楊 潔, 劉朋露

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

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基于遺傳算法的壓縮感知DOA測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)

楊 潔, 劉朋露

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

基于格拉姆矩陣(Gram matrix)，利用遺傳算法給出一種優(yōu)化壓縮感知波達(dá)方向測(cè)量矩陣的方法。對(duì)陣元進(jìn)行不重復(fù)采樣，構(gòu)造測(cè)量矩陣；根據(jù)稀疏字典得到壓縮感知DOA的感知矩陣，并由其構(gòu)造格拉姆矩陣；以所得格拉姆矩陣非對(duì)角元素的平方和作為遺傳算法的適應(yīng)度值，利用遺傳算法求解出最佳采樣陣元。仿真實(shí)驗(yàn)顯示，以所給方法設(shè)計(jì)的測(cè)量矩陣，在采樣陣元較少且信噪較低的情形下，仍具有較好的DOA估計(jì)性能。

遺傳算法；壓縮感知；波達(dá)方向；測(cè)量矩陣；格拉姆矩陣

基于陣列稀疏采樣的壓縮感知波達(dá)方向(DOA)估計(jì)算法,先用測(cè)量矩陣對(duì)陣列的輸出信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，再借助稀疏恢復(fù)算法求得波達(dá)方向。解稀疏過(guò)程中，稀疏字典須滿(mǎn)足一定正交性關(guān)系，且與測(cè)量矩陣盡可能地不相關(guān)。

測(cè)量矩陣包含隨機(jī)測(cè)量矩陣和確定性測(cè)量矩陣。隨機(jī)測(cè)量矩陣中的高斯矩陣和伯努利矩陣，都能以較大概率滿(mǎn)足有限等距性質(zhì)(Restrict Isometry Property, RIP)條件。但在實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生對(duì)硬件有很高要求，隨機(jī)測(cè)量矩陣的壓縮投影和信號(hào)重構(gòu)過(guò)程對(duì)系統(tǒng)有很高要求，而且，它只在統(tǒng)計(jì)意義下，以很高的概率滿(mǎn)足RIP條件和弱相干性，難以保證每次稀疏恢復(fù)的精度。隨機(jī)矩陣具有不確定性，以及它浪費(fèi)存儲(chǔ)資源和計(jì)算量大的缺點(diǎn)，嚴(yán)重影響著壓縮感知DOA的估計(jì)結(jié)果。

針對(duì)測(cè)量矩陣與稀疏字典應(yīng)盡可能不相關(guān)的要求，人們給出了許多優(yōu)化測(cè)量矩陣的方法[1-8]。其中，部分優(yōu)化方案涉及降低相干系數(shù)[5]，定義感知矩陣冪平均相關(guān)性[6]，引入最小化感知矩陣統(tǒng)計(jì)相關(guān)系數(shù)的波形優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)[7]，或轉(zhuǎn)而尋求確定性測(cè)量矩陣的構(gòu)造[8]等。

考慮到實(shí)際應(yīng)用中的物理可實(shí)現(xiàn)性和計(jì)算復(fù)雜度，在壓縮感知DOA中構(gòu)造的測(cè)量矩陣，還應(yīng)盡可能少，且不重復(fù)地選取采樣陣元。本文擬結(jié)合格拉姆矩陣(Gram matrix)的構(gòu)造方法[1]，根據(jù)整體互相關(guān)系數(shù)，利用格拉姆矩陣來(lái)優(yōu)化壓縮感知DOA測(cè)量矩陣，并利用遺傳算法選取最佳采樣陣元，以求構(gòu)造出最佳測(cè)量矩陣。

1 壓縮感知DOA模型

1.1 陣列信號(hào)模型

假設(shè)某均勻線(xiàn)陣(Uniform Linear Array, ULA)共有N個(gè)陣元,陣元間距為d，采樣點(diǎn)總數(shù)為T(mén),采樣時(shí)刻t=1,2,…,T。則某采樣時(shí)刻t，N個(gè)陣元的陣列輸出信號(hào)是一個(gè)N×1維的向量

