強(qiáng)的實(shí)用性[6-9]。

基于再生原理[10]，學(xué)者們從主軸參數(shù)、刀具結(jié)構(gòu)和變速銑削三個(gè)角度來(lái)探究避免顫振的方法。Segalman和Butcher通過(guò)使主軸-刀具系統(tǒng)剛度周期性變化來(lái)抑制車削顫振[11]。Duncan等在主軸上加上一些阻尼器來(lái)提高主軸-刀具系統(tǒng)在顫振頻率附近的阻尼[12]。第二類方法主要通過(guò)改變刀具結(jié)構(gòu)來(lái)避免顫振的發(fā)生[13-14]。變螺旋角的銑刀和變螺距的銑刀分別被用于避免顫振的發(fā)生，其目的是造成相鄰刀齒間不同的延遲間隔。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，兩類方法在一定程度上改善了實(shí)際的切削性能。第三類方法主要通過(guò)周期變化的主軸-刀具系統(tǒng)轉(zhuǎn)速來(lái)避免顫振，使得刀齒與工件的再生效應(yīng)被擾亂[15-16]。由于轉(zhuǎn)速的變化不需要對(duì)主軸和刀具進(jìn)行加工，并且適用各種機(jī)床，因而具有更高的實(shí)用價(jià)值。

Takemura等建立了第一個(gè)變速銑削的模型[17]。Sexton等通過(guò)諧波平衡法預(yù)測(cè)變速銑削的精度，該方法適用于徑向切深較大的情況[18]。Insperger等將半離散算法應(yīng)用于變速銑削[19]，對(duì)于銑削力系數(shù)的快速變化和被積分項(xiàng)的逼近方法限制了該算法精度和效率。文中提出一種基于矩陣重構(gòu)的離散化算法來(lái)預(yù)測(cè)變速銑削的穩(wěn)定性。在該算法中，被積分項(xiàng)被作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行逼近，主軸轉(zhuǎn)速和振動(dòng)速度等因素被加入模型。通過(guò)和1階半離散算法的比較表明，本算法具有更高的精度和效率。

1 變速銑削算法

1.1 變速策略

刀具的轉(zhuǎn)速由機(jī)床主軸控制。變速形式主要采取三角波形、正弦波形和方波形。考慮到機(jī)床主軸-刀具系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，文中采取正弦波形。正弦波形的周期為T(mén)0，截距為ΩM，振幅為ΩA。該變速策略為

其中，形函數(shù)S(t)可表示為

將幅值和頻率歸一化得到

RVA表示轉(zhuǎn)速變化的幅值和平均轉(zhuǎn)速度的比率，RVF表示平均周期和變速周期的比率。變速策略如圖1所示。

圖1 主軸變速策略

對(duì)于勻速銑削，延遲時(shí)間可表示為

其中z是銑刀的齒數(shù)。圖2為四刃銑刀的截面圖。相鄰兩個(gè)刀齒以此進(jìn)入銑削過(guò)程，兩個(gè)齒切入時(shí)間差即為齒通周期。

圖2 四刃銑刀截面圖

對(duì)于變速銑削，延遲時(shí)間τ(t)和變速策略有如

下關(guān)系

由于采取正/余弦函數(shù)作為變速策略，其積分也為余/正弦函數(shù)。將式（1）代入式（6），延遲時(shí)間可近似表示為如下周期變化的波形

將時(shí)間離散化，在第i個(gè)間隔中，延遲時(shí)間可表示為

1.2 預(yù)測(cè)算法

銑削運(yùn)動(dòng)方程可表示為時(shí)滯周期方程

其中ξ為阻尼比，ωn為固有角頻率，w為軸向切深，mt是主軸系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量。延遲時(shí)間τi等于刀具的齒通周期，變速策略周期為T(mén)，主軸平均轉(zhuǎn)速為τ0，離散時(shí)間間隔為Δt。提取齒通周期τi和變速周期T做公約數(shù)，計(jì)算得系統(tǒng)的周期TF為

其中q和p是最小公因子。K是人為選擇的離散間隔數(shù)，當(dāng)間隔數(shù)較多時(shí)，可計(jì)算出更為精確的解。

銑削運(yùn)動(dòng)方程（9）的狀態(tài)空間方程為

其中

依次計(jì)算出在各個(gè)間隔中刀齒的位置。在第n個(gè)間隔中，銑刀第j個(gè)齒的角位置為

銑刀的切入切出系數(shù)由式（13）給出。其中，φst和φex分別為第j個(gè)齒的切入和切出角。對(duì)于逆銑過(guò)程φst=0，φex=arccos(1-2RA)；對(duì)于順銑過(guò)程φst=arccos(2RA-1)，φex=π。其中，RA徑向切削深度和刀具直徑的比率。

將離散切削系數(shù)及其微分離散化，結(jié)果由式（14）和式（15）計(jì)算得出。

在離散算法中，方程的解是在一段時(shí)間間隔內(nèi)逼近方程的精確解。式（16）為銑削振動(dòng)方程式（11）在時(shí)間點(diǎn)t0附近的解。

