嚴(yán)惠云,師義民,蘇劍,李爽

(1.西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,710072,西安;2.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,710049,西安;3.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,710100,西安)

?

色噪聲激勵(lì)下非線性隨機(jī)經(jīng)濟(jì)周期模型及其穩(wěn)定性分析

嚴(yán)惠云1,師義民1,蘇劍2,李爽3

(1.西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,710072,西安;2.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,710049,西安;3.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,710100,西安)

針對(duì)經(jīng)濟(jì)變量之間的非線性關(guān)系和不確定因素對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的隨機(jī)干擾問題,根據(jù)Goodwin消費(fèi)函數(shù)和Puu函數(shù)建立了色噪聲激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)經(jīng)濟(jì)周期模型,利用統(tǒng)一色噪聲近似原理和等效非線性化方法將模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化,由此得到了一個(gè)等效非線性白噪聲模型,以獲取判斷動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的最大Lyapunov指數(shù)。研究結(jié)果表明,最大Lyapunov指數(shù)與噪聲的自相關(guān)時(shí)間、邊際消費(fèi)率及噪聲強(qiáng)度有關(guān)。當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)的正、負(fù)號(hào)發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定性也隨之改變。若將突發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)、國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)政策調(diào)控等經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的外干擾看作色噪聲,邊際消費(fèi)作為模型參數(shù),則在邊際消費(fèi)率較小的情況下可以通過加大對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的干預(yù),如國(guó)家的經(jīng)濟(jì)政策調(diào)整等,來穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。該研究結(jié)果可為實(shí)現(xiàn)宏觀經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長(zhǎng)研究提供參考。

經(jīng)濟(jì)周期模型;Gauss色噪聲;非線性動(dòng)力學(xué);Lyapunov指數(shù);邊際消費(fèi)

經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng),其復(fù)雜性表現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)變量之間的非線性關(guān)系和不確定因素對(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)干擾。非線性動(dòng)力學(xué)方法能準(zhǔn)確刻畫復(fù)雜系統(tǒng)的非線性特性,有效分析復(fù)雜系統(tǒng)的演化過程。20世紀(jì)30年代法國(guó)的物理學(xué)家Le Corbeiller提出了利用非線性力學(xué)的振動(dòng)理論來研究經(jīng)濟(jì)周期問題[1],自此研究者應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)方法從定性到定量對(duì)經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行了研究,此后的20年中非線性經(jīng)濟(jì)周期模型的研究處于興盛時(shí)期,非線性經(jīng)濟(jì)周期模型[2-3]表現(xiàn)出了與線性周期模型完全不同的特征,其極限環(huán)[4-6]、Hopf分岔[7]、全局分岔及吸引子[8]、瞬態(tài)混沌[9]等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象引起了學(xué)者的研究興趣,近些年已經(jīng)從對(duì)確定性經(jīng)濟(jì)周期模型的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)經(jīng)濟(jì)周期模型的研究[10-11]。

目前的研究成果中,在對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔和混沌行為進(jìn)行研究時(shí),外部激勵(lì)局限于周期擾動(dòng)或白噪聲。白噪聲的功率是無限的,事實(shí)上真實(shí)的噪聲具有有限的功率,因此作為外在干擾,白噪聲不能描述真實(shí)的外激勵(lì)情況,而具有有限功率的色噪聲則更為符合實(shí)際情況[12-15]。由于色噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,因此目前還未發(fā)現(xiàn)色噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的研究成果,現(xiàn)有的成果大多局限于理論研究,實(shí)證研究較少,模型的假設(shè)與實(shí)際情況存在著較大的差異。

鑒于以上情況,本文擬將突發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)、國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)政策調(diào)控等經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的外部干擾看作高斯色噪聲激勵(lì),建立了高斯色噪聲激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)經(jīng)濟(jì)周期模型,采用部分線性化方法有效弱化了模型的非線性強(qiáng)度和復(fù)雜性,接著應(yīng)用最大Lyapunov指數(shù)研究了該模型的穩(wěn)定性,最后結(jié)合歷史數(shù)據(jù)對(duì)模型的穩(wěn)定性變化做了實(shí)證分析,以期能有效分析真實(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定變化的原因,進(jìn)而為國(guó)家的宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控決策提供參考依據(jù)。

1 經(jīng)濟(jì)周期模型及其等效非線性化

1.1 經(jīng)濟(jì)周期模型

根據(jù)Goodwin的消費(fèi)函數(shù)[4]和Puu的投資函數(shù)[16],在參考文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上建立了如下無量綱的經(jīng)濟(jì)周期模型

(1)

