李 奇 勛

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

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含Poisson跳線性隨機系統(tǒng)區(qū)間穩(wěn)定狀態(tài)下的系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度分析

李 奇 勛

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

本文討論了由布朗運動和Poisson跳躍過程共同驅(qū)動的隨機線性時不變系統(tǒng)的區(qū)間穩(wěn)定性問題.在引入廣義李雅普諾夫算子的基礎(chǔ)上，首先給出了含Poisson跳線性隨機系統(tǒng) (-β，-α)穩(wěn)定的定義，然后結(jié)合譜分析方法分析了系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度與(-β，-α)穩(wěn)定的關(guān)系，并得到了相關(guān)結(jié)論.

Poisson跳躍；區(qū)間穩(wěn)定性；系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度

1 引言

穩(wěn)定性是控制理論中的重要概念[1]，是研究許多控制問題的必要前提，比如二次最優(yōu)控制問題[2]、H2/H∞控制問題[3]等.對于動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著許多不同的描述，常見的有“漸近均方穩(wěn)定”[4]、“弱穩(wěn)定”[5]、“指數(shù)穩(wěn)定”[6]等.眾所周知，線性定常系統(tǒng)

(1)

漸近均方穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的所有特征值位于左半復(fù)平面上.這種判別方法稱為“特征值判據(jù)”，又叫“譜判據(jù)”.文獻[4]發(fā)展這種方法到伊藤型線性隨機系統(tǒng)中，即對于伊藤型線性隨機系統(tǒng)

dx=Axdt+CxdWt，x(0)=x0∈Rn

(2)

構(gòu)造廣義李雅普諾夫算子

若算子Η的譜全部位于左半復(fù)平面上，則系統(tǒng)(2)漸近均方穩(wěn)定.

簡單的說，算子譜越往左，系統(tǒng)狀態(tài)收斂的越快.有時為了保證系統(tǒng)具有良好的瞬態(tài)特性，如頻域形式的增益穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度，需要系統(tǒng)的譜位于左半復(fù)平面的某一區(qū)間內(nèi)，這就是區(qū)間穩(wěn)定問題.文獻[7]根據(jù)算子Η的譜定義了區(qū)間穩(wěn)定性,在區(qū)間穩(wěn)定性的約束下進行系統(tǒng)的性能分析更具廣泛性、復(fù)雜性和工程意義.

本文將用算子譜的方法研究含Poisson跳線性隨機系統(tǒng)中的一類區(qū)間穩(wěn)定性問題，并對系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度進行分析.

符號描述：Sn(R)代表元素為實數(shù)的n×n對稱矩陣集合，Rn×m代表元素為實數(shù)的n×m矩陣集合，Rn代表元素為實數(shù)的n維向量集合，AT代表A的轉(zhuǎn)置矩陣，C表示復(fù)數(shù)域，C-表示復(fù)數(shù)域負(fù)半平面，I表示單位矩陣.

2 系統(tǒng)描述

設(shè)(Ω，F(xiàn)，G，P)為一完備概率空間，信息流G={Ft∶t≥0}由下面兩個相互獨立的隨機過程生成：

1){Wt}t≥0為定義在該概率空間上的d維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；

2) 一個定義在R+×E上的泊松隨機測度μ，其中E?Rl為非空開集，它的Borel域為B(E)，它的補償因子為

對于所有滿足λ(A)<∞的A∈B(E)是鞅.λ假定為(E，B(E))上的σ-有限lévy測度，相應(yīng)的過程稱為泊松過程.

本文討論的是由布朗運動和泊松跳躍過程共同驅(qū)動的線性隨機自治系統(tǒng):

(3)

為方便，本文將x(t)，y(t)皆簡寫為x，y.其中x(t)∈Rn，y(t)∈Rl分別為系統(tǒng)狀態(tài)和量測輸出，(A，A0，A1(e)，Q)∈Rn×n×Rn×n×Rn×n×Rl×n,A，B，A0，B0，A1(e)，B1(e) 是系統(tǒng)參數(shù)，Q是輸出矩陣.

3 區(qū)間穩(wěn)定與系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度

受文獻[4]啟發(fā)，我們定義一個李雅普諾夫算子Η如下：

且算子的譜σ(Η)∶={λ∈C∶Η(X)=λX，X≠0} .

