馮維婷, 梁 青, 谷 靜

(西安郵電大學 電子工程學院, 陜西 西安 710121)

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基于稀疏表示的非平穩(wěn)信號時頻分析

馮維婷, 梁 青, 谷 靜

(西安郵電大學 電子工程學院, 陜西 西安 710121)

為實現(xiàn)多分量非平穩(wěn)信號的高精度時頻分析，給出一種基于稀疏表示的時頻分析算法。對信號建立時變自回歸模型，選擇一組基函數(shù)對模型中的時變參數(shù)進行稀疏表示，將非平穩(wěn)信號時頻分析轉(zhuǎn)化為一個稀疏表示問題，利用正交匹配追蹤算法得到時變參數(shù)，從而獲得非平穩(wěn)信號的時頻譜。選取一段時長為0.5 s的非線性調(diào)頻信號進行仿真，與短時傅里葉變換和維格納-維爾分布相比，時頻譜和數(shù)據(jù)顯示，所給方法具有更高時頻聚集性和頻率估計精度。

時頻分析;非平穩(wěn)信號；稀疏表示；時變自回歸模型；正交匹配追蹤

非平穩(wěn)信號的時頻特征是目標分類和識別的重要依據(jù)[1-2]。對非平穩(wěn)信號的時頻分析算法主要有非參數(shù)法和參數(shù)法兩大類。非參數(shù)法主要有短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)[3-4]、維格納-維爾分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)[5-6]和小波變換(Wavelet Transform, WT)[7]。STFT物理意義明確，但受測不準原理的制約，時間和頻率分辨率不能同時兼顧。WVD可提高時間和頻率分辨率，但分析多分量信號時存在交叉干擾項，其改進算法偽WVD(Pseudo WVD , PWVD)則以損失頻率估計精度為代價，并不能完全消除交叉項。WT可克服STFT窗口大小不隨頻率變化的缺點，具有多分辨特性，但其窗口大小變化不具有自適應性。

在參數(shù)化時頻分析方法中，時變自回歸模型(Time-varing Auto Regressive, TVAR)描述非平穩(wěn)信號的適應性較強[8-9]，其系數(shù)具有時變性，能隨信號變化不斷調(diào)整，用于非平穩(wěn)信號時頻分析時，能獲得較高的時間和頻率分辨率，但其時變系數(shù)需要進行精確估計。

根據(jù)稀疏表示理論，存在某變換域使得信號可由此變換域中的向量稀疏表示[10-11]。本文擬將稀疏表示理論引入TVAR模型時變系數(shù)的估計中，給出一種新的非平穩(wěn)信號參數(shù)化時頻分析方法：即選擇一個變換域，對時變系數(shù)用一組基函數(shù)進行線性加權(quán)表示，將時變系數(shù)估計問題轉(zhuǎn)換為線性時不變系數(shù)的求解問題，進而將非平穩(wěn)信號時頻分析問題轉(zhuǎn)化為一個稀疏表示問題，并利用正交匹配追蹤稀疏表示算法獲得非平穩(wěn)信號的時頻譜。

1 信號的TVAR建模

信號s(n)的p階TVAR模型可表示為

(1)

n=p,p+1,…,N-1。

其中：p為模型階數(shù)，可由信息準則如赤池信息準則、貝葉斯信息準則，最小描述長度等確定所需最佳階數(shù)[12]；ai(n)為時變系數(shù)；w(n)為平穩(wěn)高斯白噪聲過程。信號TVAR模型表示的關(guān)鍵在于確定各時變系數(shù)ai(n)。

在確定了模型系數(shù)ai(n)后，計算信號的時頻功率譜

(2)

式中σ2為零均值復高斯白噪聲w(n)的方差。

2 信號的稀疏表示模型

根據(jù)稀疏表示理論，存在一個變換域，使得TVAR模型的時變系數(shù)ai(n)可以用此變換域的有限個基函數(shù)的線性組合表示，即ai(n)在變換域具有稀疏性,其展開式可表示為

(3)

式中g(shù)j(n)(j=1,2,…,q)為選擇的基函數(shù)，q為維數(shù)，aij是時不變常系數(shù)。

基函數(shù)選取的不同，很大程度上影響模型參數(shù)的逼近性能。目前常應用于TVAR模型的基函數(shù)有：勒讓德基函數(shù)、沃爾什基函數(shù)、離散余弦基函數(shù)和傅里葉基函數(shù)。在雷達系統(tǒng)中常見微動目標通常為剛體目標，并做旋轉(zhuǎn)、翻滾、振動等運動，其微動特征在時頻譜中均服從正弦變化規(guī)律，適合選用離散余弦基函數(shù)和傅里葉基函數(shù)。

通過式 (3)，ai(n)的估計問題轉(zhuǎn)化成了線性時不變系數(shù)aij的估計問題。把式(3)代入式(1)，得

其矩陣形式為

Y=ΨX+W。

(4)

其中W為噪聲矩陣，Y為觀測向量，X為待估計的線性時不變系數(shù)，且

X=[a11,a12,…,a1q,a21,a22,…,a2q,…,

ap1,ap2,…,apq]T，

Y=[s(p+1), s(p+2), …, s(N)]T,

而Ψ為(N-p)×(pq)維字典，它是由所選定的原子張成的基函數(shù)矩陣GN={gj(n)}與Y的Kronecker積，即

Ψ=GN?Y。

X具有稀疏性，只有k(k=pq)個非零值，因此，式(4)的求解問題可轉(zhuǎn)化為稀疏表示問題

s.t. Y=ΨX+W。

(5)

