林超，趙相路，曾東

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端曲面齒聯(lián)軸器的創(chuàng)成原理及設計

林超，趙相路，曾東

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044)

根據(jù)聯(lián)軸器工作原理，結合空間坐標變換理論、共軛曲面求解理論及正交非圓面齒輪副傳動原理，提出端曲面齒聯(lián)軸器這一新的結構形式，建立端曲面齒聯(lián)軸器求解的共軛坐標系，推導端曲面齒聯(lián)軸器的端曲面參數(shù)方程，生成端曲面；結合端曲面齒齒盤的幾何參數(shù)設計理論，采用“共軛截線投影法”新型齒面生成方法，通過solidworks軟件對端曲面齒齒面進行幾何求解，獲得端曲面齒聯(lián)軸器的連接齒面及十字軸式端曲面齒萬向聯(lián)軸器的三維實體模型；將端曲面齒聯(lián)軸器應用于冶金等工程設備中，驗證端曲面齒聯(lián)軸器幾何設計方法的正確性和在工程應用中的可行性。

端面齒形；共軛曲面；聯(lián)軸器；三維建模

端面齒聯(lián)軸器是用來連接兩軸或軸與回轉(zhuǎn)體，傳遞轉(zhuǎn)矩和運動的一類聯(lián)軸器。一般的端面齒聯(lián)軸器由2個端齒盤共同組成，端齒盤是指在與聯(lián)軸器軸線垂直的平面上，輪齒沿圓周均勻分布的齒形聯(lián)接元件。端面齒聯(lián)軸器在大功率動力裝置中應用廣泛，如大功率鐵路機車、大功率離心式壓縮機、大型柴油發(fā)動機的曲軸、航空和工業(yè)用燃氣輪機或蒸汽輪機的渦輪轉(zhuǎn)子和壓縮機轉(zhuǎn)子等設備。端面齒聯(lián)軸器最早由Gleason公司提出[1]，按照輪齒結構分為弧齒及直齒2種形式。對于弧齒端面齒聯(lián)軸器，Gleason公司首先介紹了弧齒端齒聯(lián)軸器幾何設計及加工過程，隨后研究者提出弧齒端齒盤幾何設計及強度計算方法[2]、進行弧齒端齒聯(lián)軸器的強度分析[3]、弧齒端齒連接螺栓應力狀態(tài)分析[4]以及弧齒端齒盤的接觸分析[5]，至今弧齒端齒聯(lián)軸器的發(fā)展已較成熟。對于直齒端面齒聯(lián)軸器，王全先等[6]推導了直齒端齒盤輪齒強度校核公式，可按照JB/T 3242—1993[7]選取參數(shù)進行設計，給出了較恰當?shù)脑O計方法。唐進元等[8]又進一步提出一種直齒端齒盤幾何參數(shù)設計方法與相應彎曲強度校核計算公式，該方法優(yōu)化了端齒盤幾何設計。綜上所述，現(xiàn)有的端面齒聯(lián)軸器均為在端平面上布齒的型式，尚沒有將曲面上布齒應用于聯(lián)軸器的研究。為此，本文作者提出端曲面梯形齒聯(lián)軸器的形式，并與端面梯形齒聯(lián)軸器進行對比分析。端曲面齒聯(lián)軸器不同于端面齒聯(lián)軸器，其端齒盤的輪齒并非均勻分布在與聯(lián)軸器軸線垂直的平面上，而是呈一定規(guī)律分布在類似圓周波形的曲面上。根據(jù)曲面共軛理論，該曲面與橢圓齒輪節(jié)曲面互為共軛曲面[9]，并且其成對運動間的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)換規(guī)律符合正交非圓面齒輪副的嚙合傳動規(guī)律。端曲面齒聯(lián)軸器特殊的輪齒分布形式擴大了輪齒橫截面積和接觸面積，有效提高了其載荷承載能力。它能以更小的尺寸更好地滿足高精度、高承載能力和高生產(chǎn)率的需要。

