夏德茂，奚 鷹，朱文翔，華濱濱（同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海201804）

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摩擦片材料和結(jié)構(gòu)對(duì)制動(dòng)器熱彈性失穩(wěn)影響

夏德茂，奚 鷹，朱文翔，華濱濱
（同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海201804）

建立了二維摩擦制動(dòng)器熱彈性失穩(wěn)（TEI）數(shù)學(xué)模型.基于反對(duì)稱(chēng)熱點(diǎn)分布模式，采用擾動(dòng)分析法研究了臨界速度、擾動(dòng)增長(zhǎng)系數(shù)以及擾動(dòng)遷移速度的變化規(guī)律，討論和比較了摩擦片厚度、熱物理特性參數(shù)和有限周向接觸弧長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明：臨界速度隨擾動(dòng)頻率呈先減小后增大的變化規(guī)律；擾動(dòng)遷移速度在摩擦片和金屬盤(pán)內(nèi)隨擾動(dòng)頻率呈相反的變化趨勢(shì)，且擾動(dòng)在具有較高導(dǎo)熱系數(shù)的金屬盤(pán)內(nèi)的速度幾乎為零；增加摩擦片厚度、導(dǎo)熱系數(shù)、比定壓熱容和減小彈性模量均可提高滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的熱彈性穩(wěn)定性.

制動(dòng)器；熱彈性失穩(wěn)（TEI）；擾動(dòng)增長(zhǎng)系數(shù)；臨界速度；擾動(dòng)頻率

對(duì)于路面、鐵路車(chē)輛以及航空飛機(jī)所裝備的摩擦制動(dòng)器或離合器，在其發(fā)生制動(dòng)或換擋接合的過(guò)程中，當(dāng)金屬盤(pán)和摩擦片之間的相對(duì)滑動(dòng)速度高于某一臨界值時(shí)便會(huì)引起溫度場(chǎng)和接觸壓力發(fā)生不均勻擾動(dòng)，導(dǎo)致滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)因熱彈性耦合作用而進(jìn)入熱彈性失穩(wěn)（TEI）狀態(tài)［1］，最終在金屬盤(pán)面出現(xiàn)局部高溫區(qū)，并形成熱點(diǎn).熱點(diǎn)的產(chǎn)生會(huì)加劇材料的磨擦、損傷，導(dǎo)致摩擦副出現(xiàn)低頻振動(dòng)、嘯叫和抖動(dòng)，甚至發(fā)生制動(dòng)失效，嚴(yán)重影響了車(chē)輛的行駛安全和乘坐舒適性［2］.Mao等［3］將該現(xiàn)象分為摩擦激勵(lì)和靜態(tài)接觸2種，前者是由彈性體間相互滑動(dòng)摩擦引起的，而后者則是在接觸面上，由與接觸壓力相關(guān)的熱阻引起的.

TEI擾動(dòng)理論最早是由密歇根大學(xué)的Lee等［4］在西北大學(xué)Burton等［5］的研究基礎(chǔ)上提出，并指出每個(gè)滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)均存在發(fā)生TEI的臨界條件.Zagrodzki等［6］通過(guò)對(duì)換擋離合器在不同接合速度下熱點(diǎn)產(chǎn)生機(jī)理的研究后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始接合速度很高時(shí)，即使時(shí)間很短，也會(huì)在金屬盤(pán)面上觀測(cè)到熱點(diǎn)，此外結(jié)構(gòu)上存在的微小瑕疵能很大程度觸發(fā)該缺陷的產(chǎn)生.Ostermeyer等［7］通過(guò)研究指出，摩擦面上因滑動(dòng)摩擦而產(chǎn)生的微小磨損顆粒物能加劇摩擦副的溫升和TEI效應(yīng)，尤以當(dāng)熱點(diǎn)呈環(huán)形帶狀分布時(shí)最為顯著.Du等［8］研究了由一導(dǎo)熱體和一熱絕緣體組成的滑動(dòng)摩擦模型的TEI臨界條件，將求解臨界速度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解系統(tǒng)矩陣特征值問(wèn)題.Zhao等［9］通過(guò)理論建模的方法研究了在流體潤(rùn)滑狀態(tài)下濕式離合器的TEI臨界條件.Painer等［10］通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在金屬盤(pán)面上觀測(cè)到的熱點(diǎn)有焦點(diǎn)型、區(qū)域型、形變型、梯度型和粗糙型凸點(diǎn)5種，尤以焦點(diǎn)型熱點(diǎn)對(duì)制動(dòng)盤(pán)的傷害最大.Kasem等［11］通過(guò)試驗(yàn)指出，熱點(diǎn)最初出現(xiàn)在制動(dòng)盤(pán)的最外邊緣，隨著制動(dòng)的進(jìn)行，逐漸向盤(pán)內(nèi)徑方向發(fā)展，盤(pán)面高、低溫區(qū)的溫差達(dá)到近700°C.

