鐘 華，王五生

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 宜州 546300)

?

一類弱奇異積分不等式及其應(yīng)用

鐘 華，王五生

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 宜州 546300)

研究了一類非線性弱奇異Volterra-Fredholm型迭代積分不等式, 把不含奇性的積分不等式推廣成弱奇異積分不等式，把線性奇異積分不等式推廣成非線性積分不等式. 根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分的定義和運(yùn)算法則，運(yùn)用放大、 積分、 微分、 變量替換、 反函數(shù)等分析技巧給出了不等式中未知函數(shù)的估計(jì)，推廣了參考文獻(xiàn)的結(jié)果. 最后, 為了說明結(jié)果的有效性, 用所得結(jié)果給出了一類非線性Volterra-Fredholm分?jǐn)?shù)階積分方程解的估計(jì).

弱奇異積分不等式; 分析技巧; 分?jǐn)?shù)階積分方程; 估計(jì)

由于Gronwall[1]型積分不等式在研究微分方程和積分方程中的重要作用，人們不斷地對(duì)其形式進(jìn)行各個(gè)方向的推廣，使其應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大[2-8]. 文獻(xiàn)[2]研究了積分不等式

(1)

文獻(xiàn)[3]研究了 Volterra-Fredholm 型積分不等式

(2)

文獻(xiàn)[4]研究了含有重積分的不等式

(3)

文獻(xiàn)[5]研究了一類特殊的非線性積分不等式

(4)

另一方面，工程實(shí)際中經(jīng)常遇到弱奇異微分和積分方程，為此許多數(shù)學(xué)工作者又致力于研究弱奇異積分不等式. 文獻(xiàn)[9]研究了弱奇異積分不等式

(5)

(6)

自此許多數(shù)學(xué)工作者又致力于研究各種類型的弱奇異積分不等式[9-18]. 文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步研究了Volterra-Fredholm型奇異積分不等式

(7)

受文獻(xiàn)[2-5，14]的啟發(fā)，本文研究了一類非線性Volterra-Fredholm 型迭代奇異積分不等式

(8)

式(8)把不等式(3)推廣成Volterra-Fredholm 型弱奇異積分不等式，式(8)把不等式(7)推廣成具有重積分的非線性積分不等式.

1 主要結(jié)果

在本文中，R表示全體實(shí)數(shù)的集合，T是正的實(shí)常數(shù). 令R+∶=[0，∞).

文獻(xiàn)[15-16]中定義了改進(jìn)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分.

定義 1[15-16]改進(jìn)的α階 Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)定義為

(9)

定義 2[15-16]區(qū)間[0，t]上改進(jìn)的Riemann-Liouvilleα 階積分定義為

(10)

文獻(xiàn)[17-18]中介紹了復(fù)合函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與分?jǐn)?shù)階積分的復(fù)合運(yùn)算法則

(11)

(12)

Oldham和Spanier在文獻(xiàn)[19]介紹了下面的引理，Zheng在文獻(xiàn)[14]中又給出此引理的證明.

引理 1假設(shè)0<α<1，f是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，那么

(13)

為了定理的敘述方便，利用不等式(8)中的函數(shù)g，h，w1，w2定義下面4個(gè)函數(shù)

(14)

(15)

H(u)=W2(W1(2u-C)-

(16)

Ξ(t)=W2(W1(z1(0))+

(17)

定理 1假設(shè)w1，w2，w2/w1都是區(qū)間[k，∞)上u的不減連續(xù)函數(shù). 假設(shè)C，α是正常數(shù)，0<α<1，g，h∈C(I，R+)是不減函數(shù). 假設(shè)函數(shù)H在區(qū)間[k，∞)上是u 的嚴(yán)減函數(shù)，函數(shù)Ξ滿足

(18)

如果函數(shù)u滿足不等式(8)，則有未知函數(shù)u的估計(jì)式

(19)

證明用函數(shù)z1(t)表示不等式(8)的右端，即

(20)

我們發(fā)現(xiàn)z1(t) 在區(qū)間 [0，T]上是正的不減函數(shù)，且有

(21)

u(t)≤z1(t)，t∈[0，T].

(22)

求函數(shù)z1(t)關(guān)于t的α階導(dǎo)數(shù)，利用式(13)和關(guān)系式(22)得到

g1(t)w1(lnz1(t))z2(t)，t∈[0，T]，

(23)

其中

z2(t)=z1(t)+

t∈[t0，T].