1 端曲面齒聯(lián)軸器生成原理

普通的端面齒聯(lián)軸器，其端齒盤的端齒均勻分布在與聯(lián)軸器軸線垂直的平面上。該類聯(lián)軸器工作時產(chǎn)生的載荷和沖擊全由端面齒來承受，當端面齒受沖擊載荷發(fā)生斷裂時，聯(lián)軸器將無法繼續(xù)工作而引起事故。本文所設計的端曲面齒聯(lián)軸器能夠解決上述問題，并且在對中性、承載能力等方面有大幅度提高。端曲面齒聯(lián)軸器端齒盤的端齒呈一定規(guī)律分布在類似圓周波形的端曲面上。

端曲面齒聯(lián)軸器的端曲面是基于解析曲面的共軛曲面求解理論，通過共軛運動方程的計算，所求解得出的與橢圓齒輪節(jié)曲面相共軛的共軛曲面。然而，僅通過解析曲面的共軛理論不能滿足現(xiàn)代設計與加工技術的需要，故本文也利用正交非圓面齒輪副的設計理論對端曲面進行聯(lián)合求解。

常用的齒形有矩形、梯形、鋸齒形和三角形。鋸形齒無軸向分力但不便于接合與分離，梯形齒強度較高，沖擊小故應用較廣，鋸齒形齒強度最高但只能傳遞單方向轉(zhuǎn)矩[10]。本文均采用梯形齒，兩類聯(lián)軸器的原理示意圖如圖1所示。

(a)，(b)分別為端面、端曲面凸緣聯(lián)軸器；(c)，(d)分別為端面齒、端曲面齒聯(lián)軸器

端曲面齒聯(lián)軸器的端曲面存在二次承載以及二次對中的特點，故而端曲面齒聯(lián)軸器具有高承載能力、傳動轉(zhuǎn)矩大、高剛性以及自動定心的優(yōu)勢。

2 端曲面的求解方法

解析法求解共軛曲面的一個重要內(nèi)容就是共軛條件的建立和變換，為此, 建立如圖2所示的坐標系。在圖2中，母曲面t指橢圓柱齒輪節(jié)曲面，共軛曲面指端曲面，坐標系為與母曲面t固結，其繞著的軸逆時針旋轉(zhuǎn)了；坐標系與共軛曲面固結。為輔助動坐標系,其繞著的軸順時針旋轉(zhuǎn)了，并且和重合；為輔助動坐標系, 其沿著的軸水平移動；為輔助動坐標系，其沿著的軸垂直移動，而后又繞著自身坐標系的軸順時針旋轉(zhuǎn)了90°。在坐標系中，母曲面t柱坐標方程為

圖2 共軛坐標系的建立與變換

(2)

式中：21為由坐標系到的變換中的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；為輔助動坐標系繞著2軸旋轉(zhuǎn)的角度。

共軛條件為

定義2為端曲面的階數(shù)，表示該端曲面在范圍內(nèi)與母曲面t共軛滾動的周期個數(shù)。根據(jù)端曲面封閉的條件有[11]

(5)

式中：12為正交變傳動比面齒輪副傳動比。

根據(jù)式(1)和式(5)算得，代入式(4)得到端曲面齒聯(lián)軸器的端曲面參數(shù)方程為

取2=2，時，端曲面圖形如圖3所示，為表達清晰，圖中僅顯示了端曲面內(nèi)外邊線?？梢姸饲骐S偏心率的增大，波幅會變大，內(nèi)外徑不作改變。端曲面波幅變化會對聯(lián)軸器的對中性能與端曲面齒壓力角等產(chǎn)生影響。

圖3 端曲面及偏心率的影響

Fig. 3 Curved-face and influence of eccentricity

3 端曲面齒設計過程

端曲面齒的設計過程就是指將輪齒按照一定規(guī)律分布在端曲面上的過程，其造型直接源于正交非圓面齒輪，并采用與其相似的加工方法進行設計。

3.1 幾何參數(shù)計算

端曲面齒聯(lián)軸器的齒形結構如圖4所示。圖4中：1為端曲面齒盤外徑；2為內(nèi)徑；為齒寬；為節(jié)曲線柱面半徑；2為端曲面齒齒數(shù)；為齒距；a為齒頂高；f為齒根高。