本文以某條快速城市軌道交通車(chē)輛所裝備的盤(pán)式制動(dòng)器中的摩擦副為研究對(duì)象，考慮摩擦片厚度的影響，建立了TEI數(shù)學(xué)模型.基于反對(duì)稱(chēng)熱點(diǎn)模式，采用擾動(dòng)分析法計(jì)算和比較了摩擦片材料的彈性模量、比定壓熱容、導(dǎo)熱系數(shù)和線脹系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到的結(jié)論可為研發(fā)新型摩擦制動(dòng)器和離合器提供一定的理論參考.

1 TEI數(shù)學(xué)模型

趙家昕等［12］在建立車(chē)輛離合器熱彈性失穩(wěn)數(shù)學(xué)模型時(shí)認(rèn)為，接合過(guò)程中僅有少量摩擦熱經(jīng)熱傳導(dǎo)作用進(jìn)入摩擦襯片，且摩擦片材料只有表層溫度變化比較劇烈.因此，其將摩擦片簡(jiǎn)化為靜止的半無(wú)限大材料，即認(rèn)為摩擦片具有無(wú)限大厚度.實(shí)際上，由熱載荷分配計(jì)算式（1）［13］可知，這種假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)摩擦片材料的導(dǎo)熱系數(shù)、密度及比定壓熱容要遠(yuǎn)小于金屬盤(pán)時(shí)才成立.

式中：δ為滑動(dòng)摩擦面熱載荷分配系數(shù)；λ、ρ和cp分別為材料的導(dǎo)熱系數(shù)、密度和比定壓熱容；下標(biāo)1、2分別代表摩擦片和金屬盤(pán).

隨著列車(chē)運(yùn)行速度的不斷提高，傳統(tǒng)摩擦片材料已不能滿(mǎn)足高制動(dòng)性能的要求，紙基、復(fù)合、粉末冶金等新型摩擦材料也更多地被應(yīng)用于摩擦副材料的設(shè)計(jì)與選擇過(guò)程中.西南大學(xué)的李明［14］研究了由25Cr2MoVA制動(dòng)盤(pán)和銅基粉末冶金閘片組成的摩擦副在緊急制動(dòng)過(guò)程中的熱力耦合效應(yīng)，兩者的導(dǎo)熱系數(shù)、比定壓熱容和密度分別為50 W·（m· K）－1、460J·（kg·K）－1、7 810kg·m－3和34W· （m·K）－1、550J·（kg·K）－1、5 250kg·m－3.由式（1）可知，在制動(dòng)過(guò)程中，大約會(huì)有42.51%的熱載荷進(jìn)入摩擦片.若在建立該摩擦副的TEI模型時(shí)仍假設(shè)摩擦片具有無(wú)限大厚度，即認(rèn)為僅有少量熱載荷進(jìn)入摩擦片，勢(shì)必會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.因此，考慮摩擦片的實(shí)際厚度，本文建立了如圖1所示的TEI數(shù)學(xué)模型.

圖1 TEI數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of thermoelastic instability

圖1中，1為摩擦片，2為制動(dòng)盤(pán)，均為軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，多見(jiàn)于車(chē)用離合器，飛機(jī)的多盤(pán)、片制動(dòng)器.摩擦片在呈余弦分布的壓力擾動(dòng)p的作用下貼緊制動(dòng)盤(pán)，發(fā)生滑動(dòng)摩擦作用.假設(shè)層i的運(yùn)動(dòng)速度為vi（i＝1，2），且制動(dòng)盤(pán)相對(duì)摩擦片以恒定速度v（v＞0）沿x軸正方向運(yùn)動(dòng).a1、2a2分別為摩擦片和制動(dòng)盤(pán)的厚度.（xi，yi）為層i的靜態(tài)坐標(biāo)系，且（x1，y1）固定在滑動(dòng)摩擦面上，（x2，y2）固定在制動(dòng)盤(pán)的中分面上，（x，y）為摩擦面運(yùn)動(dòng)方向上的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系，擾動(dòng)在層i內(nèi)沿x軸方向的速度為ci.

依據(jù)文獻(xiàn)［4］，將接觸壓力擾動(dòng)形式記為

式中：p（x，t）為接觸壓力的擾動(dòng)形式；p0為接觸壓力的擾動(dòng)幅值；b為擾動(dòng)增長(zhǎng)系數(shù)；m為擾動(dòng)頻率；t為時(shí)間；j為虛數(shù)單位，j＝（－1）0.5.

圖1中各坐標(biāo)系之間存在如下關(guān)系：

顯然，汽車(chē)和火車(chē)上所裝備的盤(pán)式制動(dòng)器中摩擦片的速度v1＝0，v1、v2和c1、c2存在如下關(guān)系：

1.1 熱點(diǎn)的分布形式

Burton等［5］通過(guò)理論分析和試驗(yàn)測(cè)試后指出，熱點(diǎn)在金屬盤(pán)的摩擦面上有對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)2種模式.Lee等［4］以汽車(chē)盤(pán)形制動(dòng)器為研究對(duì)象，建立了一厚度為a的制動(dòng)盤(pán)在2塊具有無(wú)限大厚度的摩擦片之間做相對(duì)滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)的TEI模型，求解了不同熱點(diǎn)分布模式對(duì)應(yīng)的臨界失穩(wěn)條件.研究結(jié)果表明，當(dāng)熱點(diǎn)呈反對(duì)稱(chēng)分布時(shí)所需的最低臨界速度要比對(duì)稱(chēng)分布模式低很多.因此，文中后續(xù)的理論推導(dǎo)計(jì)算和研究均以熱點(diǎn)呈反對(duì)稱(chēng)分布為前提.