在任一時(shí)間間隔[iΔt，iΔt+Δt]中，方程的解可等價(jià)表示為式（17）。

計(jì)算時(shí)滯項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的延遲間隔，時(shí)滯項(xiàng)的延遲時(shí)間由下式給出

在變速時(shí)，速度項(xiàng)和銑削系數(shù)項(xiàng)變換較為明顯，在本算法中，Hermite多項(xiàng)式被用來(lái)近似表示方程解的被積分項(xiàng)

系數(shù)矩陣B(t)中第一行均為0。因此，對(duì)于精確解的逼近精度決定于下式

由于延遲時(shí)間為時(shí)變值。通過(guò)Hermite多項(xiàng)式，對(duì)精確解的時(shí)滯部分和當(dāng)前部分進(jìn)行分開(kāi)逼近。式（24）中當(dāng)前部分積分區(qū)域?yàn)閇iΔt，iΔt+Δt]，由下式計(jì)算得出

時(shí)滯部分的積分區(qū)域?yàn)閇riΔt-τi，riΔt+Δt-τi]，可用相同計(jì)算方法得出。

將式（18）-式（27）代入式（17）得FTi的維數(shù)為

其中

Floquet矩陣可表示為

根據(jù)Floquet原理，如果矩陣F的所有特征值均位于復(fù)平面的單位圓之內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果存在任一特征值位于單位圓之外，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定性圖的邊界可根據(jù)特征值的分布來(lái)判定。

2 收斂性分析及比較

1階半離散算法的局部離散誤差被證明為o(Δt3)[5,20]。本算法用相似的方法來(lái)證明局部離散誤差。精確解和近似解的局部離散誤差為

其中K0是常數(shù)，可由積分計(jì)算得到。

本方法利用兩個(gè)離散點(diǎn)，局部離散誤差為ο((Δt)5)。零階半離散算法和1階半離散算法的局部離散誤差分別為為簡(jiǎn)化分析，圖3-圖4給出了當(dāng)銑削參數(shù)Ω=5 000 r/min、RAV=0.001、RAV=1時(shí)，1階半離散算法和本算法矩陣F特征值的絕對(duì)值的收斂率。

圖3 軸向切削深度為0.5 mm時(shí)穩(wěn)定性界限的收斂性結(jié)果（參考值由零階半離算法得出，其中離散間隔K取400）

圖4 軸向切削深度為0.1 mm時(shí)穩(wěn)定性界限的收斂性結(jié)果（參考值由零階半離算法得出，其中離散間隔K取400）

通過(guò)0階半離散算法計(jì)算得出參考特征值的絕對(duì)值ur，為保證精確度，離散間隔K取400。w為軸向切削深度，n表示離散間隔數(shù)。

由圖中顯示，文中提出方法收斂速度比1階半離散算法快，主要有兩方面原因：對(duì)于被積分函數(shù)的整體逼近可以減小由兩個(gè)逼近相乘從而導(dǎo)致的誤差。相較于勻速銑削加工過(guò)程，變速銑削所引起的狀態(tài)向量的系數(shù)變化更為劇烈，1階半離散算法對(duì)于逼近項(xiàng)的處理方式使得系數(shù)的變化被削弱。通過(guò)矩陣重構(gòu)使得方程的解可導(dǎo)入微分項(xiàng)，并且對(duì)被積分項(xiàng)做整體逼近，大幅提高了算法精度。如果切削過(guò)程中所采用的變速策略為三角波形或矩形波形，在算系數(shù)微分時(shí)，導(dǎo)數(shù)均采用不可導(dǎo)點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

將提出的算法應(yīng)用于單自由度銑削模型，并將結(jié)果和1階半離散算法作比較。模態(tài)參數(shù)取為Kt=6×108N/m2，Kn=2×108N/m2，ωn=922Hz，ξ=0.011，mt=0.039 93 kg，離散間隔數(shù)n=40，軸向切削深度變化步長(zhǎng)和速度變化步長(zhǎng)分別被離散為100和200個(gè)間隔。為了使變速策略更符合真實(shí)切削過(guò)程，RVA取為0.01，RVF取為1。圖5-圖7為順銑過(guò)程中所提算法穩(wěn)定性預(yù)測(cè)結(jié)果。

對(duì)算法時(shí)間進(jìn)行比較，本算法計(jì)算時(shí)間為120 s～160 s，1階半離散算法為460 s～480 s，本算法可減少65%～70%的計(jì)算時(shí)間。綜合以上兩種因素可知，本算法具有更高的效率和精度。