圖4 端曲面齒齒形結構示意圖

3.1.1 參考直徑

利用以下公式[12]初步確定固定式端曲面齒聯(lián)軸器的尺寸：

式中：為聯(lián)軸器參考直徑；為聯(lián)軸器轉(zhuǎn)矩。

3.1.2 節(jié)曲線柱面半徑

由式(5)可知：節(jié)曲線柱面半徑與橢圓柱齒輪節(jié)曲線的關系為

式中：為端曲面齒聯(lián)軸器的節(jié)曲線柱面半徑。

結合參考外徑尺寸與節(jié)曲線柱面半徑，選定外徑1。在一般情況下，取齒寬為聯(lián)軸器外徑的0.125倍，繼而可求出內(nèi)徑2。

3.1.3 端曲面齒齒數(shù)2

在選擇了端曲齒聯(lián)軸器的初步尺寸后，就需要確定齒數(shù)和齒寬。端曲面齒的模數(shù)為，端曲面齒數(shù)2與橢圓柱齒輪1的關系為，齒距。

3.1.4 端曲面齒齒頂高a和齒根高f

端曲面齒的齒頂高、齒根高與齒全高的計算公 式[13]如下：

式中：a為端曲面齒齒頂高；f為端曲面齒齒根高；為端曲面齒的模數(shù)；為齒頂高系數(shù)；為頂隙數(shù)。

3.2 端曲面齒齒面幾何法求解

3.2.1 共軛截線投影法

共軛截線投影法是指基于共軛曲面求解原理的標桿線匯法的幾何化。由于標桿線匯法代數(shù)變換和幾何變換繁雜，計算工作量大，且計算機不能直接完成。又因為該標桿線匯法的幾何轉(zhuǎn)換遵循了正交非圓面齒輪副設計規(guī)律，故本文利用母曲面0與共軛曲面1的幾何轉(zhuǎn)換關系，并借助solidworks的曲面構建功能，將標桿線匯法進行了幾何化表達，形成了一種新的齒面創(chuàng)建方法即共軛截線投影法。共軛截線投影法繞過了傳統(tǒng)共軛理論關于共軛曲面必須連續(xù)相切接觸這一限制，而是著眼于曲面之間真實的接觸情況，用標桿射線這一中間媒介的截取來描述曲面之間實際的共軛運動。其基本原理為：先設定母曲面0在其上各點處按既定方向發(fā)出“標桿射線”，形成投影線匯。當所求共軛曲面1與投影線匯按已知傳動關系進行回轉(zhuǎn)運動時，投影線匯將被共軛曲面1在連續(xù)回轉(zhuǎn)下所截取，而投影線匯的所有截線便描述了共軛曲面0。

母曲面0指橢圓齒輪齒面，共軛曲面1指端曲面齒齒面。由圖5可進一步了解共軛截線投影法的基本原理和求解方法。圖中1和2分別代表單一自、公轉(zhuǎn)角度的“標桿射線”母線；1和2分別代表自、公轉(zhuǎn)方向的投影線匯；1和2分別代表自、公轉(zhuǎn)投影線匯曲面組。

3.2.2 齒面求解過程

為驗證本方法的正確性，經(jīng)幾何參數(shù)計算方法得出幾何參數(shù)如表1所示，并以此為例進行端曲面齒齒面的求解。

圖5 共軛截線投影法的幾何原理

1)幾何轉(zhuǎn)換關系確定。根據(jù)正交非圓面齒輪副相對運動原理，假設端曲面齒盤毛坯固定，橢圓柱齒輪的節(jié)曲面在端曲面上作純滾動，橢圓柱齒輪的自轉(zhuǎn)角度與公轉(zhuǎn)角度關系[14]如下：

橢圓柱齒輪齒面0繞軸線發(fā)出“標桿射線”(完成自轉(zhuǎn))，形成投影線匯。按照以上幾何關系確定公轉(zhuǎn)角度，投影線匯將在這些角度內(nèi)被共軛曲面1所截取。繞端曲面齒盤軸線發(fā)出對應各角度的“標桿射線”，形成投影線匯(完成公轉(zhuǎn))，兩投影線匯曲面組的交線即為被反求出的端曲面齒截線，連接所有截線即完成端曲面齒的齒面求解。