1.2 溫度場(chǎng)擾動(dòng)分析

依據(jù)能量守恒定理，摩擦片和制動(dòng)盤(pán)在滑動(dòng)摩擦過(guò)程中應(yīng)滿(mǎn)足

式中：q、T和f分別為熱流密度、溫度場(chǎng)擾動(dòng)以及摩擦系數(shù).

根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)和方程（2）、（3）和（5），摩擦副的溫度場(chǎng)與壓力場(chǎng)存在相同形式的擾動(dòng)，即

式中：Θi（yi）是關(guān)于yi的未知函數(shù)；Fi、Li為待求解未知常數(shù)；下標(biāo)i＝1，2，分別表示摩擦片和制動(dòng)盤(pán).其中，

同時(shí)，固體溫度場(chǎng)應(yīng)滿(mǎn)足瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程，即

為求解滿(mǎn)足方程（6）的摩擦片和制動(dòng)盤(pán)溫度場(chǎng)擾動(dòng)式中的未知常數(shù)Fi、Li，需要給出相應(yīng)的4個(gè)熱邊界條件.由文獻(xiàn)［4］可知，當(dāng)熱點(diǎn)呈反對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，制動(dòng)盤(pán)中分面上的溫度場(chǎng)擾動(dòng)為零.假設(shè)摩擦面完全接觸，則對(duì)應(yīng)接觸點(diǎn)溫度場(chǎng)擾動(dòng)相同，均為K0ebt＋j mx（K0為任意常數(shù)）.對(duì)于傳統(tǒng)路面及軌道車(chē)輛上所裝備的盤(pán)式制動(dòng)器，組成摩擦副的零件主要有制動(dòng)盤(pán)、閘片和鋼背.鋼背一方面可用來(lái)固定摩擦片，另一方面可由螺栓連接將摩擦片鉸接于制動(dòng)夾鉗上.由于鋼背的材料為鑄鋼，而摩擦片為復(fù)合材料，其剛度要遠(yuǎn)小于鋼背.因此，文中假設(shè)摩擦片的溫度場(chǎng)擾動(dòng)在鋼背和摩擦片的連接處為零.將式（6）代入式（8），結(jié)合上述熱邊界條件，即可確定式（6）中的自定義未知函數(shù)Θi（yi），并進(jìn)一步可得到摩擦片和制動(dòng)盤(pán)的溫度場(chǎng)擾動(dòng)形式分別為

1.3 熱彈性應(yīng)力與變形分析

由于摩擦副間的接觸壓力和溫度場(chǎng)存在擾動(dòng)，這些擾動(dòng)會(huì)引起材料的熱彈性和熱應(yīng)力出現(xiàn)相應(yīng)擾動(dòng).由熱彈性力學(xué)理論可知，在已知溫度場(chǎng)擾動(dòng)式（9）的前提下，滿(mǎn)足由位移表示的二維熱彈性平衡非齊次微分方程［4］的特解可通過(guò)求解位移勢(shì)函數(shù)ψi得到，其具體形式為

式中：μi、αi和νi分別為材料的剪切模量、線脹系數(shù)以及泊松比.

將溫度場(chǎng)擾動(dòng)表達(dá)式（9）代入式（10），通過(guò)迭代計(jì)算和化簡(jiǎn)后可得到位移勢(shì)函數(shù)ψi分別為由位移勢(shì)函數(shù)ψi可得到對(duì)應(yīng)的熱彈性變形u和熱應(yīng)力σ特解分別為

熱彈性平衡非齊次微分方程（8）的齊次通解可由Green等［15］解的A和D形式相加得到.文中引入2個(gè)調(diào)和函數(shù)τi和ωi，其形式如下所示：

式中：Bi、Ci、li和Mi為未知常數(shù).根據(jù)調(diào)和函數(shù)可得到對(duì)應(yīng)的熱彈性變形和熱應(yīng)力齊次通解為

在滑動(dòng)摩擦過(guò)程中引起的總熱彈性變形和應(yīng)力的通解為

式（15）中的8個(gè)未知常數(shù)Bi、Ci、li和Mi可由下面的邊界條件來(lái)確定：

（1）摩擦面上（y＝0），有

（2）制動(dòng)盤(pán)中分面上（y2＝0），有

（3）假設(shè)與鋼背連接處摩擦片背面（y1＝a1）的x和y方向上的位移擾動(dòng)為零，即

1.4 特征平衡方程

假設(shè)在制動(dòng)過(guò)程中，忽略由空氣引起的對(duì)流換熱和輻射換熱的影響［2］.由式（2）和（9）可知，當(dāng)b＞0時(shí)，接觸壓力和溫度場(chǎng)擾動(dòng)均隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)，此時(shí)系統(tǒng)處于TEI狀態(tài)；當(dāng)b＜0時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)的擾動(dòng)隨時(shí)間逐漸衰減，系統(tǒng)越趨于穩(wěn)定；若令b＝0，即為T(mén)EI狀態(tài)的臨界速度，是判斷系統(tǒng)發(fā)生熱彈性失穩(wěn)的標(biāo)準(zhǔn).將式（2）、（9）和（19）代入式（5），化簡(jiǎn)后得到

