孫寶軍

(內蒙古財經大學 計算機信息管理學院，內蒙古 呼和浩特 010070)

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考慮區(qū)間灰數(shù)風險度的多屬性灰靶決策模型

孫寶軍

(內蒙古財經大學 計算機信息管理學院，內蒙古 呼和浩特 010070)

針對目前多屬性灰靶決策模型研究中，區(qū)間灰數(shù)比較大小公式中的只以區(qū)間大小而沒有考慮不確定性，無法度量決策者給出區(qū)間灰數(shù)風險的問題，文中提出了基于灰數(shù)集的風險度的概念，改進了現(xiàn)有的灰靶多屬性決策模型，通過風險偏好系數(shù)，得到包含風險因素的綜合評價結果。算例證明了該方法的可行性和合理性。

多屬性決策；區(qū)間灰數(shù)；風險度

灰靶決策模型是一種解決“小樣本，貧信息”的多指標、多屬性、不確定決策問題的常用方法，該方法是灰色系統(tǒng)理論中決策問題的重點研究領域。目前已在信息檢索[1]、軍事決策[2]、信息系統(tǒng)選擇決策[3]等領域?；野袥Q策的主要思想是在灰靶中找到一個靶心作為最優(yōu)模式，然后將灰靶中諸決策點與靶心點進行比較，從而確定相對最優(yōu)的對策[4]。

目前，關于灰靶決策模型的理論方面，眾多研究者從模型優(yōu)化方面進行了相關研究[5-10]：文獻[5]通過比較指標集中各指標值與靶心連線所圍成圖形(蛛網)的面積大小來對決策方案之優(yōu)劣進行評價，文獻[6]提出一種新的綜合靶心距,并以綜合靶心距最小化準則為目標函數(shù)構建非線性優(yōu)化模型來求解最優(yōu)的目標權重。文獻[7]在處理指標類型中引入了強“獎優(yōu)罰劣”變換算子，建立了強“獎優(yōu)罰劣”變換算子的加權灰靶決策模型；文獻[8]提出了一種新的多目標加權灰靶決策模型，該模型充分考慮了目標效果值中靶和脫靶兩種不同情形，提高了綜合效果測度。文獻[9～10]基于TOPSIS決策的思想，將正、負靶心等一系列新理論引入了模型并建立了正負靶心灰靶決策模型。

本文認為，現(xiàn)有的灰靶決策模型中，缺少對決策方案的風險的度量，灰靶模型決策過程中，待評價方案的準則指標一般都是用灰數(shù)表示的，在灰數(shù)的比較計算中，區(qū)間大小作為度量尺度的一個重要因素，區(qū)間大的灰數(shù)在計算中往往會獲得比較大的數(shù)值。但是根據(jù)風險理論，灰數(shù)區(qū)間大意味著指標的波動幅度、不確定性增大。雖然目前眾多學者引入了前景理論[11-12]，在決策過程中考慮決策者心理行為，但是獲得前景價值只能反應決策者或者是專家對指標屬性值的態(tài)度，在對待評價方案的優(yōu)劣比較過程中，灰數(shù)的比較仍然發(fā)揮比較大的作用，所以評價的結論中缺少對風險的綜合度量。針對這個問題，本文提出了一種基于灰數(shù)集的風險度的概念，用于評價其所包含的風險，并將風險度的概念應用到灰靶決策模型。

1 問題解決的方法和原理

1.1 問題描述

設對于某灰數(shù)多屬性決策問題，由n個決策方案構成了決策方案集為A={a1,a2,…,an}，m個評價準則或屬性構成了指標集C={c1,c2,…,cm}，M={M1,M2,…,Mt}由t個決策者組成的決策群體。決策者Mk對方案ai對指標cj的評價值為區(qū)間灰數(shù)的形式xij(k)(?)∈[xijL(k)，xijU(k)]，其中(1≤i≤n,1≤j≤m, 1≤k≤t)。因此，決策者Mk的評價組成決策矩陣X(k)=(xij(k)(?))n×m，各決策者存在權威性差異，權重向量記為A={a1,a2,…,at}，各指標屬性cj的權重向量為W={ω1,…,ωi,…ωn}，確定最優(yōu)方案集。

1.2 灰數(shù)相關理論

在灰數(shù)系統(tǒng)理論中，白數(shù)代表信息完全已知，黑數(shù)代表信息完全未知的情況，而灰數(shù)表示信息的精確值未知，但是其的范圍已知，一般用符號?表示。既有下界a又有上界b灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù) , 記為[a，b]。

定義1[12]設灰數(shù)?∈[a，b] (a

當論域μ(Ω)=1，有go(?)=μ(?)。如果限定論域Ω在區(qū)間[0,1]，則μ(?)就是區(qū)間[0,1]上的長度。

定義2[13]設兩個灰數(shù)?1∈[a1，b1] (a1

(1)

