●夏井川

從內(nèi)涵出發(fā)，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知
——《對(duì)稱》備課思考及課堂實(shí)踐

●夏井川

《對(duì)稱》是人教版新課標(biāo)教材二年級(jí)下冊(cè)第3單元第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。筆者曾執(zhí)教了本課，現(xiàn)將備課思考和課堂實(shí)踐整理如下，以期與同行討論交流。

一、教材解讀

實(shí)驗(yàn)教材中，《對(duì)稱》編排在二年級(jí)上冊(cè)第五單元《觀察物體》的第二課時(shí)、第三課時(shí)，包括軸對(duì)稱和鏡面對(duì)稱?！白鲆蛔觥敝忻鞔_要求畫出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，練習(xí)題中還要求按對(duì)稱軸畫出軸對(duì)稱圖形的另一半。新教材中，根據(jù)一線教師的反饋，去掉了鏡面對(duì)稱，將軸對(duì)稱單獨(dú)拿出來(lái)編排在二下《圖形的運(yùn)動(dòng)（一）》中，同時(shí)將“畫對(duì)稱軸”和“按對(duì)稱軸畫出軸對(duì)稱圖形的另一半”這兩點(diǎn)后移到了四年級(jí)下冊(cè)《圖形的運(yùn)動(dòng)（二）》中。

實(shí)驗(yàn)教材二下第三單元《圖形與變換》包括“銳角和鈍角”“平移和旋轉(zhuǎn)”以及“剪一剪”等內(nèi)容。新教材將“銳角和鈍角”整合到二上《角的初步認(rèn)識(shí)》中，與直角一起編排。將二上的“對(duì)稱”后移到二下，和“平移”“旋轉(zhuǎn)”一起編排。知識(shí)的呈現(xiàn)更加合理化、系統(tǒng)化，便于學(xué)生學(xué)習(xí)和系統(tǒng)理解。

對(duì)比實(shí)驗(yàn)教材，新教材指向性更為明確和清晰。

二、備課思考與課堂呈現(xiàn)

課標(biāo)（2011年版）中關(guān)于圖形的運(yùn)動(dòng)學(xué)段要求

第一學(xué)段第二學(xué)段第三學(xué)段結(jié)合實(shí)例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱現(xiàn)象。通過(guò)觀察、操作等，在方格紙上認(rèn)識(shí)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑?jiǎn)單圖形平移，會(huì)在方格紙上將簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90°。通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別和旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。

人教版教材中關(guān)于圖形的運(yùn)動(dòng)的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容編排

運(yùn)動(dòng)是世間萬(wàn)物的特征，是物質(zhì)存在的基本形式。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多物體的運(yùn)動(dòng)與變化。例如，將一塊三角板移動(dòng)位置，把一張照片放大若干倍，等等。在這個(gè)過(guò)程中，物體的某些性質(zhì)發(fā)生了變化，而某些性質(zhì)卻保留了下來(lái)。例如，移動(dòng)三角板，三角板的位置變了，形狀、大小都不變；放大照片，照片中物體的大小變了，形狀不變。從數(shù)學(xué)的角度看，物體的運(yùn)動(dòng)與變化，可以抽象為圖形的變換。幾何圖形是點(diǎn)的集合，所以幾何變換就是兩個(gè)圖形上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)，即點(diǎn)變換。

對(duì)稱是一種最基本的圖形變換，包括軸對(duì)稱（也叫反轉(zhuǎn)對(duì)稱）、中心對(duì)稱、平移對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和鏡面對(duì)稱等多種形式。在自然界和日常生活中具有對(duì)稱性質(zhì)的事物很多，學(xué)生對(duì)于對(duì)稱現(xiàn)象并不很陌生。

基于對(duì)人教版有關(guān)“圖形的運(yùn)動(dòng)”新舊教材、縱向教材編排的研究和整體、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)把握，以及對(duì)《教師教學(xué)用書》的認(rèn)真研讀，感到“對(duì)稱”這一知識(shí)在整個(gè)小學(xué)“圖形與運(yùn)動(dòng)”結(jié)構(gòu)中的重要地位和育人價(jià)值。“對(duì)稱”是學(xué)生接觸的第一種圖形的運(yùn)動(dòng)，而兒童的年齡特點(diǎn)卻決定他們?cè)诶斫狻皩?duì)稱”的運(yùn)動(dòng)性上遠(yuǎn)不及理解“平移”和“旋轉(zhuǎn)”的運(yùn)動(dòng)來(lái)得直觀。當(dāng)然，如果從“圖形的變換”角度來(lái)理解“對(duì)稱”，則要容易得多。因此，備課時(shí)，筆者主要思考了這樣幾個(gè)問(wèn)題：