(1)

式中，sk(t)是從θk方向入射的窄帶信號(hào)，K為入射的窄帶信號(hào)個(gè)數(shù)；w(t)是一個(gè)N×1維的加性高斯白噪聲矢量；a(θk)是N×1維的陣列導(dǎo)向矢量，且

a(θ)=[1,e-jα,…,e-jα(N-1)]T。

其中

代表同一入射信號(hào)到達(dá)不同陣元與參考陣元之間的波程差，λ是入射信號(hào)的波長(zhǎng)。

根據(jù)式(1)和(2)，陣列的輸出信號(hào)還可表示為

x=As(t)+w(t)。

(3)

式中，A是一個(gè)N×K維的陣列流型矩陣，s(t)代表K×1維的窄帶入射信號(hào)。根據(jù)式(3)，在多個(gè)快拍條件下，均勻線(xiàn)陣的陣列輸出信號(hào)可表示為

X=AS+W。

(4)

式中，X為N×T維的陣列輸出信號(hào)，S為K×T維的窄帶入射信號(hào)，W為N×T維的加性高斯白噪聲矩陣。

1.2 陣列的稀疏采樣模型

單快拍條件下[9],假設(shè)x是一個(gè)N×1維的信號(hào)矢量,且

x=Ψz。

其中:Ψ是一個(gè)N×M維的稀疏字典，即x是K稀疏的，且K?M(K為來(lái)波個(gè)數(shù))；z是一個(gè)M×1維的稀疏向量，其中有K個(gè)非零元素。壓縮感知理論表明[9]，x能夠從測(cè)量矢量y中恢復(fù)出來(lái)，即

y=Φx=ΦΨz=ACSz。

(5)

式中:y是一個(gè)m×1維的測(cè)量矢量；Φ是一個(gè)m×N維的測(cè)量矩陣，一般由隨機(jī)矩陣構(gòu)成(即高斯矩陣或伯努利矩陣)通過(guò)它可以隨機(jī)地對(duì)陣元進(jìn)行采樣，構(gòu)造測(cè)量矢量y；ACS是由Φ和Ψ相乘得到的感知矩陣；z是x在稀疏字典Ψ下的稀疏表示系數(shù)。利用正交匹配追蹤算法(OMP)[10],可以對(duì)式(5)進(jìn)行求解。

多快拍條件下，假設(shè)均勻線(xiàn)陣的陣列模型仍如式(4)所示，則壓縮感知框架下的陣列輸出信號(hào)可以表示為[9]

X=ΨZ+W。

(6)

式中:Ψ是一個(gè)N×Ns維的稀疏矩陣，Ns代表空域劃分網(wǎng)格數(shù)；Z是一個(gè)Ns×T維的矩陣，其中每一列都是K稀疏的，即每一列中有K個(gè)非零元素，其包含著來(lái)波方向信息；W是加性高斯白噪聲矩陣。

根據(jù)式(6)，假設(shè)測(cè)量矩陣Φ已知，那么多快拍條件下陣列的稀疏采樣模型可以表示為

Y=ΦX=ΦΨZ+ΦW。

(7)

式中，Y代表測(cè)量矩陣對(duì)陣列進(jìn)行壓縮采樣后的數(shù)據(jù)信息。

為了綜合每個(gè)采樣快拍下的DOA估計(jì)結(jié)果，對(duì)Y中每個(gè)快拍下的數(shù)據(jù)運(yùn)用稀疏恢復(fù)算法求解出DOA信息[9]。綜合每個(gè)快拍下的數(shù)據(jù)信息得出DOA估計(jì)結(jié)果