(24)

觀察到z2(t)是區(qū)間 [0，T]上正的不減函數(shù)，且滿足

z2(0)=z1(0)，z1(t)≤z2(t)，t∈[0，T].

(25)

求函數(shù)z2(t) 的α階導(dǎo)數(shù)，利用式(13)和關(guān)系式(25)得到

(26)

由式(23)，式(25)和式(26)得

h(t)z1(t)w2(lnz1(t))≤g(t)w1(lnz2(t))z2(t)+

h(t)z2(t)w2(lnz2(t))，t∈[t0，T].

(27)

不等式(27)的兩邊同除w1(lnz2(t))z2(t)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)式(11)得到

t∈[t0，T].

(28)

先把不等式(28)中的t改寫成τ，然后關(guān)于τ對(duì)不等式(28)兩邊求從 0 到t的 α階分?jǐn)?shù)積分，利用式(11)和式(12)以及W1的定義，得到

W1(z2(t))≤

(29)

用函數(shù)z3(t)表示不等式(29)的右端，即

z3(t)=

(30)

可以看出z3(t) 在區(qū)間 [0，T]上是正的不減函數(shù)，且有

(31)

(32)

對(duì)式(30)兩邊關(guān)于t求α階導(dǎo)數(shù)，利用式(11)，式(12)，關(guān)系式(32)和定理假設(shè)得到

t∈[0，T].

(33)

進(jìn)一步，由式(33)得到

W2(z3(t))≤W2(z3(0))+

(34)

綜上，由式(25)，式(32)和式(34)，得到

h(s)ds]}，t∈[0，T].

(35)

由式(25)，式(31)和式(35)得到

(36)

由式(21)，式(36)和z1的定義，得到

2z1(0)-C=C+

(37)

由式(37)，可得

W2(W1(2z1(0))-C)-W2(W1(z1(0))+

(38)

根據(jù)定理假設(shè)H在區(qū)間[k，∞)上是u 的嚴(yán)減函數(shù)，H(u) 有逆函數(shù) H-1. 由式(38)我們可以得到

(39)

把式(39)代入式(35)，利用式(22)，我們得到所求的估計(jì)式(19).

2 應(yīng) 用

為了說明所得結(jié)果的有效性，本節(jié)利用定理1中不等式的結(jié)果研究分?jǐn)?shù)階積分方程解的估計(jì).

dτ]ds，?t∈[t0，T]，

(40)

式中：x∈C([t0，T]，R)，F(xiàn)1∈C([t0，T]×R2，R)，F(xiàn)2∈C([t0，T]×R，R)，0<α<1.假設(shè)分?jǐn)?shù)階積分方程(40)中的函數(shù)F1，F(xiàn)2滿足下面的條件

|F1(s，x，y)|≤g(s)w1(ln|x|)[|x|+|y|]，

(41)

|F2(s，x)|≤h(s)|x|w2(ln|x|)，

(42)

式中：g，h，w1，w2與定理1中相應(yīng)的定義相同. 如果函數(shù)x(t)是分?jǐn)?shù)階積分方程(40)的解.利用條件(41)和(42)，由積分方程(40)推出不等式

|x(t)|≤

h(τ)|x(τ)|w2(ln|x(τ)|)dτ]ds，t∈[0，T].

(43)

可以看出不等式(43)具有不等式(8)的形式，不等式(43)中的函數(shù)滿足定理1中對(duì)應(yīng)函數(shù)的條件. 利用定理1就可以得到分?jǐn)?shù)階積分方程(40)解的估計(jì).

[1]GronwallTH.Noteonthederivativeswithrespecttoaparameterofthesolutionsofasystemofdifferentialequations[J].AnnalsofMathematics，1991，34(5)：655-666.

[2]AgarwalRP，DengS，ZhangW.GeneralizationofaretardedGronwall-likeinequalityanditsapplications[J].AppliedMathematics&Computation，2005， 165(3)：599-612.

[4]AbdeldaimA，YakoutM.OnsomenewintegralinequalitiesofGronwall-Bellman-Pachpattetype[J].AppliedMathematics&Computation，2011，217(20)：7887-7899.

[5]El-OwaidyH，AbdeldaimA，El-DeebAA.Onsomenewretardednonlinearintegralinequalitiesandtheirsapplications[J].MathematicalSciencesLetters，2014， 3(3)：157-164.

