張瑞君, 劉亞峰

(1.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 天津 300401；2.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，河北 石家莊 050043)

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一個能量與位勢相依的二階譜問題及其相關(guān)的發(fā)展方程族

張瑞君1, 劉亞峰2

(1.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 天津 300401；2.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，河北 石家莊 050043)

本文將研究一個二階譜系及相關(guān)的非線性發(fā)展方程及其Hamilton系統(tǒng)，利用Lax對非線性化方法，討論經(jīng)典力學(xué)的Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)，得到Bargmann約束下完全可積的 Hamilton系統(tǒng)，通過Bargmann約束，從而給出發(fā)展方程族解的對合表示。

譜問題； Lax對非線性化；Bargmann約束；可積系統(tǒng)

0 引言

非線性發(fā)展方程與有限維完全可積Hamilton系統(tǒng)之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)物理研究的一個十分重要的內(nèi)容。Lax對非線性化[1]是一個有效的獲得有限維可積系統(tǒng)的方法，近年來被廣泛用于求解非線性發(fā)展方程[2-4]，特別是孤子方程。本文研究一個新的二階譜問題,得到一類HD型非線性發(fā)展方程族。通過將Lax對非線性化方法獲得有限維Hamilton系統(tǒng)，并證明此系統(tǒng)在Liouville意義下的完全可積，進而由其Bargmann約束給出非線性發(fā)展方程解的表示。

1 譜問題及對應(yīng)的發(fā)展方程族及Lax表示

討論二階線性譜問題

(1)

式中，u=u(x,t),v=v(x,t)為譜問題的位勢函數(shù)；λ,φ分別為特征值及對應(yīng)的特征函數(shù)。

在基礎(chǔ)空間Ω=(-∞,+∞)上討論譜問題(1)，假設(shè)u,ν,φ及其導(dǎo)數(shù)在x→±∞時速降。

命題1 (1)如下二階譜問題構(gòu)成完整譜系

(2)

(2)若φ,ψ是譜系(2)的特征值λ所對應(yīng)的特征函數(shù)，則

(3)

設(shè)譜問題(1)的輔譜問題為φtm=wmφ，其中

(4)

令gj=(bj，bj+1)T，j=-1,0,1,2，…,m,則由相容性條件φxxt=φtxx，得如下遞推關(guān)系

(5)

其中

(6)

直接計算可知

(7)

并由(5)得到遞推序列{gj,j=1,2,…}。

定理2 在等譜(λt=0)條件下，非線性發(fā)展方程族為

(8)

對應(yīng)的Lax對為

(9)

顯然，這是一個HD型非線性發(fā)展方程族。特別，當(dāng)m=0時，發(fā)展方程為

(10)

當(dāng)m=1時，發(fā)展方程為

(11)

2 Bargmann系統(tǒng)與Hamilton正則系統(tǒng)

設(shè)譜系(2)的N個不同的特征值為λ1<λ2<…<λN,φj,ψj為對應(yīng)于λj，j=1,2,…,N的特征函數(shù)，

令Λ=diag(λ1,λ2,…,λN),φ=(φ1,φ2,…,φN)T,ψ=(ψ1,ψ2,…,ψN)T。

命題3 設(shè)Gj=(<Λjφ,ψ>,<Λj+1φ,ψ>)，則

KGj=JGj+1。

令g0=G0，構(gòu)造Bargmann約束[1]

(12)

由此，譜系(2)等價于如下Bargmann系統(tǒng)

(13)

現(xiàn)在尋找Bargmann系統(tǒng)(13)對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)的Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)。

定義Lagrange函數(shù)

(14)

其中

(15)

命題4 Bargmann系統(tǒng)(13)等價于如下Euler-Lagrange方程

(16)

則y1,y2,z1,z2滿足如下方程[5]

(17)

由文獻[4]的方法，得

若取y1=φ，y2=ψ,直接計算得z1=ψx+Λψ,z2=φx-Λφ。

構(gòu)造Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)如下

(18)