2 優(yōu)化模型的構(gòu)造

假設(shè)某陣列共有N個(gè)陣元，抽取M個(gè)陣元來(lái)構(gòu)造壓縮感知DOA測(cè)量矩陣。記Q為索引集合，即所選取陣元所有可能組合方式的集合,EQ為選取的采樣陣元所對(duì)應(yīng)的單位矩陣中的每一行構(gòu)成的測(cè)量矩陣。從N階單位陣I抽取其中不同的M行，構(gòu)造M×N階測(cè)量矩陣EQ，即

Φ=EQ。

(8)

根據(jù)式(5)可知

ACS=ΦΨ=EQΨ。

(9)

進(jìn)而得Gram矩陣

(10)

在測(cè)量矩陣優(yōu)化理論中，采用整體互相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量測(cè)量矩陣和稀疏字典的不相干性?；ハ喔上禂?shù)C定義為Gram矩陣非主對(duì)角線(xiàn)元素的平方和。根據(jù)式(10)，可得

(11)

其中,gij是所構(gòu)造的Gram矩陣GQ的元素。

整體互相關(guān)系數(shù)代表了測(cè)量矩陣和稀疏字典的相干性，相干系數(shù)越小，相同稀疏恢復(fù)算法的情況下，稀疏恢復(fù)精度越高。

綜上所述，基于Gram矩陣的壓縮感知DOA測(cè)量矩陣優(yōu)化模型，可以表示為優(yōu)化問(wèn)題

(12)

3 測(cè)量矩陣的優(yōu)化

遺傳算法在解決組合優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì)，它能仿照生物進(jìn)化和遺傳的特點(diǎn)，依據(jù)優(yōu)勝劣汰的自然進(jìn)化法則，最大限度地保持樣本的多樣性，并能在解空間的不同區(qū)域內(nèi)進(jìn)行多點(diǎn)搜索，通過(guò)反復(fù)迭代，在全局范圍內(nèi)搜尋優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解，保證以最大概率得到全局最優(yōu)解[11-12]。

考慮使用遺傳算法來(lái)優(yōu)化測(cè)量矩陣。設(shè)遺傳算法的最大迭代次數(shù)為L(zhǎng)max,種群個(gè)數(shù)為Npop，交叉概率為Pc，變異概率為Pm。現(xiàn)將遺傳算法與組合優(yōu)化模型(12)相結(jié)合，選取最佳采樣陣元。

3.1 初始化種群

利用Matlab中的randperm函數(shù)產(chǎn)生1～N之間兩兩不等的M個(gè)整數(shù)，代表所選取的采樣陣元，即得到索引集合Q中一種采樣陣元組合方式。根據(jù)由此產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的行向量V，其中所選采樣對(duì)應(yīng)的元素為1，其余元素為0。仿此隨機(jī)產(chǎn)生Npop個(gè)行向量Vi(i=1,2,…,Npop),從而構(gòu)造出一個(gè)Npop×N維的矩陣,即初始種群。

3.2 計(jì)算適應(yīng)度

3.3 選擇遺傳個(gè)體

選擇適應(yīng)度值最小的遺傳個(gè)體作為最優(yōu)個(gè)體，將最優(yōu)遺傳個(gè)體保存起來(lái)。按照“輪盤(pán)賭”的方法選出下一步操作，即交叉和變異，所需要的遺傳個(gè)體。其中，保存下來(lái)的最優(yōu)遺傳個(gè)體不進(jìn)行后續(xù)的交叉和變異操作。