2)“標桿射線”角度區(qū)間的確定。取橢圓柱齒輪齒面0的1/4部分，即1/2個齒面作為“標桿射線”的發(fā)生曲面，初始相位默認定為長半軸為軸垂直放置、短半軸為軸水平放置。在垂直于橢圓齒輪軸線的平面上，將各單一齒面兩端點分別與軸心連線，兩連線與軸的夾角即為該單一齒面的“標桿射線”自轉(zhuǎn)角度區(qū)間。在該區(qū)間內(nèi)，以一定角度(本文以0.5°)劃分出若干各自代表單一自轉(zhuǎn)角度的“標桿射線”母線。分別將自轉(zhuǎn)角度代入式(9)即可求出公轉(zhuǎn)角度區(qū)間。

橢圓柱齒輪的齒數(shù)為1，模數(shù)為，橢圓柱齒輪節(jié)曲線在角度內(nèi)總長度為，其對應的恰好是1個齒距，則應滿足如下條件式：

即

(10)

按照幾何轉(zhuǎn)換關系式(9)，計算出1個周期內(nèi)各輪齒齒面的“標桿射線”自轉(zhuǎn)角度區(qū)間與公轉(zhuǎn)角度區(qū)間，如表2所示。

3) 端曲面齒齒面構建。以齒面5為例，設定齒面5為母曲面0，在自轉(zhuǎn)角度區(qū)間39.5°~46°內(nèi)，確定出代表單一自轉(zhuǎn)角度的“標桿射線”母線1。相應地，在端曲面齒底面上公轉(zhuǎn)角度區(qū)間21.17°~24.43°內(nèi)，確定出代表單一公轉(zhuǎn)角度的“標桿射線”母線2。

表1 橢圓齒輪與端曲面齒盤基本幾何參數(shù)

表2 “標桿射線”角度區(qū)間

母曲面0上“標桿射線”母線1按自轉(zhuǎn)方向發(fā)出“標桿射線”，形成投影線匯1。投影線匯1繞2軸回轉(zhuǎn)，形成自轉(zhuǎn)投影線匯曲面組1。共軛曲面(端曲面齒齒面)1上“標桿射線”母線2按公轉(zhuǎn)方向發(fā)出“標桿射線“，形成投影線匯2。投影線匯2沿2軸拉伸，形成公轉(zhuǎn)投影線匯曲面組2。1與2中的曲面一一對應，兩投影線匯曲面組的交線即為被反求出的端曲面齒截線，而所有的端曲面齒截線便描述了與齒面5相共軛的端曲面齒齒面5。

按此曲面構建規(guī)律，依據(jù)表2數(shù)據(jù)，將其余齒面進行成形操作，可得出1個周期內(nèi)各個端曲面齒的齒面，如圖6所示。隨后，對求得的1個周期的齒面進行鏡像與圓周陣列等操作，即可得到完整的端曲面齒齒面。

圖6 1個周期內(nèi)端曲面齒的齒面

4) 端曲面齒齒盤成形。所得的端曲面齒齒面為接觸齒面，以該接觸齒面為分割面對齒盤毛胚進行分割，得到凸凹兩端齒盤。在solidworks環(huán)境下的具體操作為：在齒盤底端面上繪制內(nèi)外圈草圖，拉伸到接觸齒面得一端齒盤；在另一方向齒盤底端面上繪制內(nèi)外圈草圖，拉伸到接觸齒面得另一端齒盤。最終得出的端曲面齒齒盤如圖7所示。在傳遞同樣扭矩時(本文為40 kN?m)，利用ANSYS軟件的workbench版塊，將端面梯形齒萬向聯(lián)軸器與端曲面梯形齒萬向聯(lián)軸器的端齒盤進行有限元對比分析，如圖8所示。

圖7 端曲面齒聯(lián)軸器端齒盤

(a)，(b)分別為端面、端曲面梯形齒彎曲應力；(c)，(d)分別為端面、端曲面梯形齒彎曲應變

4 端曲面齒萬向聯(lián)軸器的建模與分析

十字軸式萬向聯(lián)軸器能廣泛應用于冶金、起重、工程運輸、礦山、石油、船舶、煤炭、橡膠、造紙機械及其他重機行業(yè)的機械軸系中傳遞轉(zhuǎn)矩[15]。將端曲面齒該連接方式應用于萬向聯(lián)軸器的話，將大幅度提高其承載能力、對中性能和傳動轉(zhuǎn)矩，并能夠有效縮小聯(lián)軸器體積。下面應用solidworks對該端曲面齒萬向聯(lián)軸器進行三維建模設計。

