蔡振樹(shù)

(福建省石獅市第三中學(xué)，362700)

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對(duì)校本化作業(yè)下數(shù)學(xué)試題命制的思索

蔡振樹(shù)

(福建省石獅市第三中學(xué)，362700)

命題是中學(xué)教師平時(shí)教學(xué)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié),同時(shí)也是教師專業(yè)發(fā)展的重要支點(diǎn)．對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言,一道好的試題的命制,往往是教師辛勞的付出,當(dāng)然也是一份收獲．試題是數(shù)學(xué)作業(yè)的重要組成部分,其校本化就是將先進(jìn)的教育思想、課程方案加以具體化、行為化．好的題目能發(fā)揮其學(xué)習(xí)考查功能,對(duì)提升教學(xué)和復(fù)習(xí)有效性也是大有裨益的．因此,在教學(xué)中如能加強(qiáng)試題命制方法的研究,既是平時(shí)教學(xué)的需要,更是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn),知己知彼,定能百戰(zhàn)不殆!

一、試題命制的依據(jù)

校本化作業(yè)下的試題命制,它的直接依據(jù)應(yīng)該是課程標(biāo)準(zhǔn)及考試說(shuō)明.命制時(shí)要以中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為載體,立足數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì),堅(jiān)持從學(xué)科的整體意義上選材立意,堅(jiān)持能力立意,全面考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．

同時(shí)，要追求合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力層次,注重發(fā)揮開(kāi)放性、探索性試題的評(píng)價(jià)功能．試題應(yīng)體現(xiàn)“基礎(chǔ)”、“交匯”、“能力”、“應(yīng)用”、“探究”、“開(kāi)放”、“數(shù)學(xué)本質(zhì)”、“數(shù)學(xué)文化”等關(guān)鍵詞．命題的目的是通過(guò)試題的功能來(lái)鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),檢測(cè)學(xué)習(xí)效果,實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)．

二、例說(shuō)校本化作業(yè)下試題命制的方法

1. 由歷年高考試題改編而成

對(duì)歷年高考試題的結(jié)論進(jìn)行改造、類比、推廣、遷移是快速得到好題的一個(gè)途徑．當(dāng)然如能在本質(zhì)上加以改造更好,尤其應(yīng)針對(duì)學(xué)生實(shí)際,注重校本化研究,提高學(xué)習(xí)的有效性．這是平時(shí)教學(xué)研究和練習(xí)鞏固等最常采用的方法．

例1 某學(xué)校高三年級(jí)共有500名同學(xué),在某次數(shù)學(xué)單元測(cè)試中,成績(jī)的頻數(shù)分布表如下:

分?jǐn)?shù)[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數(shù)102080170分?jǐn)?shù)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)120602020

(1)用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱120,130),[130,140)和[140,150]的同學(xué)中共抽取5人,其中成績(jī)?cè)赱120,130)的有幾人?

(2)從(1)中抽出的5人中,任取2人,求成績(jī)?cè)赱120,130)和[130,140)中各有1人的概率?

本題來(lái)源自2013年廣東高考題:從一批蘋果中隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:

分組(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)頻數(shù)(個(gè))5102015

(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在[90,95)的頻率;

(2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在[80,85)的有幾個(gè)?

(3) 在(2)中抽出的4個(gè)蘋果中任取2個(gè)，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個(gè)的概率.

2. 在教科書中尋找題源背景

教科書的各個(gè)角落都可成為命題出發(fā)點(diǎn),對(duì)其進(jìn)行深入的改造,可得到很好的適合校本的好題．教材的許多素材可以作為試題的背景,或者對(duì)其進(jìn)行二次改編可得．

例2 圖1中三角形稱為Sierpinski三角形,其中第n個(gè)三角形中的黑色小三角形的個(gè)數(shù)為an,等差數(shù)列{bn}滿足:b1=a2,b4=a3.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)寫出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式,并求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn.

本題來(lái)自普通高中數(shù)學(xué)必修5第二章數(shù)列中的問(wèn)題,選其為背景,設(shè)置數(shù)列的基礎(chǔ)問(wèn)題,考查其通項(xiàng)公式及求和.

以教材問(wèn)題為背景來(lái)自課本的靈感的試題在高考題命制中也經(jīng)常發(fā)生．如2013年高考福建卷的題目:在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10),分別將線段OA和AB十等分,分點(diǎn)分別記為A1,A2,…A9和B1,B2,…B9,連結(jié)OBi,過(guò)Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9).

(1)求證:點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M,N,若?OCM與?OCN的面積比為4∶1,求直線l的方程.