式中:Q(t)為高斯色噪聲,滿足

色噪聲激勵(lì)下的模型(1)不是一個(gè)馬爾可夫過程[17],因此本文利用統(tǒng)一色噪聲近似原理[18]將模型(1)簡(jiǎn)化成一個(gè)便于討論的高斯白噪聲激勵(lì)下的非線性模型。

1.2 模型(1)的噪聲白化

根據(jù)統(tǒng)一色噪聲近似原理,模型(1)可以由白噪聲激勵(lì)下的方程組來近似,即

(2)

式中:Γ(t)為高斯白噪聲,滿足〈Γ(t)〉=0及〈Γ(t)·Γ(t′)〉=2Dδ(t-t′)。

(3)

對(duì)式(3)中的第3個(gè)等式的兩邊關(guān)于t進(jìn)行求導(dǎo),再將求導(dǎo)后的結(jié)果帶入式(3)的第2個(gè)等式中可得模型

(4)

式中:c(y)=-vy3-uy-(1-α)x。

(5)

將式(5)帶入式(1)就可得到模型(1)在高斯白噪聲激勵(lì)下的近似經(jīng)濟(jì)周期模型

(6)

可以看出,由于γ(y,τ)是y的非線性函數(shù),且出現(xiàn)在模型(6)的分母上,因此模型(6)是一個(gè)關(guān)于y的強(qiáng)非線性模型,沒有辦法直接對(duì)其計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。本文考慮將模型(6)部分線性化,得到相應(yīng)的一個(gè)等效非線性模型,從而降低模型(6)的非線性強(qiáng)度和復(fù)雜性。

1.3 模型(6)的等效非線性近似

(7)

(8)

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?8)的近似精度,在取不同參數(shù)值的情況下,計(jì)算了模型(6)和模型(8)的數(shù)值解,結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 τ=0.25、L=0.2時(shí)模型(6)和模型(8)的數(shù)值解

圖2 τ=0.9、L=0.2時(shí)模型(6)和模型(8)的數(shù)值解

圖3 τ=0.5、L=0.9時(shí)模型(6)和模型(8)的數(shù)值解

由圖1～圖3可以看出,平衡點(diǎn)(0,0)附近,模型(8)對(duì)模型(6)的近似比較理想。因此,下面就以模型(8)來討論模型(1)在平衡點(diǎn)(0,0)處的穩(wěn)定性隨噪聲及參數(shù)的變化情況。

2 最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算

最大Lyapunov指數(shù)因?yàn)橛?jì)算簡(jiǎn)單,通常被用于判斷動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性[19]。本文利用擬非可積哈密頓系統(tǒng)的隨機(jī)平均法[20]計(jì)算了模型(8)的最大Lyapunov指數(shù)。

(9)

模型(9)的Wong-Zakai修正項(xiàng)為

修正后的模型(9)為

(10)

(11)

則有

因?yàn)?/p>

所以

由此,可以得到模型(8)的最大Lyapunov指數(shù)

(12)

3 經(jīng)濟(jì)周期模型穩(wěn)定變化的實(shí)證分析

根據(jù)遍歷性定理[21],模型(8)表示的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是最大Lyapunov指數(shù)λ<0。從式(12)可以看出,λ是邊際消費(fèi)率α、噪聲的自相關(guān)時(shí)間長(zhǎng)度τ及噪聲強(qiáng)度L的三元函數(shù)。由于λ<0的解析解無法得到,因此將λ的正負(fù)號(hào)隨τ、α及L的變化用蒙特卡洛圖表示,如圖4～圖7所示。

圖4 L=0.001時(shí)不同τ下λ隨著α的變化

圖5 當(dāng)L=0.01時(shí)不同τ下λ隨著α的變化

圖6 當(dāng)L=0.1時(shí)不同τ下λ隨著α的變化

圖7 當(dāng)L=0.5時(shí)不同τ下λ隨著α的變化

由圖4可以得知如下結(jié)論。

(1)當(dāng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的外激勵(lì)強(qiáng)度、外激勵(lì)的自相關(guān)時(shí)間長(zhǎng)度及邊際消費(fèi)率發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)隨之發(fā)生改變。

(2)當(dāng)L=0.001、α<0.5時(shí),無論τ取何值,λ均大于0。由此可知:當(dāng)α<0.5時(shí),在外部激勵(lì)影響很小的情況下,模型(8)定義的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)將處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)外激勵(lì)的噪聲強(qiáng)度發(fā)生變化時(shí),邊際消費(fèi)率及噪聲的自相關(guān)時(shí)間對(duì)模型穩(wěn)定性的影響也會(huì)發(fā)生變化,對(duì)比圖4～圖7可以得知如下。