D(?1,?2)是兩個灰數(shù)?1和?2之間的相離度。

1.3 區(qū)間灰數(shù)的大小比較規(guī)則的不足

從以上灰數(shù)的比較公式看，其中都包含了灰數(shù)區(qū)間大小的因素la和lb。例如，?1∈[7,10]，?2∈[3,15]，3個公式計算的結果都是?1

定義3 灰數(shù)集E內的灰數(shù)?i∈[aL，aU](aL

(2)

風險度的概念反映了描述同一對象的各個灰數(shù)，距離其聚集中心的偏離程度，風險度越大表示其偏離中心的距離就越大，相應的不確定成份就越多。

例1 設E={?1∈[1,2],?2∈[1.5,3],?3∈[1.2,1.7]}，論域Ω=[1,3]，W={0.5,0.3,0.2}，求集合內每個灰數(shù)的風險度。

由例1可知該灰數(shù)集的核為?N=[1.19,2.24]。則D(?1,?N)=0.216，D(?2,?N)=0.58，D(?3,?N)=0.382，E(?N)=(1.19+2.24)/2=1.715。灰數(shù)?1、?2和?3的風險度R1=0.216/1.715=0.126；R2=0.58/1.715=0.338；R1=0.382/1.715=0.223。

2 考慮風險的多屬性群決策模型

2.1 核矩陣和風險度矩陣的確定方法

如果在決策模型中考慮決策指標的屬性值風險度，首先需要對專家的意見進行聚集運算，以獲得專家給出意見集的核，之后根據(jù)每個屬性的灰數(shù)集的核確定其風險度，進而計算整個方案的風險度，具體過程如下：

(1) 利用文獻[15]中的方法，依次求出方案ai在指標cj下，由t個專家評價值構成灰數(shù)集的核

k=1,2,…,t(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)

(3)

(2) 對于指標集cj∈C的，根據(jù)式(2)可以定義方案ai的風險度公式為

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n

(4)

(3) 每個方案的風險度計算公式為

(5)

則稱Core=(?ij)n×m=(cij(?))n×m為決策問題的核矩陣，稱Risk=(rij)n×m為決策問題的風險度矩陣，矩陣Core表示對多位專家偏好的聚集，矩陣Risk表示專家給出的指標值所體現(xiàn)的風險成份。

2.2 風險度靶心的確定方法

對于Core的第j列，將min{(cijL+cijU)/2}，1≤i≤n所在的位置記為-ij，該位置上對應的屬性值記為-cj=[-cijL,-cijU]。記-c={-c1,-c2,…,-cm}={[-ci1L,-ci1U], [-ci2L,-ci2U],…, [-cimL,-cimU]}為群灰靶決策核矩陣最劣效果向量，稱為核負靶心。

分別稱+εi和-εi為方案ai的正負核靶心距，其計算公式為

(6)

(7)

定義

(8)

為方案ai的偏離靶心度。其中，0≤si≤1，且si越大，對應的方案越貼近核正靶心，同時遠離核負靶心。

對于矩陣Risk的第j列，將min{rij}，1≤i≤n，所在的位置記為+R(ij)，該位置上對應的矩陣Core屬性值記為+Rrj=[cijL,cijU]。記+r={+Rr1,+Rr2,…,+Rrm}={[ci1L,ci1U], [ci2L,ci2U],…,[cimL,cimU]}為灰靶群決策風險最小效果向量，稱為風險正靶心。

對于矩陣Risk的第j列，將max{rij}，1≤i≤n所在的位置記為-R(ij)，該位置上對應的屬性值記為-Rrj=[rijL,rijU]。記-r={-Rr1,-Rr2,…,-Rrm}={[ci1L,ci1U], [ci2L,ci2U],…,[cimL,cimU]}為灰靶群決策風險最大效果向量，稱為風險負靶心。

分別稱+τi和-τi為方案ai的正負風險靶心距，其計算公式為

(9)

(10)

定義

(11)

為方案ai的風險偏離靶心度。其中，0≤γi≤1，且γi越大，對應的方案越貼近風險正靶心，同時遠離核負靶心，所包含的風險越小。

綜合式(8)和式(11)，本文給出了考慮了風險的綜合評價公式，既能包含傳統(tǒng)的灰靶決策模型中的方案貼近最優(yōu)效果向量，又能考慮方案的風險成份，綜合公式為

βi=μ·si+(1-μ)·γi

(12)

在式(12)中，μ為風險偏好因子，μ=0時公式退化為傳統(tǒng)的灰靶群決策模型。本文提出的群決策模型βi來對方案進行排序，當μ=0時，βi越大，對應的方案越優(yōu)。當μ=1時，βi越大，對應的風險越大。

2.3 具體決策步驟

綜合以上理論知識，本文提出一種考慮風險的改進多屬性灰靶決策模型，步驟如下：

步驟1 由決策專家給出灰數(shù)形式的決策矩陣，構建規(guī)范化的灰數(shù)決策矩陣，對于“效益型”指標和“成本型”指標按文獻[13]中規(guī)范化公式進行轉換；