[6]王五生，李自尊. 含多個(gè)非線性項(xiàng)的時(shí)滯積分不等式及其應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展，2012， 41(5)：597-604.WangWusheng，LiZizun.Retardedintegralinequalitywithmultiplenonlineartermsanditsapplication[J].AdvancesinMathematics，2012， 41(5)：597-604. (inChinese)

[7]王五生，李自尊. 一類非連續(xù)函數(shù)積分不等式及其應(yīng)用[J]. 西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，34(2)：96-100.WangWusheng，LiZizun.Aclassofintegralinequalityfordiscontinuousfunctionanditsapplication[J].JournalofSouthwestUniversity(NaturalScienceEdition)，2012，34(2)：96-100. (inChinese)

[8]盧鈺松，王五生. 一類含有p次冪的Volterra-Fredholm型非線性迭代積分不等式[J]. 西南大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，37(8)：76-80.LuYusong，WangWusheng.AclassofVolterra-Fredholmtypenonlineariteratedintegralinequalitywithppower[J].JournalofSouthwestUniversity(NaturalScienceEdition)，2015，37(8)： 76-80. (inChinese)

[10]吳宇. 一類新的弱奇性Volterra積分不等式解的估計(jì)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，31(4)：584-591.WuYu.AnewtypeofweaklysingularVolterraintegralinequalities[J].ActaMathematicaeApplicatae， 2008，31(4)：584-591. (inChinese)

[11]WangH，ZhengK.Somenonlinearweaklysingularintegralinequalitieswithtwovariablesandapplications[J].JournalofInequalitiesandApplications，2010， 2010(1)： 1-12.

[12]MaQH，YangEH.BoundsonsolutionstosomenonlinearVolterraintegralinequalitieswithweaklysingularkernels[J].AnnalsofDifferentialEquations，2011， 27(3)：283-292.

[13]ZhengK.BoundsonsomenewweaklysingularWendroff-typeintegralinequalitiesandapplications[J].JournalofInequalitiesandApplications，2013， 2013(159)：1-11.

[14]ZhengB.Explicitboundsderivedbysomenewinequalitiesandapplicationsinfractionalintegralequations[J].JournalofInequalitiesandApplications，2014，2014(4)：1-12.

[15]JumarieG.ModifiedRiemann-LiouvillederivativeandfractionalTaylorseriesofnondifferentiablefunctionsfurtherresults[J].Computers&MathematicswithApplications，2006，51(9-10)：1367-1376.

[16]JumarieG.TableofsomebasicfractionalcalculusformulaederivedfromamodifiedRiemann-Liouvillederivativefornon-differentiablefunctions[J].AppliedMathematicsLetters，2009，22(3)：378-385.

[17]WuGC，LeeEWM.Fractionalvariationaliterationmethodanditsapplication[J].PhysicsLetters，2010，374(25)：2506-2509.

[18]ZhengB. (G′/G)-expansionmethodforsolvingfractionalpartialdifferentialequationsinthetheoryofmathematicalphysics[J].CommunicationsinTheoreticalPhysics，2012，58(11)：623-630.

[19]OldhamKB，SpanierJ.Thefractionalcalculus[M].NewYork:AcademicPress，1974.

A Class of Weakly Singular Integral Inequality and Its Application

ZHONG Hua, WANG Wu-sheng

(School of Mathematics and Statistics, Hechi University, Yizhou 546300, China)

A class of iterated nonlinear Volterra-Fredholm type integral inequality with weak singularity was investigated, which generalized the integral inequality without singularity to the integral inequality with weak singularity, and generalized the linear integral inequality with weak singularity to the nonlinear integral inequality with weak singularity. By the definitions and rules of fractional differential and fractional integral, adopting analysis techniques, such as amplification method, differential and integration, change of variable, inverse function, the estimation of the unknown functions is given. The results of the references are generalized. Finally, to illustrate the validity of the results, our result is used to give the estimation of the solutions of a class of nonlinear Volterra-Fredholm type fractional integral equations.

weakly singular integral inequality; analysis technique; fractional integral equation; estimation

2016-03-06 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161018)； 廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012GXNSFAA053009)； 廣西高等學(xué)?？蒲许?xiàng)目(KY2015ZD103, KY2015YB257)

鐘 華(1980-)，男，講師，主要從事微分方程的研究.

王五生(1960-)，男，教授，主要從事微分方程的研究.

1673-3193(2016)05-0446-05

O175.5

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.002