待未知常數(shù)Bi、Ci、li和Mi確定后，根據(jù)滑動(dòng)摩擦面（y＝0）上存在的邊界條件式（19）來(lái)確定接觸壓力擾動(dòng)p中的擾動(dòng)幅值p0，即臨界速度

2 結(jié)果與分析

國(guó)內(nèi)某條快速城市軌道交通車(chē)輛所裝備的盤(pán)式制動(dòng)器中摩擦副由HT250制動(dòng)盤(pán)［16］和復(fù)合材料摩擦片［17］組成.室溫下，兩者的材料特性參數(shù)如表1所示.表中還給出了另外2種用于制造汽車(chē)離合器和制動(dòng)器中摩擦片的材料：NAO［18］和FGM［19］，其配副均為HT250制動(dòng)盤(pán).為研究簡(jiǎn)便，表1中將3種不同摩擦片材料（摩擦片1～3）和HT250制動(dòng)盤(pán)組成的摩擦副分別稱(chēng)為摩擦副系統(tǒng)1、2和3.本文所取的摩擦副結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示，摩擦系數(shù)f＝0.32［17］.

表1 室溫下不同摩擦副材料參數(shù)Tab.1 Material properties of different brake pairs at room temperature

表2 摩擦副的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2_Structural parameters of brake pair

若令擾動(dòng)增長(zhǎng)系數(shù)b＝0，由不同摩擦片材料組成的摩擦副系統(tǒng)的臨界速度vcr隨擾動(dòng)頻率m的變化關(guān)系如圖2所示.從圖中可以看出，不同摩擦副系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的臨界速度vcr隨擾動(dòng)頻率m均呈先減小后增大的變化規(guī)律，每條曲線以下部分為系統(tǒng)的熱彈性穩(wěn)定區(qū)，曲線以上部分為熱彈性失穩(wěn)區(qū).不同擾動(dòng)頻率m對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界速度vcr，且系統(tǒng)存在一個(gè)發(fā)生熱彈性失穩(wěn)時(shí)所需的最低臨界速度vcr，min，如摩擦副系統(tǒng)3的點(diǎn)O1，對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)頻率稱(chēng)為臨界擾動(dòng)頻率mcr.圖中虛線G1G2和H1H2表示的是在相同臨界速度vcr下，摩擦副系統(tǒng)3可受到2個(gè)不同擾動(dòng)頻率m的激勵(lì).不同摩擦副系統(tǒng)的最低臨界速度以及對(duì)應(yīng)的臨界擾動(dòng)頻率均不同，且摩擦副系統(tǒng)3發(fā)生熱彈性失穩(wěn)時(shí)所需的最低臨界速度要比另外2種摩擦副系統(tǒng)的高.通過(guò)比較表1中3種不同摩擦片材料的特性參數(shù)，分析其原因可能是由于復(fù)合材料中與溫度相關(guān)的彈性模量、導(dǎo)熱系數(shù)以及比定壓熱容等參數(shù)的不同而導(dǎo)致摩擦面發(fā)生熱彈性變形較小，從而系統(tǒng)變得更穩(wěn)定.為了驗(yàn)證該結(jié)論，文中后續(xù)將對(duì)復(fù)合材料摩擦片的熱物理特性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)熱彈性失穩(wěn)的影響做進(jìn)一步研究.

圖2 臨界速度隨擾動(dòng)頻率的變化曲線Fig.2 Change of critical velocity with wave number

保證制動(dòng)盤(pán)厚度2a2＝0.03m不變，圖2給出了由不同厚度的摩擦片與制動(dòng)盤(pán)組成的摩擦副系統(tǒng)3的臨界速度隨擾動(dòng)頻率的變化關(guān)系.從圖中可以看出，當(dāng)m≤18m－1時(shí)，不同摩擦片厚度對(duì)應(yīng)的臨界速度曲線基本重合，但當(dāng)m＞18m－1時(shí)，同一擾動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)的臨界速度隨摩擦片厚度的增加而逐漸增大，即滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的熱彈性穩(wěn)定性逐漸提高.表3給出了當(dāng)m＝40m－1時(shí)，不同摩擦片厚度所對(duì)應(yīng)的臨界速度值及變化關(guān)系.從表中可以看出，當(dāng)摩擦片厚度a1從10mm增加至18mm時(shí)，臨界速度從17.09 m·s－1增加至49.48m·s－1，且增量不斷提高.分析原因主要是由于摩擦片的熱容量會(huì)隨其厚度的增加而增大，在等量摩擦熱的作用下，滑動(dòng)摩擦面上以及y軸方向上（見(jiàn)圖1）的溫升效應(yīng)和溫度梯度勢(shì)必會(huì)減小.在剛度不變的前提下，引起的熱應(yīng)力也會(huì)減小，降低了摩擦面上產(chǎn)生的熱彈性變形，使得摩擦面上的溫度以及壓力分布更加趨于均勻，從而提高了滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