步驟2 構建專家決策矩陣的核矩陣Core和風險度矩陣Risk；

步驟3 按照式(6)和式(7)計算每個方案的正負核靶心，并根據(jù)式(8)計算每個方案的偏離靶心度;

步驟4 按照式(9)和式(10)計算每個方案的正負風險靶心，并根據(jù)式(11)計算每個方案的風險靶心度;

步驟5 選擇風險偏好系數(shù)μ，根據(jù)式(12)計算每個方案的綜合偏離靶心度，并對決策問題的方案進行排序。

3 算例分析

為便于比較，本文選擇了文獻[13]中數(shù)據(jù)進行分析，模型在Matlab R2012b中調試通過。某地區(qū)根據(jù)前幾年投資的幾個大項目，決定進行再投資，考察的指標包括：產值C1、凈現(xiàn)值率C2、成本率C3、利稅率C4和生態(tài)效益C5。有關部門提出了4個方案，由3位決策者就各個方案以區(qū)間灰數(shù)的形式給出評估值。

文獻[13]對于決策者的權重和屬性的權重都以區(qū)間灰數(shù)的形式給出，為說明風險度對決策結果的影響，本文假設權重信息都是已知，并且考慮到決策者對于某一個屬性的權重難以量化到如[0.243,0.249]的區(qū)間內，簡化其權重部分，屬性權重取第一個決策者的權重向量中各個區(qū)間灰數(shù)的核，決策者權重取權威權重向量中各個區(qū)間灰數(shù)的核。得到W=[0.227, 0.246, 0.184,0.209,0.134]；A=[0.263,0.334 5,0.402 5]。

則決策過程如下：分別計算核矩陣Core和風險度矩陣Risk

分別找到正負核靶心和正負風險靶心

+c={[0.592,0.683]，[0.413,0.619]，[0.467,0.668]，[0.408,0.769]，[0.533,0.678] }

-c={[0.336,0.405]，[0.383,0.561]，[0.36,0.525]，[0.292,0.637]，[0.341,0.459] }

+r={[0.592,0.683]，[0.383,0.561]，[0.36,0.525]，[0.392,0.724]，[0.504,0.386] }

-r={[0.336,0.405]，[0.413,0.618]，[0.348,0.476]，[0.309,0.603]，[0.335,0.453] }

求解距離正負核心和風險靶心的靶心度

S={0.644，0.281，0.630，0.292}；γ={0.405，0.610，0.577，0.542}

選擇風險偏好系數(shù)，計算各個方案的綜合靶心度，對方案進行排序，選取μ=0.5時，得到綜合靶心度β={0.525，0.445，0.604，0.417}。方案的排列結果為a3>a1>a2>a4。

結果分析：同文獻[13]的結果a3>a1>a4>a2相比，基本一致，但本文提出的決策方法有兩個優(yōu)勢:一是通過聚集運算，簡化了文獻[13]中的多次矩陣的運算;二是在模型中能夠反映方案所包含的風險成份，通過風險度的概念，體現(xiàn)不同風險偏好決策者的決策過程。

4 結束語

針對目前多屬性灰靶決策模型的不足，本文主要做了以下工作：為了度量灰數(shù)群決策問題方案所包含的風險成份，本文基于現(xiàn)有的研究成果，提出了關于風險度的概念，給出了灰數(shù)群決策問題的風險度概念。根據(jù)給出的風險度的概念，在灰靶決策模型中，提出了風險正靶心和風險負靶心的概念，并給出了計算正負風險靶心距和方案的風險靶心偏離度的計算公式。結合風險靶心偏離度的計算公式，改造了多屬性灰靶決策模型，使得決策模型能反應方案包含風險成份，最后用算例分析了該模型的正確性和合理性。

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The Multi-attribute Grey Target Decision Making Model Including the Risk Degree of Interval Grey Number

SUN Baojun

(School of Computer Information and Management, Inner Mongolia University of Finance and Economics, Hohhot 010070, China)

There are some disadvantages for the present research on the multi-attribute grey target decision making model. The interval grey numbers are compared by the interval size and the uncertainty is not considered. It cannot measure the risk of interval grey number expressed by the decision makers. This paper proposes the concept of risk degree, and improves the present grey target model. This approach can obtain the comprehensive evaluation results by means of risk preference coefficient. Numerical examples are provided to the illustrate feasibility and rationality of the proposed approach.

multi-attribute grey decision; interval grey number; degree risk

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.12.029

2016- 03- 20

內蒙古自然科學基金資助項目(2015MS0707;2015MS0607)；內蒙古教育廳基金資助項目(NJSY127)

孫寶軍(1980-)，男，副教授，博士研究生。研究方向：風險管理和智能決策。

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