3.4 交叉

根據(jù)所選擇的遺傳個(gè)體，產(chǎn)生長(zhǎng)度為M-1的一個(gè)交叉概率序列，將其逐一與交叉概率Pc作比較，小于Pc者對(duì)應(yīng)的N1個(gè)遺傳個(gè)體作為交叉種群。若N1為奇數(shù)，則從未被選擇的遺傳個(gè)體中隨機(jī)選出一個(gè)遺傳個(gè)體加入交叉種群。對(duì)交叉種群中兩個(gè)相鄰的遺傳個(gè)體進(jìn)行交叉操作。交叉操作時(shí)，預(yù)先產(chǎn)生一隨機(jī)交叉位，即從1～N中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)，交換相鄰兩個(gè)遺傳個(gè)體從隨機(jī)交叉位至最末位的元素。隨機(jī)交叉位的選擇，須保證參與交換的元素中具有相同數(shù)量的元素1，即采樣陣元相當(dāng)；否則，重新選擇隨機(jī)交叉位，直至滿(mǎn)足該條件。

3.5 變異

根據(jù)所選擇的遺傳個(gè)體，產(chǎn)生長(zhǎng)度為M-1的一個(gè)變異概率序列，將其逐一與變異概率Pm作比較，小于Pm者對(duì)應(yīng)的N2個(gè)遺傳個(gè)體作為變異種群。對(duì)變異種群中的遺傳個(gè)體進(jìn)行變異操作，即隨機(jī)剔除各遺傳個(gè)體對(duì)應(yīng)采樣陣元中的一個(gè)，并隨機(jī)加入一個(gè)其余陣元。

3.6 循環(huán)

合并經(jīng)交叉和變異操作后的遺傳個(gè)體與所保存的最優(yōu)遺傳個(gè)體，構(gòu)成新的種群，重新開(kāi)始適應(yīng)度計(jì)算等操作步驟。根據(jù)預(yù)先設(shè)定好的循環(huán)終止條件，即由遺傳算法的最大迭代次數(shù)Lmax，判斷是否終止循環(huán)。

循環(huán)終止后，可以得出最優(yōu)的適應(yīng)度值及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)遺傳個(gè)體。采用Gram矩陣優(yōu)化測(cè)量矩陣時(shí)，其最優(yōu)遺傳個(gè)體對(duì)應(yīng)的采樣陣元分布方式是均勻線(xiàn)陣。相比于均勻線(xiàn)陣，在非均勻線(xiàn)陣下利用OMP算法進(jìn)行稀疏恢復(fù)，能獲得更高的稀疏恢復(fù)精確度[13],故也可考慮采用次優(yōu)解替代最優(yōu)解構(gòu)造測(cè)量矩陣。稱(chēng)這種替代方法為Gram矩陣構(gòu)造測(cè)量矩陣的修正，即Gramfix測(cè)量矩陣。

4 仿真結(jié)果

假設(shè)均勻線(xiàn)陣共有36個(gè)陣元，陣元間距為入射信號(hào)的半波長(zhǎng)，不重復(fù)地抽取10個(gè)陣元作為陣列的稀疏采樣陣元，構(gòu)造測(cè)量矩陣。設(shè)定遺傳算法的最大迭代次數(shù)為1 500，種群大小為40，個(gè)體串長(zhǎng)度為陣元個(gè)數(shù)36，交叉概率為0.8，變異概率為0.05。以等角度劃分方式構(gòu)造稀疏字典Ψ，其空域劃分網(wǎng)格數(shù)為181。根據(jù)所構(gòu)造的測(cè)量矩陣優(yōu)化模型，結(jié)合遺傳算法，優(yōu)化測(cè)量矩陣。

仿真所得最優(yōu)適應(yīng)度值變化曲線(xiàn)如圖1所示，遺傳算法在迭代到530代時(shí)，其最優(yōu)適應(yīng)度值不再發(fā)生變化。所選取的最優(yōu)采樣陣元分布為