圖5 RA=1時(shí)系統(tǒng)銑削穩(wěn)定性預(yù)測(cè)結(jié)果

圖6 RA=0.5時(shí)系統(tǒng)銑削穩(wěn)定性預(yù)測(cè)結(jié)果

圖7 RA=0.1時(shí)系統(tǒng)銑削穩(wěn)定性預(yù)測(cè)結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)變速銑削中速度項(xiàng)和銑削力系數(shù)項(xiàng)變化較快等特點(diǎn)，提出一種變速銑削穩(wěn)定性的預(yù)測(cè)算法。通過(guò)被積分項(xiàng)的矩陣重構(gòu)，將微分項(xiàng)引入方程，并且將被積函數(shù)進(jìn)行整體逼近，減少了半離散和全離散算法中對(duì)于狀態(tài)向量及系數(shù)矩陣分開(kāi)逼近所造成的誤差和削弱效應(yīng)?；趩巫杂啥茹娤髂Ｐ?，比較了本算法和半離散算法局部離散誤差和收斂性。結(jié)果顯示，本算法和一階半離散算法的局部收斂誤差分別為并且能夠減少約65%的計(jì)算時(shí)間，擁有更大的實(shí)用價(jià)值。

[1]TOBIAS S A,FISHWICH W.Theory of regenerative machine tool chatter[J].The Engineer,1958,205(7):199-203.

[2]吳雅，師漢民.金屬切削機(jī)床顫振理論與控制的新進(jìn)展[J].中國(guó)科學(xué)基金，1993，7(2)：99-105.

[3]TOBIAS S A.Machine-tool vibration[M].Wiley,1965.

[4]INSPERGER T,STEPAN G.Semi-discretization method for delayed systems[J].InternationalJournalfor Numerical Methods in Engineering,2002,55(5):503-518.

[5]INSPERGER T,STEˊPAˊN G.Updated semi-discretization method for periodic delay-differential equations with discrete delay[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2004,61(1):117-141.

[6]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al.A fulldiscretization method for prediction of milling stability[J].InternationalJournalofMachineToolsand Manufacture,2010,50(5):502-509.

[7]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al.Second-order fulldiscretization method for milling stability prediction[J].InternationalJournalofMachineToolsand Manufacture,2010,50(10):926-932.

[8]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al,On a numerical method forsimultaneousprediction ofstability and surface location error in low radial immersion milling[J].Trans.of the ASME,Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control,2011,133(2).

[9]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al,Numerical integration method for prediction of milling stability[J].Trans.of the ASME,Journal of Manufacturing Science and Engineering,2011,133(3):391-407.

[10]KUDINOV V A,Dynamics of tool-lathe[J].Mashinostroenie,Moscow,1967.

[11]SEGALMAN D J,BUTCHER E A.Suppression of regenerative chatter via impedance modulation[J].Journal of Vibration and Control,2000,6(2):243-256.

[12]DUNCAN G S,TUMMOND M F,SCHMITZ T L.An investigation of the dynamic absorber effect in highspeed machining[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture,2005,45(4):497-507.

[13]ALTINTAS Y,ENGIN S,BUDAK E.Analytical stability prediction and design of variable pitch cutters[J].Journal of Manufacturing Science and Engineering,1999,121, 2:173-178.

[14]BUDAK E.Analytical design method for milling cutters with nonconstant pitch to increase stability,PartⅠ:theory [J].JournalofManufacturingScienceand Engineering,2003:29-34.

[15]INAMURA T,SATA T.Stability analysis of cutting under varying spindle speed[J].Annals of the CIRP,1975,23 (1):119-120.

[16]HOSHI T,SAKISAKA N,MORIYAMA I,et al.Study for practical application of fluctuating speed cutting for regenerative chatter control[J].Annals of the CIRP, 1977,25(1):175-179.

[17]TAKEMURA T,KITAMURA T,HOSHI T,et al.Active suppression of chatter by programmed variation of spindle speed[J].Annals of the CIRP,1974,23(1):121-122.

[18]SEXTON J S,MILNE R D,STONE B J.A stability analysis of single-point machining with varying spindle speed[J].Applied Mathematical Modelling,1977,1(6): 310-318.

[19]SEGUY S,INSPERGER T,ARNAUD L,et al.On the stability of high-speed milling with spindle speed variation[J],The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2010,48(9-12):883-895.

[20]INSPERGER T. Full-discretization and semidiscretization formilling stability prediction:some comments[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture,2010,50(7):658-662.

Stability Prediction of Milling with Periodic Spindle Speed Modulation based on Global DiscreteAlgorithm

SONG Chun-lei,PENG Zhi-ke
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China)

In the milling process,chatter always results in poor workpiece surface smoothness,tool wear,and other potential damage which reduce the productive efficiency and the accuracy of the workpiece processing.The regenerative chatter is the most common chatter in the actual milling process.An effective method to avoid the chatter is to change the spindle speed periodically.In this paper,a novel discretization method based on the regenerative principle is proposed to predict the stability of the variable speed milling.The differential terms of the solution is used through the matrix reconstruction.The results show that the proposed method can reduce the computation time and improve the accuracy of the solution.

vibration and wave;regenerative chatter;Floquet theory;variable speed milling;stability prediction

TH113

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.002

1006-1355(2016)06-0007-05+31

2016-08-11

國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11125209）；上海市科委基金資助項(xiàng)目（14140711100）

宋春雷（1990-），男，鄭州市人，碩士生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)床動(dòng)力學(xué)分析。E-mail:mit1191@sjtu.edu.cn

彭志科（1974-），男，博士生導(dǎo)師。E-mail:z.peng@sjtu.edu.cn