表3 不同摩擦片厚度對(duì)應(yīng)的臨界速度（m＝40m－1）Tab.3 Change of critical velocity with thickness of frictional pad（m＝40m－1）

此外，從圖2中還可以看出，隨著摩擦片厚度a1的增加，摩擦副系統(tǒng)3的最低臨界速度vcr，min逐漸提高，對(duì)應(yīng)的臨界擾動(dòng)頻率mcr逐漸減小.表4給出了不同摩擦片厚度a1對(duì)應(yīng)的最低臨界速度vcr，min以及臨界擾動(dòng)頻率mcr值.從表中可以看出，當(dāng)摩擦片厚度a1從10mm增加至18mm，增加了80%時(shí)，對(duì)應(yīng)臨界擾動(dòng)頻率mcr從28.14m－1減小至17.21m－1，而最低臨界速度vcr，min則從14.17 m·s－1增加至24.28m·s－1，增加了71.35%.這表明，最低臨界速度vcr，min值很大程度上取決于摩擦片厚度a1.若假設(shè)給摩擦片厚度a1相同的增量2mm，從表4中可知，雖然最低臨界速度保持增加，但增量卻逐漸減小，由最初的＋17.22%逐漸降低至＋11.99%.這表明，滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的熱彈性穩(wěn)定性雖可以通過(guò)增加摩擦片厚度來(lái)得到提高，但摩擦片厚度增加到一定程度后，其對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響逐漸越小.此外，過(guò)多增加摩擦片厚度，不但造成摩擦副結(jié)構(gòu)異常龐大，且還會(huì)增加車(chē)輛的簧下質(zhì)量，也不利于列車(chē)的行駛穩(wěn)定性.比較文獻(xiàn)［12］，若在建立制動(dòng)器TEI數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中仍不考慮摩擦片厚度的影響，而直接采用一半無(wú)限大平面來(lái)替代，根據(jù)圖2和表4的計(jì)算結(jié)果可知，由無(wú)限大厚度摩擦片計(jì)算得到的最低臨界速度值要比具有固定摩擦片厚度的高，影響了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.而實(shí)際上，車(chē)輛變速箱中所裝備的離合器雖由多塊金屬盤(pán)和摩擦片組成，但兩者均有一定的厚度.因此，若忽略摩擦片厚度帶來(lái)的影響會(huì)與實(shí)際情況不符.

表4 不同摩擦片厚度對(duì)應(yīng)的最低臨界速度Tab.4 Change of minimum critical velocity with thinkness of frictional pad

若令擾動(dòng)增長(zhǎng)系數(shù)b＝0，得到摩擦副系統(tǒng)3中摩擦片和制動(dòng)盤(pán)內(nèi)遷移速度c1和c2隨擾動(dòng)頻率m的變化關(guān)系，如圖3和4所示.從圖中可以看出，在log坐標(biāo)系內(nèi)，隨著擾動(dòng)頻率m的增加，擾動(dòng)在摩擦片內(nèi)的遷移速度c1呈先減小后增加的變化趨勢(shì)，而擾動(dòng)遷移速度c2與c1的變化正好相反，兩者均在擾動(dòng)頻率m≈31.65m－1處達(dá)到峰值，這與圖3所示的摩擦副系統(tǒng)3的最低臨界速度所對(duì)應(yīng)的臨界擾動(dòng)頻率基本一致.若取m＝50m－1，對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)在摩擦片和制動(dòng)盤(pán)內(nèi)的遷移速度分別為c1＝39.51m·s－1，c2＝－0.04m·s－1.而由圖3可知，當(dāng)m＝50m－1時(shí)，對(duì)應(yīng)的臨界速度vcr＝39.55m·s－1.可見(jiàn)，擾動(dòng)在摩擦片內(nèi)的遷移速度與臨界速度基本一致.此外，擾動(dòng)在制動(dòng)盤(pán)內(nèi)的遷移速度很小，幾乎為零.因此，可得出熱點(diǎn)更傾向于出現(xiàn)在制動(dòng)盤(pán)的摩擦面上.