6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,

次優(yōu)采樣陣元分布為

6,8,13,16,17,20,24,26,31,33。

由此可見(jiàn)，所給方法是可行有效的。

圖1 最優(yōu)適應(yīng)度隨迭代次數(shù)的變化

為比較Gram矩陣，Gramfix矩陣和伯努利隨機(jī)矩陣的優(yōu)化性能，采用相同陣列結(jié)構(gòu),并引入來(lái)波角度分別為-10°, 25°，60°的3個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶入射信號(hào)，進(jìn)行仿真。稀疏字典的空域仍按等角度劃分為181個(gè)網(wǎng)格，陣列的采樣快拍數(shù)取為60。當(dāng)信號(hào)角度的估計(jì)值與實(shí)際值相差不起過(guò)1°時(shí)，認(rèn)為估計(jì)成功。在信噪比為5 dB的情況下，進(jìn)行30次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。3種測(cè)量矩陣對(duì)應(yīng)的DOA估計(jì)正確概率以及均方誤差，如表1所示。

表1 測(cè)量矩陣DOA估計(jì)結(jié)果

在不同信噪比情況下，各進(jìn)行30次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，信噪比的取值范圍為-5～21 dB。3種測(cè)量矩陣對(duì)應(yīng)的DOA估計(jì)正確概率和均方誤差，如圖2所示。由其可見(jiàn)，信噪比較低時(shí)，由次最優(yōu)采樣陣元構(gòu)造的測(cè)量矩陣，其DOA估計(jì)正確概率高于兩種測(cè)量矩陣，而均方誤差則低于其它兩種測(cè)量矩陣。

(a) 估計(jì)正確概率

(b) 估計(jì)均方誤差

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)陣列陣元進(jìn)行不重復(fù)采樣，構(gòu)造壓縮感知DOA的測(cè)量矩陣,并以測(cè)量矩陣與稀疏字典的乘積作為壓縮感知DOA的感知矩陣，再并以格拉姆矩陣為基礎(chǔ)，可構(gòu)造出壓縮感知DOA的測(cè)量矩陣優(yōu)化模型。

以格拉姆矩陣非主對(duì)角線(xiàn)元素的平方和，也即互相干系數(shù)，作為遺傳算法的適應(yīng)度值，將遺傳算法與優(yōu)化模型相結(jié)合，通過(guò)遺傳算法求解最佳采樣陣元，即得最佳測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)。

仿真實(shí)驗(yàn)顯示，所設(shè)計(jì)的測(cè)量矩陣較隨機(jī)測(cè)量矩陣在DOA估計(jì)方面具有更好性能。不過(guò)，當(dāng)天線(xiàn)陣元較多時(shí)，采用遺傳算法來(lái)優(yōu)化測(cè)量矩陣，還需盡可能地縮短優(yōu)化時(shí)間，以及確保最優(yōu)解的收斂性。

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[責(zé)任編輯:陳文學(xué)]

Design of compressive sensing DOA measurement matrix based on genetic algorithm

YANG Jie, LIU Penglu

(School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

Based on Gram matrix, a method of optimizing the measurement matrix of compressive sensing DOA is presented by using genetic algorithm. Against array elements to carry out non repeated sampling, and construct the measurement matrix. According to the sparse dictionary, the sensing matrix of compressive sensing DOA is obtained, and the Gram matrix is constructed therewith. Take the sum of squares of the non-diagonal elements in the constructed Gram matrix as the fitness value of the genetic algorithm, and use this algorithm to pick out the Optimum sampling array element. Experimental simulation results show that, even in case of less sampling array element and low signal noise ratio, the measurement matrix given by the presented algorithm is of good DOA estimation performance.

genetic algorithm, compressive sensing, direction of arrival (DOA), measurement matrix, Gram matrix

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.06.018

2016-06-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61402365)；陜西省科技工業(yè)攻關(guān)資助項(xiàng)目(2013K06-33)

楊潔(1976-)，女，碩士，副教授，從事信號(hào)處理及應(yīng)用研究。E-mail:yangjie@xupt.edu.cn 劉朋露(1990-),男,碩士研究生，研究方向?yàn)樾盘?hào)與信息處理。E-mail:459734560@qq.com

TN911.7

A

2095-6533(2016)06-0093-05