本題主要考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力與推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想.該試題就源自于普通高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章圓錐曲線與方程習(xí)題2.2B組第4題:

3. 在知識(shí)交匯處尋找亮點(diǎn)

考試大綱明確指出:“注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合”,“強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的交叉、滲透和綜合,體現(xiàn)綜合性”.因此，在各知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題,也將是命題的必然趨勢(shì)．一般地,每一個(gè)試題都有一個(gè)主考知識(shí)點(diǎn)與幾個(gè)次考知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成．如今的趨勢(shì),常常冷熱交織,“熱”即主干知識(shí),“冷”即非主干考點(diǎn)．

(1)求證:AC⊥PB;

本題考查的是立體幾何的基本問(wèn)題,研究空間幾何的平行與垂直位置關(guān)系,它把高考中少見(jiàn)的直觀圖問(wèn)題嫁接進(jìn)來(lái)設(shè)置試題.試題由直觀圖與立體幾何問(wèn)題自然交匯而成,不失為一道好題．

4. 從期刊雜志中獲取靈感

中學(xué)數(shù)學(xué)期刊雜志的文章中,有對(duì)各種數(shù)學(xué)結(jié)論的探究,有對(duì)各類試題的研究評(píng)價(jià)等,只要認(rèn)真研讀,或許其中的某一個(gè)點(diǎn)就能激起的思維的火花,成為命題的落腳點(diǎn),實(shí)現(xiàn)試題命制的校本化．

例4 已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)和直線x=-1的距離相等,記點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

本題來(lái)自《數(shù)學(xué)通訊》中介紹的一道日本高考題.受其啟發(fā),改編背景和設(shè)問(wèn)方式,并進(jìn)一步加強(qiáng)得到一般結(jié)論,體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．

5. 應(yīng)用多媒體工具發(fā)現(xiàn)結(jié)論

幾何畫板、超級(jí)畫板、 Microsoft Visio 等作圖軟件是命題者進(jìn)行數(shù)學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要工具.通過(guò)這些作圖軟件進(jìn)行圖像繪制,得到的圖形十分精準(zhǔn)、直觀,修正改動(dòng)時(shí)也更加直接、方便.在例5的命制過(guò)程中,筆者就是借助幾何畫板,研究函數(shù)y=ln x+x與其切線的關(guān)系,從而觀察出三個(gè)結(jié)論,進(jìn)而命制成題的.

例5 已知函數(shù)f(x)=ln x-ax在點(diǎn)A(1,f(1))處切線為l.

(1)當(dāng)切線l的斜率為2時(shí),求實(shí)數(shù)a的值;

(2)證明:無(wú)論a取何值,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線l的下方(點(diǎn)A除外);

(3)設(shè)點(diǎn)Q(x0,f(x0)),當(dāng)x0>1時(shí),直線QA的斜率恒小于2,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

三、對(duì)教學(xué)的啟發(fā)

課本是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體,特別是在新課的教授階段．很多試題在課本中都能找到題源．因此，校本化的一個(gè)不變的原則就是“源于課本,又不囿于課本”．我們必須重視課本知識(shí)的回顧和整理,對(duì)課本知識(shí)重新認(rèn)識(shí),挖掘其更深層次的內(nèi)容,充分發(fā)揮課本上的例題和習(xí)題的典型作用,二次進(jìn)行開(kāi)發(fā),進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率,達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果．克服脫離教材的“題海戰(zhàn)術(shù)”,取材于教材習(xí)題的合理改造是校本化的重要方式,因而課本理應(yīng)成為學(xué)習(xí)的根本．

夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，注重校本實(shí)際．通過(guò)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解,從而強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí),掌握解題方法,提高解題能力,積累解題信心,以不變應(yīng)萬(wàn)變,兵來(lái)將擋,水來(lái)土掩．要全面落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn),不隨意忽視所謂的“冷門知識(shí)”．知識(shí)的交匯就是創(chuàng)新,注意在知識(shí)交匯處命題是跳出“模式化”的關(guān)鍵,是需要深入研究的教學(xué)立足點(diǎn),是更高層次的校本化．

基于作業(yè)校本化下的試題命制要求教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的差異,針對(duì)性地在各層次學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之中設(shè)計(jì)一定量的題目,以此調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)中的積極因素,使作業(yè)與學(xué)生學(xué)習(xí)相互適應(yīng)．通過(guò)有計(jì)劃的實(shí)施,使不同層次的學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上獲得較好的發(fā)展,達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的.由此培養(yǎng)學(xué)生掌握和運(yùn)用知識(shí)的能力,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性,真正達(dá)到使每一個(gè)學(xué)生都能得到充分發(fā)展的目的．

(本文是福建省教育科學(xué)十三五規(guī)劃課題《高中數(shù)學(xué)作業(yè)校本化的實(shí)踐研究》(立項(xiàng)編號(hào)FJJKXB16-192)的研究成果之一)