1.對(duì)相關(guān)概念的理解。在本課中，至少有這樣幾個(gè)概念需要學(xué)生初步感知和理解：對(duì)稱（基于單個(gè)物體和圖形的）、對(duì)稱軸、軸對(duì)稱圖形。在此基礎(chǔ)上，可適當(dāng)延伸“軸對(duì)稱”的概念。對(duì)于二年級(jí)下學(xué)期的孩子來(lái)說(shuō)，“對(duì)稱”的生活經(jīng)驗(yàn)是有的，生活中的建筑、藝術(shù)、生物、飲食等，到處都能看到和感受到對(duì)稱現(xiàn)象，因此孩子們?cè)谡n堂上說(shuō)到了裙子、披薩、課本等。孩子們的問(wèn)題在于，他們不能從這些對(duì)稱表象中抽象出對(duì)稱的特征，他們的年齡特征決定他們?cè)诟兄獙?duì)稱上還處于“只可意會(huì)不可言傳”的階段。但是，如前所述，“對(duì)稱”有很多種，二年級(jí)下冊(cè)“軸對(duì)稱圖形”是最基本的一種。如果不給學(xué)生適當(dāng)滲透，很容易使孩子形成思維定勢(shì)：對(duì)稱就是對(duì)折后能完全重合的，對(duì)稱圖形就是左右對(duì)稱的（軸對(duì)稱圖形旋轉(zhuǎn)一定角度后就容易對(duì)他們產(chǎn)生思維干擾），等等。課堂實(shí)踐后，總感覺(jué)自己在這一塊還講得不夠清晰，讓學(xué)生把“對(duì)稱”和“軸對(duì)稱”混為一談了，最典型的例子有兩個(gè)：一個(gè)是學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了歧義（反思：這里也有沒(méi)有讓學(xué)生動(dòng)手操作的原因），一個(gè)是“做一做”中香港特區(qū)區(qū)徽紫荊花的圖案（這其實(shí)是一種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，但不是中心對(duì)稱）。因此，我們?cè)诒竟?jié)課的學(xué)習(xí)中，可以把視野放寬些，眼光放高些，從上往下來(lái)考量，盡量層次分明地、有步驟地給學(xué)生滲透“對(duì)稱”“軸對(duì)稱”這樣的概念。

2.從表象走向抽象。為了彌補(bǔ)學(xué)生對(duì)“對(duì)稱”概念理解的不足，在備課和課堂教學(xué)中，筆者堅(jiān)定地選擇了學(xué)生感知眾多的對(duì)稱現(xiàn)象和對(duì)稱圖形：蜻蜓、樹葉、荊州古城九龍橋、剪紙、國(guó)旗……并配以感性的描述語(yǔ)言，讓學(xué)生在感知對(duì)稱現(xiàn)象的同時(shí)感受到生活中對(duì)稱的美。課堂實(shí)踐表明，讓學(xué)生感受對(duì)稱現(xiàn)象和感受對(duì)稱的美做到了和諧統(tǒng)一，實(shí)效較好。當(dāng)然，在此過(guò)程中，筆者注意了“生活中的對(duì)稱現(xiàn)象”和“圖形中的對(duì)稱圖形”的用詞。

3.教學(xué)要求的把握。前面學(xué)段要求中清楚表明，新教材二年級(jí)下冊(cè)是初步感知“軸對(duì)稱”和“軸對(duì)稱圖形”，不再教學(xué)軸對(duì)稱的特征，不再要求畫出對(duì)稱軸，也不再要求在方格紙上根據(jù)軸對(duì)稱的一半畫出另一半。這些，都后移到了四年級(jí)下冊(cè)《圖形的運(yùn)動(dòng)（二）》中。但是，不作為正式的教學(xué)要求并不表示就完全不需要學(xué)生去初步感受。因此，在課堂教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了3個(gè)小細(xì)節(jié)讓學(xué)生來(lái)感受這三點(diǎn)：①用折一折讓學(xué)生感受軸對(duì)稱的特征；②用手比劃對(duì)稱軸讓學(xué)生感受對(duì)稱軸的位置和條數(shù)；③根據(jù)軸對(duì)稱圖形的一半以及給出的三個(gè)選項(xiàng)，在腦海中想象正確的圖形并做出選擇。另外，還有一些其他的小教學(xué)要求也需要教師把握，如，筆者在課堂中回避了數(shù)字的對(duì)稱性，為什么？因?yàn)榧词箤?duì)稱的數(shù)字也是基于它的字體，一個(gè)數(shù)字并不是所有字體下都是對(duì)稱的。因此，在呈現(xiàn)對(duì)稱的漢字時(shí)，筆者也特別說(shuō)明“這種字體的這個(gè)字是對(duì)稱的”。