在坐標(biāo)系(18)下，Bargmann約束化為

(19)

由此Bargmann系統(tǒng)(13)等價于如下Hamilton正則系統(tǒng)

(20)

此時

(21)

3 Hamilton系統(tǒng)的完全可積性

在Bargmann約束(19)和Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)(18)下, 發(fā)展方程族的Lax對(9)非線性化為如下矩陣形式[1,4]

(22)

其中

(23)

定理5 在Bargmann約束條件(19)下，發(fā)展方程族Lax對(9)等價于如下Hamiltom正則方程[4,7]

(24)

其中Hamiltom函數(shù)為(21)式，hm為

(25)

令[6]

(26)

命題6

(27)

證明：由(27)式直接計算得{Υμ,Υλ}=0 ，{hm,hn}=0,m,n=0,1,2,…。

所以{h,hm}=0,m=0,1,2,…

由Arnold定理[5]，Hamiltom系統(tǒng)(24)是完全可積系，且Hamiltom相流可換。

定理8 設(shè)(q1,q2,p1,p2)滿足Hamiltom系統(tǒng)(24)，則式(19)

u=1-〈Λq1,p2〉-2〈Λ2q1,p2〉〈Λq1,p2〉-3

為非線性發(fā)展方程族(8)的對合解[2,4]。

4 結(jié)論

本文主要研究了H-D型非線性發(fā)展方程族的Lax對，根據(jù)譜問題的位勢函數(shù)與特征函數(shù)之間的約束關(guān)系，可得到Liouvile意義下的完全可積系統(tǒng)，進而利用完全可積的Hamilton系統(tǒng)的對合解表示發(fā)展方程的解。

[1]曹策問.AKNS方程族的Lax方程組的非線性化[J].中國科學(xué)A，1989(7):701-707.

[2] 耿獻國，曹策問.一個Bargmann系統(tǒng)與一類演化方程解的對合表示[J].數(shù)學(xué)年刊，1992， 13A(s):92-98.

[3]CaoCewen，WuYongtang,GengXianguo．RelationbetweentheKadometsev-Petviashviliequationandtheconfocalinvolutivesystem[J]．J.Math.Phys，1999，40(8):3948-3969．

[4]GuZhuquan.TheNeumannsystemforthethird-ordereigenvalueproblemsrelatedtotheBoussinesqequation[J].ILNuovoCimento, 2002,117(6)：615-631.

[5]ArnoldVI．MathematicalMethodsofClassicalMechanics[M]．Berlin：Springer, 1978．

[6] 谷超豪,曹策問，李翊神．孤立子理論與應(yīng)用[M]．杭州：浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1990．

[7]ZhaoYe，GuZhuquan，LiuYafeng．TheNeumannsystemforthe4th-ordereigenvalueproblemandconstraintflowsofthecoupiedKdV-typeequations[J].Eur.Phys.J.Plus，2012，127：77．

The Second-order Spectral Problem of Energy Depended on Potential and Hierarchy of Evolution Equations

Zhang Ruijun1, Liu Yafeng2

(1.School of Science,Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China；2.Department of Mathematics and Physics, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

In this paper, the nonlinear evolution equation and the Hamilton system related to a second-order spectral problem are studied. Using the nonlinearization approach of Lax pairs, the Jacobi-Ostrogradsky coordinates of classical mechanics is discussed. Finally the completely integrable Hamilton system can be obtained in the Bargmann constraint condition, and the involutive solutions of the evolution equations are given.

spectral problem;ninlinearization of Lax pairs;Bargmann system;integrable system

2016-04-05 責(zé)任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.04.18

張瑞君(1991-),女,碩士研究生,主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究。E-mail:952564326@qq.com

O175.9

A

2095-0373(2016)04-0105-04

張瑞君,劉亞峰.一個能量與位勢相依的二階譜問題及其相關(guān)的發(fā)展方程族[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,29(4):105-108.