設計用于冶金等工程設備的十字軸式端曲面齒萬向聯(lián)軸器，傳遞的最大扭矩為40 kN?m，根據(jù)端曲面齒聯(lián)軸器幾何參數(shù)的設計方法，得到該聯(lián)軸器的幾何參數(shù)如下：參考外徑為164.22 mm，節(jié)曲線柱面半徑計算值為=77.21 mm，取外徑為=180 mm，取端曲面齒模數(shù)=4；齒盤階數(shù)2=2，齒數(shù)2=36；全齒高2=9 mm；齒頂高a2=4 mm；齒根高f2=5 mm。在傳遞同樣扭矩(40 kN?m)時，2類萬向聯(lián)軸器的結構參數(shù)與有限元對比結果如表3所示。

表3 2類萬向聯(lián)軸器對比

端曲面齒萬向聯(lián)軸器能夠以更小的體積來承受同樣的扭矩，有利于節(jié)約生產(chǎn)成本；端曲面齒存在二次承載以及二次對中的特點，進而提高了載荷承載能力和對中性能，同時具有了自動定心的作用；ANSYS對比分析得出端曲面梯形齒的齒根強度相比于端面梯形齒提高了20%；端曲面梯形齒的變形量和變形程度相比于端面梯形齒小而均勻；前者存在周期性局部應力集中，而后者的應力集中分布在整體齒面。

按計算得出的幾何參數(shù)，利用solidworks軟件對端曲面齒萬向聯(lián)軸器進行三維建模，如圖9所示。

1—端齒凸齒盤；2—十字軸；3—滾子軸承；4—凸齒法蘭叉頭；5—端齒凹齒盤；6—螺栓；7—連接軸。

5 結論

1) 提出了端曲面齒聯(lián)軸器這一新的結構形式，建立了端曲面齒聯(lián)軸器求解的共軛坐標系，通過曲面共軛求解方法推導出了端曲面齒聯(lián)軸器的端曲面參數(shù)方程，生成了端曲面，使得輪齒分布在端曲面上成為可能。

2) 結合端曲面齒聯(lián)軸器的幾何參數(shù)設計理論，采用“共軛截線投影法”新型齒面生成方法，通過solidworks軟件對端曲面齒齒面進行幾何求解，獲得了端曲面齒聯(lián)軸器的連接齒面及三維實體模型。

3) 可以將端曲面齒聯(lián)軸器應用于冶金等工程設備中，驗證了端曲面齒聯(lián)軸器幾何設計方法的正確性和在工程應用中的可行性。

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(編輯 陳愛華)

Constructing principle and design of curved-face gear coupling

LIN Chao, ZHAO Xianglu, ZENG Dong

(The State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

According to the working principle of coupling, spatial coordinate transformation theory, solving theory of conjugate curved surface and the drive principle of curved-face gear, the new structure of the curved-face gear coupling was put forward. The conjugate system of the curved-face gear coupling was established. The parameter equation of the curved-face of the curved-face gear coupling was deduced. According to the geometrical parameter design of curved-face gear coupling theory, the method of conjugate cutting line projection was used to generate the tooth surface. A geometrical mathematical model was built to solve the curved-face gear coupling through the solidworks, which can get the tooth surface and of the curved-face gear coupling 3-D entity model. The applications in the field of engineering facility, such as metallurgy etc, were put forward. The advantages of the curved-face gear coupling in engineering application were verified.

transverse tooth profile? conjugate curved surface; coupling; 3-D modeling

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.11.013

TH133.4

A

1672?7207(2016)11?3707?08

2016?02?20；

2016?04?27

國家自然科學基金資助項目(51275537) (Project(51275537) supported by the National Natural Science Foundation of China)

林超，教授，博士生導師，從事傳動系統(tǒng)創(chuàng)新設計理論與方法、齒輪傳動系統(tǒng)的設計、分析與制造研究；E-mail: linchao@cqu.edu.cn