式中，0范數(shù)‖X‖0等于矩陣X中非零元素的個數(shù)。式(5)的L0范數(shù)極小化求解問題已經(jīng)證明是NP難問題，不能直接求解[13]?？梢詫⑶蠼庾钚0范數(shù)用能夠產(chǎn)生相同解但是更方便的L1范數(shù)來代替[14]，這就將式(5)的優(yōu)化問題變成了一個凸優(yōu)化問題

s.t. ‖Y-ΨX‖<ε。

(6)

其中ε表示允許的誤差。根據(jù)X‖中非零值的位置得到對應的原子，經(jīng)線性組合得到TVAR模型中的各時變系數(shù)ai(n)。

3 稀疏表示算法及步驟

采用正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法[15-16],求解式(6)的稀疏表示問題。通過迭代在字典中搜索與殘差信號相關(guān)性最大的原子來匹配出k個原子，求得稀疏系數(shù)。算法結(jié)構(gòu)簡單且運算量小，其具體實現(xiàn)步驟如下。

步驟1 輸入觀測向量Y，字典Ψ，稀疏度k，容許誤差ε>0。

步驟2 初始化殘差矩陣R=Y，原子索引集I=?。索引集是X中非零元素對應在字典中的位置集合。

步驟3 當條件n

更新殘差

步驟5 跳轉(zhuǎn)到步驟3，判斷條件是否成立，若條件不成立則輸出稀疏解

4 仿真實驗

實驗1 產(chǎn)生一段非線性調(diào)頻信號

s(n)=Aej(a1n+a2n2+a3n3)。

采樣頻率fs=2 kHz,采樣點數(shù)N=1 024，信號幅值A=1，一次相位系數(shù)a1=-628.3，二次相位系數(shù)a2=1 005.3，三次相位系數(shù)a3=2 225。TVAR模型中階數(shù)取為2，選取離散余弦基函數(shù)，其維數(shù)取為20。信號的時頻譜如圖1所示。

圖1 實驗1中各算法所得時頻譜對比

圖1(a)采用STFT方法，時間窗采用長度為65點的漢明窗，短時譜的時間分辨率較高，但譜線較粗，頻率分辨率較差，信號的時頻分辨率不可兼得。圖1(b)采用PWVD方法，時頻譜線較細，時頻分辨性能高于STFT方法的。圖1(c)采用基于TVAR模型的OMP稀疏表示方法，時頻譜線粗細程度與PWVD方法相當，分辨率與其相當。采用PWVD方法所得瞬時頻率估計值偏差較大，如表1所示。

由表1可見，選取不同時間點，用3種方法進行頻率估計，與頻率真值對比結(jié)果表明，基于TVAR模型的OMP稀疏表示方法，即新方法所得頻率估計值更接近真值，而PWVD方法雖頻率分辨性能較高，但頻率估計偏差最大。

表1 頻率估計值對比表

實驗2 在第一段非線性調(diào)頻信號的基礎上，附加產(chǎn)生第二段信號

s(n)=Bej(b1n+b2n2+b3n3)。

其中，幅值B=1，一次相位系數(shù)b1=-1 884.9，二次相位系數(shù)b2=471.2，三次相位系數(shù)b3=250。兩段非平穩(wěn)信號的時頻譜如圖2所示。

圖2 兩段非平穩(wěn)信號的時頻譜

由圖2對比可見，在對多分量非平穩(wěn)信號時頻分析中，PWVD方法出現(xiàn)交叉干擾項，影響了性能；基于TVAR模型的OMP稀疏表示方法，其時頻能量聚集性高，分辨率高于前兩種方法，且無交叉干擾項影響。因此，所給方法更適合于多分量非平穩(wěn)信號的時頻分析。

5 結(jié)語

給出一種針對非平穩(wěn)信號的基于TVAR參數(shù)化模型的稀疏表示時頻分析方法，建立信號的TVAR參數(shù)化模型，將基于OMP的稀疏表示方法引入到信號的時頻分析中。仿真結(jié)果驗證了該方法的時頻分析時性能，如時頻能量聚集性、頻率估計精度，均優(yōu)于STFT和PWVD時頻分析方法。

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[責任編輯:陳文學]

Time-frequency analysis of non-stationary signal based on sparse representation algorithm

FENG Weiting, LIANG Qing, GU Jing

(School of Electronic Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

In order to achieve high accuracy of time-frequency analysis for non-stationary multi-component signals, a time-frequency analysis algorithm based on the sparse representation is proposed. A time-varying auto regressive model is established for signal, and the time varying parameter is sparsely represented by a group of basis function, thus, the time-frequency analysis of non-stationary signal is translated into a sparse representation issue. The time varying parameter is got by the orthogonal matching pursuit algorithm, and then time-frequency spectrum of non-stationary signal is achieved. The nonlinear frequency modulation signal with a period of 0.5 s is simulated, and the results show that, the proposed method is of higher accuracy than the STFT and WVD methods.

time-frequency analysis, non-stationary signal, sparse representation, time-varying auto regressive model, orthogonal matching pursuit

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.06.017

2016-05-10

國家自然科學基金資助項目( 61202490)；陜西省自然科學基金資助項目(2014JM2-6117)；陜西省教育廳科學研究計劃資助項目(15JK1654)；西安郵電大學校青年教師科研基金資助項目(101-0486)

馮維婷(1980-)，女，碩士，講師，從事雷達與通信信號處理研究。E-mail:fengweiting11@163.com 梁青(1966-), 女，教授，從事無線傳感器網(wǎng)絡研究。E-mail: liangqing@xupt.edu.cn

TN911.7

A

2095-6533(2016)06-0088-05