圖3 擾動(dòng)遷移速度c1隨擾動(dòng)頻率m的變化曲線Fig.3 Change of velocity of perturbation c1with wave number m

若令擾動(dòng)增長(zhǎng)系數(shù)b＝0，擾動(dòng)頻率m＝50m－1，擾動(dòng)在摩擦片和制動(dòng)盤(pán)內(nèi)的遷移速度ci隨滑動(dòng)速度v的變化關(guān)系如圖5所示.可以看出，擾動(dòng)遷移速度c1和c2的絕對(duì)值均隨滑動(dòng)速度v近似呈線性增加的變化趨勢(shì)，2條直線的斜率分別近似于1和－1.擾動(dòng)在制動(dòng)盤(pán)層內(nèi)的擾動(dòng)速度c2值很小，幾乎為零，該結(jié)論與圖3一致，進(jìn)而可得到c1≈v.通過(guò)比較材料的熱物理特性參數(shù)可知：擾動(dòng)在具有高導(dǎo)熱系數(shù)材料內(nèi)的遷移速度很慢，幾乎為靜止.

圖4 擾動(dòng)遷移速度c2隨擾動(dòng)頻率m的變化曲線Fig.4 Change of velocity of perturbation c2with wave number m

圖5 擾動(dòng)速度ci隨滑動(dòng)速度v的變化曲線Fig.5 Change of velocity of perturbation ciwith sliding velocity v

文獻(xiàn)［17］給出了圖2中G1、G2、H1和H24個(gè)擾動(dòng)頻率所對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)增長(zhǎng)系數(shù)隨滑動(dòng)速度的變化曲線，并指出：在TEI區(qū)域內(nèi)，若不同擾動(dòng)頻率具有相同的臨界速度，擾動(dòng)頻率越低，對(duì)系統(tǒng)發(fā)生TEI的影響越小.因此，本文在后續(xù)對(duì)摩擦副系統(tǒng)3TEI的影響研究均基于圖3中臨界擾動(dòng)頻率mcr（O1）的右側(cè)區(qū)域.假設(shè)N個(gè)熱點(diǎn)均勻分布在制動(dòng)盤(pán)滑動(dòng)摩擦面當(dāng)量摩擦半徑rμ［17］的圓周方向上，則擾動(dòng)頻率m、波長(zhǎng)β與熱點(diǎn)數(shù)N存在如下關(guān)系：

式中：r1、r2分別為制動(dòng)盤(pán)的內(nèi)、外半徑.

保持其他參數(shù)不變，改變摩擦片的彈性模量E1，不同熱點(diǎn)數(shù)N對(duì)應(yīng)的臨界速度vcr的變化如圖6和表5所示.從圖中可以看出：在log坐標(biāo)系內(nèi)，臨界速度vcr隨熱點(diǎn)數(shù)N近似呈線性增加的變化趨勢(shì).兩者呈線性關(guān)系的原因是：從圖3中可看出，臨界速度隨擾動(dòng)頻率呈指數(shù)增長(zhǎng)的變化規(guī)律，而Matlab中的log又是以指數(shù)e為底的函數(shù).因此，取對(duì)數(shù)后，臨界速度則隨熱點(diǎn)數(shù)呈線性變化的規(guī)律.隨著熱點(diǎn)數(shù)N的增加，臨界速度逐漸增大的原因是：在盤(pán)面呈周向分布的熱點(diǎn)的擾動(dòng)頻率m會(huì)隨熱點(diǎn)數(shù)N的增加而增大，系統(tǒng)需要在摩擦面上產(chǎn)生更多的熱量來(lái)激發(fā)更大的熱彈性變形的發(fā)生，因此系統(tǒng)的臨界速度會(huì)逐漸提高.隨著摩擦片彈性模量E1的增加，不同熱點(diǎn)數(shù)N對(duì)應(yīng)的臨界速度逐漸減小.主要原因是，摩擦材料的彈性模量是衡量其抵抗彈性變形能力大小的力度，彈性模量越大，使材料發(fā)生一定彈性變形的應(yīng)力也越大，進(jìn)而增強(qiáng)了應(yīng)力場(chǎng)的非均勻性，導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)隨摩擦片彈性模量的增加而逐漸降低.如表5所示，當(dāng)熱點(diǎn)數(shù)N＝16時(shí)，彈性模量E1的增量相同，臨界速度vcr的降低量卻逐漸減小.這表明當(dāng)摩擦片的彈性模量增大到一定程度時(shí)，對(duì)系統(tǒng)發(fā)生TEI的影響逐漸減小，會(huì)被其他因素，如厚度、導(dǎo)熱系數(shù)以及比定壓熱容等因素取代.

圖6 不同摩擦片彈性模量E1對(duì)臨界速度vcr的影響Fig.6 Effect of frictional pad’s elastic modulus E1on critical speed vcr

表5 摩擦片彈性模量與臨界速度（N＝16）Tab.5 Changes of elastic modulus of frictional pad with critical speed（N＝16）