(1)在L逐步增大的過程中,經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的內(nèi)在條件由較大的邊際消費(fèi)率變化到了較小的邊際消費(fèi)率。這正說明,外激勵(lì)的強(qiáng)度對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用,即在較小的邊際消費(fèi)率的情況下,可以通過加大對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的干預(yù),如國(guó)家的經(jīng)濟(jì)政策調(diào)整等,來穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的發(fā)展。

(2)噪聲的自相關(guān)時(shí)間長(zhǎng)度會(huì)影響經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在L不變的情況下,噪聲的自相關(guān)時(shí)間越長(zhǎng),系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的邊際消費(fèi)率就越小。如果將噪聲的自相關(guān)時(shí)間看作是經(jīng)濟(jì)干預(yù)的周期長(zhǎng)度,那么自相關(guān)時(shí)間越短,干預(yù)就越頻繁。頻繁的經(jīng)濟(jì)干預(yù)本身就會(huì)干擾經(jīng)濟(jì)的正常發(fā)展,影響經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,因此建議在實(shí)現(xiàn)宏觀經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長(zhǎng)期間,國(guó)家在對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控時(shí)應(yīng)該制定持續(xù)有效的經(jīng)濟(jì)政策,朝令夕改的經(jīng)濟(jì)政策只能讓經(jīng)濟(jì)的發(fā)展更不穩(wěn)定。

(3)文獻(xiàn)[22]測(cè)算出中國(guó)在1998年的邊際消費(fèi)率為0.375 7(其他年份均大于0.5)。事實(shí)上,1997年發(fā)生的亞洲金融危機(jī)影響到了中國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展,中國(guó)1998年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展出現(xiàn)了不穩(wěn)定現(xiàn)象。為了穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)發(fā)展,中國(guó)政府在1998年實(shí)行了積極有力的財(cái)政政策和貨幣政策,促使經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率很快得到了提升[23]。這說明本文的實(shí)證分析符合中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)情況,驗(yàn)證了該經(jīng)濟(jì)周期模型的有效性。

4 結(jié) 論

本文采用非線性動(dòng)力學(xué)方法研究了高斯色噪聲激勵(lì)下的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,獲得的主要結(jié)論如下。

(1)在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)附近,以邊際消費(fèi)率為內(nèi)因,將其他干擾看作外因,得到色噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)非線性經(jīng)濟(jì)周期模型。實(shí)證分析表明,邊際消費(fèi)率、噪聲自相關(guān)時(shí)間長(zhǎng)度及噪聲強(qiáng)度均會(huì)影響經(jīng)濟(jì)周期模型的穩(wěn)定性。

(2)當(dāng)邊際消費(fèi)率小于0.5時(shí),經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)將出現(xiàn)不穩(wěn)定性現(xiàn)象,此時(shí)政府可以通過宏觀政策調(diào)控來促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展,同時(shí)所施行的財(cái)政政策及貨幣政策應(yīng)該比經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)發(fā)展時(shí)期的調(diào)整力度大一些,政策調(diào)控的頻率要小,才能有效的恢復(fù)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展。

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(編輯 苗凌)

Stability of Business Cycle Model with a Gauss Colored Noise Excitation

YAN Huiyun1,SHI Yimin1,SU Jian2,LI Shuang3

(1. School of Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;3. School of Statistics, Xi’an University of Finance and Economics, Xi’an 710100, China)

For nonlinear relationships between economic variables and uncertainties to the economic system of random interference problem, a nonlinear dynamical business cycle model with Gauss colored noise is established via Goodwin consumption function and Puu investment function, and the model is simplified with a uniform colored noise approximation theory and equivalent nonlinear method. Furthermore, an equivalent nonlinear white noise model is obtained, then the largest Lyapunov exponents of the determined stability of the economic system is sought out. The approach shows that the largest Lyapunov exponent is related to the correlation time of noise, marginal consumption and noise intensity. The stability of the economic system varies with the change design of Lyapunov exponents. Choosing the sudden war, national macroeconomic policies and economic system interference as Gauss colored noise, and taking the marginal consumption as a model parameter, for the small marginal consumption rate, the economic system development can be stabilized by increasing interventions in the economic system, such as adjustment of national economic policies.

business cycle model; Gauss colored noise; nonlinear stochastic dynamics; Lyapunov exponent; marginal consumption

10.7652/xjtuxb201603022

2015-07-07。 作者簡(jiǎn)介:嚴(yán)惠云(1977—),女,講師。 基金項(xiàng)目:全國(guó)統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013LY067);陜西省教育廳基金資助項(xiàng)目(2014JK1276);陜西省統(tǒng)計(jì)研究中心基金資助項(xiàng)目(14DJ04)。

時(shí)間:2015-12-10

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151210.1127.002.html

O322

:A

:0253-987X(2016)03-0141-06