三、課后研討

課后，團(tuán)隊(duì)伙伴們針對(duì)筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂呈現(xiàn)，發(fā)表了各自的看法，提出了很多很好的建議，主要有四點(diǎn)：

1.關(guān)于操作。本課有些地方應(yīng)該讓學(xué)生動(dòng)手操作，例如，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)過(guò)的平面圖形中，哪些是軸對(duì)稱圖形，哪些不是，可以讓學(xué)生動(dòng)手對(duì)折一下長(zhǎng)方形紙、正方形紙、三角形紙、平行四邊形紙以及圓形紙，印象會(huì)更為深刻，感知更為直觀。

2.關(guān)于語(yǔ)言?！皩?duì)稱”是非常規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言，課堂實(shí)踐表明，二年級(jí)的學(xué)生對(duì)此有自己的語(yǔ)言描述。在小學(xué)階段，兒童的語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間是有距離的。作為教師，應(yīng)該在兒童的感性語(yǔ)言和數(shù)學(xué)的理性、規(guī)范語(yǔ)言之間架起一座橋梁，促進(jìn)兒童對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和感知。

3.關(guān)于拓展?？梢栽谥v完軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱后，適當(dāng)拓展一下兩個(gè)相同的物體（或圖形）關(guān)于對(duì)稱軸的軸對(duì)稱現(xiàn)象，開闊學(xué)生的視野。

四、課后的再思考

課后，針對(duì)本節(jié)課的呈現(xiàn)和伙伴們的建議，筆者再一次進(jìn)行了備課思考。先后查閱了課標(biāo)、初中教材，上網(wǎng)查詢了相關(guān)資料。

1.對(duì)稱知識(shí)編排的分與合

下圖是初中九年級(jí)《數(shù)學(xué)》中學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”一章時(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，可以讓我們對(duì)“圖形的運(yùn)動(dòng)”在義務(wù)教育階段的分布及其作用有一個(gè)更為清晰的認(rèn)識(shí)。

2.關(guān)于對(duì)稱

百度百科上對(duì)于“對(duì)稱”是這樣梳理的。

對(duì)稱：指物體或圖形在某種變換條件（例如繞直線的旋轉(zhuǎn)、對(duì)于平面的反映，等等）下，其相同部分間有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象，亦即在一定變換條件下的不變現(xiàn)象。

軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形。折痕所在的直線叫做它的對(duì)稱軸。

中心對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。而這個(gè)中心點(diǎn)，叫做中心對(duì)稱點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜360°）。常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段、正多邊形、平行四邊形、圓等（注：所有的中心對(duì)稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形）。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)《教師教學(xué)用書》第84頁(yè)有這樣的資料：

基于以上的分析，到現(xiàn)在，我們是不是可以在腦海里對(duì)“對(duì)稱”形成一個(gè)清晰的框架：對(duì)稱從大的方面分為反轉(zhuǎn)對(duì)稱（軸對(duì)稱）和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱是特殊的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱）；對(duì)稱可以是一個(gè)圖形內(nèi)部的左右兩部分的聯(lián)系，也可以是兩個(gè)圖形之間的一種關(guān)系。

3.關(guān)于軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形是既有聯(lián)系也有區(qū)別的兩個(gè)概念。這一點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)教材中介紹得比較清楚，同時(shí)也是教師必須了解和清楚的知識(shí)背景和專業(yè)儲(chǔ)備。

把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱。

如下圖，可以看成是兩只小雞圖關(guān)于直線1對(duì)稱,也可以看成是一幅圖中的兩只小雞關(guān)于直線1軸對(duì)稱。當(dāng)然，教學(xué)中應(yīng)順便打破學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱的定式思維認(rèn)知，如右圖。

五、二下“軸對(duì)稱圖形”教學(xué)建議

到此為止，希望能簡(jiǎn)要而又清晰地給出二下“軸對(duì)稱圖形”的備課和教學(xué)建議：

1.盡量講清楚“對(duì)稱”和“軸對(duì)稱”的不同與聯(lián)系；

2.重視學(xué)生的動(dòng)手操作；

3.重視生活中的對(duì)稱現(xiàn)象（可以有軸對(duì)稱，也可以有中心對(duì)稱）的感受和欣賞，幫助學(xué)生豐富對(duì)稱的表象，開闊數(shù)學(xué)視野；

4.把握好教學(xué)要求，既不超綱，又不能太低估學(xué)生的思維水平和已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

（作者單位：荊州市教育科學(xué)研究院）

責(zé)任編輯 劉玉琴