導(dǎo)熱系數(shù)是指熱流密度與溫度梯度的比值，是表征材料導(dǎo)熱性的參數(shù).材料的導(dǎo)熱性會(huì)影響摩擦生成的熱量在摩擦副之間的分配，進(jìn)而影響到摩擦副的溫度分布及熱應(yīng)力.圖7和表6分別給出了摩擦片導(dǎo)熱系數(shù)λ1對(duì)系統(tǒng)臨界速度vcr的影響.從圖7中可以看出，當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)λ1增大后，臨界速度vcr明顯提高.由式（1）可知：當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)λ1增大時(shí)，熱載荷分配系數(shù)δ值逐漸降低，即被制動(dòng)盤(pán)吸收的熱載荷逐漸減小，制動(dòng)盤(pán)的溫升逐漸降低，相應(yīng)的熱彈性變形也減小，進(jìn)而降低了制動(dòng)盤(pán)表面出現(xiàn)熱點(diǎn)的可能性，系統(tǒng)變得越來(lái)越穩(wěn)定.從表6中可以看出，在摩擦片導(dǎo)熱系數(shù)增量相同的情況下，系統(tǒng)臨界速度的增量越來(lái)越高.但這里也需要指出的是，在摩擦制動(dòng)器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，過(guò)多增大摩擦片的導(dǎo)熱系數(shù)λ1，會(huì)導(dǎo)致摩擦片的溫升過(guò)高，易出現(xiàn)磨損、熱蝕和摩擦系數(shù)變得不穩(wěn)定等缺陷，影響整個(gè)制動(dòng)器的使用壽命，因此在制動(dòng)器的設(shè)計(jì)過(guò)程中要綜合考慮該因素帶來(lái)的影響.

圖7 摩擦片導(dǎo)熱系數(shù)λ1對(duì)臨界速度vcr的影響Fig.7 Effect of frictional pad’s thermal conductivity λ1on critical speed vcr

表6 摩擦片導(dǎo)熱系數(shù)與臨界速度（N＝16）Tab.6 Changes of thermal conductivity of frictional pad with critical speed（N＝16）

圖8給出了滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的臨界速度隨摩擦片比定壓熱容的變化關(guān)系.可以看出，隨著比定壓熱容的增加，臨界速度v逐漸增大.分析原因主要有

cr2個(gè)方面：一方面依據(jù)式（1），可推出制動(dòng)過(guò)程中經(jīng)熱傳導(dǎo)至摩擦片內(nèi)部的熱載荷會(huì)隨其比定壓熱容的增加而減少；另一方面，依據(jù)比定壓熱容的定義，即為單位質(zhì)量的某種物質(zhì)，在溫度升高吸收的熱量與其質(zhì)量和升高的溫度乘積之比.由于被摩擦片吸收的熱量以及質(zhì)量保持不變，若要增加比定壓熱容，則摩擦片的末溫度就要降低，即摩擦片比定壓熱容的增加會(huì)引起其在制動(dòng)過(guò)程中的溫升減小.因此可以得出：滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的TEI會(huì)隨摩擦片比定壓熱容的增加而逐漸提高.

圖8 摩擦片比熱容c（1）p對(duì)臨界速度vcr的影響Fig.8 Effect of frictional pad’s specific heat c（1）pon critical speed vcr

線脹系數(shù)是指單位溫度變化所導(dǎo)致的體積變化.在相同的溫升條件下，線脹系數(shù)越大，引起的熱變形也越大.摩擦片不同線脹系數(shù)α1對(duì)應(yīng)的臨界速度vcr隨熱點(diǎn)數(shù)N的變化曲線如圖9和表7和所示.從圖中可以看出，臨界速度vcr隨線脹系數(shù)α1的變化很小.從表7中可以看出，當(dāng)線脹系數(shù)α1從6×10－6K－1增加至9×10－6K－1，增加了50%時(shí)，對(duì)應(yīng)的臨界速度從128.66m·s－1增加至137.41m·s－1，增加了僅6.8%.分析其原因主要是由于摩擦片的導(dǎo)熱系數(shù)要小于制動(dòng)盤(pán)，制動(dòng)過(guò)程中絕對(duì)大部分熱量經(jīng)熱傳導(dǎo)作用被制動(dòng)盤(pán)吸收，僅有少部分熱量進(jìn)入摩擦片，所以滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的臨界速度對(duì)摩擦片線脹系數(shù)的改變不敏感.

圖9 摩擦片線脹系數(shù)α1對(duì)臨界速度vcr的影響Fig.9 Effect of frictional pad’s thermal expansion coefficientα1on critical speed vcr

表7 摩擦片線脹系數(shù)與臨界速度Tab.7 Changes of thermal expansion coefficient of frictional pad with critical speed

3 間歇接觸TEI模型

本文第1、2節(jié)的研究是基于組成摩擦副系統(tǒng)的摩擦片和制動(dòng)盤(pán)均為軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu).如前所述，對(duì)于傳統(tǒng)路面及軌道車(chē)輛上所裝備的盤(pán)式制動(dòng)器，組成摩擦副的零件主要有制動(dòng)盤(pán)、閘片和鋼背，如圖10a所示.在制動(dòng)過(guò)程中，摩擦片和制動(dòng)盤(pán)并非連續(xù)接觸.此時(shí)，摩擦片并不具有軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu).因此，若要考慮摩擦片有限周向接觸弧長(zhǎng)對(duì)熱彈性失穩(wěn)的影響，須建立如圖10b所示的間歇接觸TEI模型.