下面我們通過算子譜定義一類區(qū)間穩(wěn)定：(-β，-α) 穩(wěn)定.

注1 顯然，漸近均方穩(wěn)定是(-β，-α)穩(wěn)定的一種特殊形式.即，若系統(tǒng)(3)是(-β，-α)穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(3)一定是漸近均方穩(wěn)定的.

下面我們使用算子譜技術(shù)，對系統(tǒng)(3)在(-β，-α)穩(wěn)定情況下系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度進行分析.

定理1 假設(shè)系統(tǒng)(1)是(-β，-α)穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(3)是漸近均方穩(wěn)定的，且系統(tǒng)狀態(tài)收斂的速度比e-αt快，比e-βt慢.即存在常數(shù)C1和C2，使得

C1e-βt≤E‖x(t)‖2≤C2e-αt.

證明 我們記

max(Re(λi))=λ1，min(Re(λi))=λn(n+1)/2.

其中λi∈σ(Η)，i=1，2，…，n(n+1)/2.

令

X(t)=E[x(t)xT(t)]，

使用伊藤公式可以得到：

(4)

方程(4)是n×n對稱矩陣方程，且X∈Sn(R).所以方程(4)實質(zhì)上可以等價于一個n(n+1)/2階向量方程.即存在唯一n(n+1)/2×n(n+1)/2矩陣L，使得：

容易證得σ(L)=σ(Η)，所以λ1，λn(n+1)/2也分別為矩陣L最大、最小特征值.不失一般性，假設(shè)λ1，λn(n+1)/2所表示的值分別為矩陣L的p,q重特征值.

由常微分方程理論可以知道，存在常數(shù)C3和C4使得：

(5)

令x=(x1,x2,…,xn)T,xT=(x1,x2,…,xn) ,則

同時

即

綜上所述，我們得到

(6)

變形得

(7)

因為Re(λ1)<-α、Re(λn(n+1)/2) >-β，所以

Re(λ1)-α<0，Re(λn(n+1)/2) -β>0.即e[Re(λ1)-α]t≤1，e[Re(λn(n+1)/2)-β]t≥1，t∈[0，+∞).

聯(lián)立(5)、(6)、(7)式，可得

令

便得

4 結(jié)論

在這篇文章中，我們借助算子譜技術(shù)研究了由泊松隨機過程和布朗運動共同驅(qū)動的線性隨機系統(tǒng)的區(qū)間穩(wěn)定性.本文在定義(-β，-α)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，證明了若系統(tǒng)是(-β，-α)穩(wěn)定的，則系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度e-αt快，比e-βt慢.

[1]劉豹,唐萬生.現(xiàn)代控制理論[M].北京: 機械工業(yè)出版杜, 2015.

[2]Rami M A, Zhou X Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite stochastic linear quadratic controls[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2000,45(6):1131-1143.

[3]Lin X, Zhang R. H∞control for stochastic systems with Poisson jumps[J].Journal of Systems Science and Complexity,2011,24(4):683-700.

[4]Zhang W, Chen B S. On stabilizability and exact observability of stochastic systems with their applications[J].Automatica,2004,40(1):87-94.

[5]Zhang W, Zhang H, Chen B S. Generalized Lyapunov equation approach to state-dependent stochastic stabilization/detectability criterion[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(7):1630-1642.

[6]Hu L, Mao X. Almost sure exponential stabilisation of stochastic systems by state-feedback control[J].Automatica,2008,44(2):465-471.

[7]Zhang W, Xie L. Interval Stability and Stabilization of Linear Stochastic Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2009,54(4):810-815.

Some Relationships among the Interval Stability and the Convergence Rate of System State of Poisson Jumps Systems

LI Qi-xun

(School of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, 266590, China)

This paper discusses interval stability of stochastic linear time invariant systems driven by Brownian motion and Poisson jumps process. Based on introducing the generalized Lyapunov operators, firstly, the definition of (-β，-α)-stability of stochastic systems with Poisson jumps is defined. Then combined with the spectrum analysis method, relationships among the system state convergence rate and (-β，-α)-stability are analyzed, and the conclusion is obtained.

Poisson jumps; interval stability; convergence rate of system state

2016-10-07

李奇勛(1992-)，男，山東濟寧人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.

O211

A

1672-2590(2016)06-0047-05