圖10 間歇接觸TEI數(shù)學(xué)模型Fig.10 TEI model of intermittent contact

目前還沒(méi)有精確的解析法來(lái)求解間歇接觸摩擦制動(dòng)器的熱彈性失穩(wěn)問(wèn)題［4，20］.Lee等［4］基于列車(chē)的制動(dòng)時(shí)間要遠(yuǎn)大于摩擦副旋轉(zhuǎn)一周需要的時(shí)間，將摩擦生成的熱量在制動(dòng)盤(pán)和摩擦片重新分配來(lái)處理間歇接觸問(wèn)題.Ayala等［21］在文獻(xiàn)［4］的研究基礎(chǔ)上指出，只要系統(tǒng)的傅里葉系數(shù)F0＜0.1，采用解析法得到的結(jié)果誤差僅有1%.Hartsock等［20］則提出將摩擦產(chǎn)生熱量除以盤(pán)、片的接觸弧長(zhǎng)比來(lái)近似處理摩擦副的間歇接觸問(wèn)題，即將特征平衡方程（4）做一定的修正，可得到

式中：U為摩擦副接觸弧長(zhǎng)比；φ為摩擦片包絡(luò)角.

軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)摩擦副（U＝1）和間接接觸摩擦副（U＝4）系統(tǒng)的臨界速度變化如圖13所示.可以看出，在log坐標(biāo)系內(nèi)，若考慮摩擦片周向接觸弧長(zhǎng)的影響，系統(tǒng)的臨界速度急劇增加.分析原因主要是由于式（24）確定的被摩擦副吸收的熱量相對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)摩擦副減小了U倍，很大程度上降低了制動(dòng)盤(pán)和摩擦片在制動(dòng)過(guò)程中的溫升效應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致熱變形和熱應(yīng)力都相應(yīng)減小.此外，由于摩擦片和制動(dòng)盤(pán)間歇接觸，盤(pán)面會(huì)周期性地經(jīng)歷加熱、對(duì)流冷卻和再加熱的過(guò)程，溫升效應(yīng)也會(huì)降低，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性也會(huì)得到很大提高.

圖11 摩擦片有限接觸弧長(zhǎng)對(duì)臨界速度vcr的影響Fig.11 Effect of frictional pad’s finite contact length on critical speed vcr

4 結(jié)論

（1）不同摩擦副系統(tǒng)均存在一標(biāo)志其進(jìn)入熱彈性失穩(wěn)狀態(tài)的最低臨界速度.摩擦片厚度越大，最低臨界速度越高，臨界擾動(dòng)頻率越提前.

（2）擾動(dòng)在摩擦片和滑動(dòng)層內(nèi)的遷移速度隨擾動(dòng)頻率呈相反的變化趨勢(shì).擾動(dòng)在具有較高導(dǎo)熱系數(shù)的滑動(dòng)層內(nèi)速度幾乎為零，而在摩擦層內(nèi)的擾動(dòng)速度幾乎等于滑動(dòng)層的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.增加摩擦片的導(dǎo)熱系數(shù)、比定壓熱容和減小彈性模量均可提高滑動(dòng)摩擦系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

（3）間歇接觸摩擦副系統(tǒng)的穩(wěn)定性要比軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)摩擦副的高.在制動(dòng)器和離合器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，在保證制動(dòng)性能的前提下，合理選擇摩擦片材料對(duì)系統(tǒng)的臨界速度具有重要影響.

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Effect of Material Properties and Structure of Frictional Pad on Thermoelastic Instability of Disc Brake

XIA Demao，XI Ying，ZHU Wenxiang，HUA Binbin
（School of Mechanical Engineering，Tongji University，Shanghai 201804，China）

A mathematical model on thermoelastic instability （TEI）of two dimensional disc brake was built.Change rules of critical speed，growth rate of perturbation and its migration velocity in metal disk and frictional pad were respectively resolved by utilizing perturbation method with the assumption that hot spots were antisymmetrically distributed on frictional surfaces.Then，the effects of frictional pad’s thickness，material properties and finite contact length on critical speed were analyzed and compared.The results show that，critical speed will decrease firstly and then grow again with wave number and there is an opposite trend of migration velocity in brake disk and frictional pad.Meanwhile，it is almost zero in metal disk with higher thermal conductivity.The stability of sliding frictional system can be enhanced by increasing the thickness，thermal conductivity and specific heat of the frictional pad.

disc brake；thermoelastic instability（TEI）；growth rate of perturbation；critical speed；wave number

U463.51

A

0253－374X（2016）01－0119－09

10.11908／j.issn.0253－374x.2016.01.018

2014-11-05

國(guó)家留學(xué)基金（201406260074）；國(guó)家自然科學(xué)基金（61004077）

夏德茂（1986—），男，博士生，主要研究方向?yàn)橹苿?dòng)器和離合器滑動(dòng)摩擦基礎(chǔ)理論.E－mail：demaoxia＠gmail.com

奚 鷹（1957—），男，教授，博士生導(dǎo)師，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)榇笮蛷?fù)雜機(jī)械系統(tǒng)中關(guān)鍵技術(shù)及理論.

E－mail：yingxi＠#edu.cn