汪承兵

(浙江省平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)，314200)

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○數(shù)學(xué)探究○

一道不等式問(wèn)題的微探究

汪承兵

(浙江省平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)，314200)

數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾提出,教師 “應(yīng)該能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這道題,就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù),把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．”

問(wèn)題 已知x,y是實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,求2x+y的最大值.

筆者在高二迎考復(fù)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)基本不等式這一節(jié)內(nèi)容掌握得不很好,表現(xiàn)在學(xué)生不知道怎么使用基本不等式,有些即使用了也存在著邏輯錯(cuò)誤．本文想通過(guò)對(duì)上面這一問(wèn)題的探究,發(fā)揮問(wèn)題的教學(xué)功能,使學(xué)生清楚基本不等式的思維特征,系統(tǒng)掌握相應(yīng)的知識(shí),形成能力．

一、基本不等式解題的理論基礎(chǔ)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)；

變形2 a2+b2≥2ab(a,b∈R)，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)；

變形4 4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2)(a,b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).

基本不等式及其變形不僅揭示了ab、a+b、a2+b2這三者之間的關(guān)系,而且在求最值的過(guò)程中,還給我們指明了方向．

二、基本不等式解題的模型探究

模型1 找定值

注意應(yīng)用基本不等式的條件:一正、二定、三相等.“一正”:使用基本不等式時(shí),各項(xiàng)必須為正數(shù);“二定”:若積為定值,則和有最小值;若和為定值,則積有最大值;“三相等”:等號(hào)能夠成立．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找定值,然而有些問(wèn)題不能直接看到定值,無(wú)法運(yùn)用基本不等式求解,此時(shí)我們需要通過(guò)化歸思想和初等變形的手段想辦法產(chǎn)生定值．

模型2 找匹配

對(duì)于本文開(kāi)始的問(wèn)題:求2x+y的最大值,如果還是按照模型1的思維,應(yīng)該找積是定值，然而模型1積為定值,和應(yīng)該有最小值，問(wèn)題中是求和的最大值,邏輯上有錯(cuò)誤;其次是已知條件4x2+y2+xy=1,既有和的形式又有積的形式,無(wú)法找到和或者積是定值，此時(shí)我們應(yīng)該換一種思維,尋找條件和結(jié)論之間的聯(lián)系．從條件中可以找到結(jié)論的影子(條件和結(jié)論匹配),所以將條件改寫(xiě)成(2x+y)2-3xy=1．我們的目標(biāo)是求2x+y,所以條件中要保留2x+y；積3xy向和2x+y轉(zhuǎn)化．經(jīng)過(guò)思考有了下面的解法．

解法1 (基本不等式法)

∵ 4x2+y2+xy=1,

∴ (2x+y)2-3xy=1,

把2x+y看成整體,整理得

基本不等式及其變形揭示了ab、a+b、a2+b2這三者之間的關(guān)系.在解決問(wèn)題時(shí)我們需要觀察條件和結(jié)論是否匹配,同時(shí)結(jié)合ab、a+b、a2+b2的放縮關(guān)系,有目的地在三者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．學(xué)生往往不注意或不容易找到基本不等式的內(nèi)在邏輯聯(lián)系,對(duì)于具體的問(wèn)題,缺乏整體理解,致使所學(xué)知識(shí)支離破碎．問(wèn)題的產(chǎn)生,除了與學(xué)生邏輯思維水平有關(guān)外,同樣也與教師的教學(xué)有很大聯(lián)系．

三、問(wèn)題解決的多角度探究

受思維定勢(shì)的影響,學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)只考慮用基本不等式來(lái)解,沒(méi)有思考其他的方法．關(guān)于求最值范圍問(wèn)題,我們常用的方法:一是從函數(shù)的角度，利用函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性,利用導(dǎo)數(shù);二是從不等式的角度，利用基本不等式、線(xiàn)性規(guī)劃(數(shù)形結(jié)合);三是從方程的角度，方程根的分布、判別式等等．抓住方程、不等式、函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,借助于具體的問(wèn)題,形成知識(shí)組塊．這種知識(shí)組塊是鑲嵌在解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的明珠,是解題系統(tǒng)得以有效運(yùn)作的樞紐.積累得越多、質(zhì)量越高,那么解題者的解題能力就越強(qiáng)．這樣,以最值范圍為中心而組織起來(lái)的解題知識(shí)組塊,還可以從以下角度思考:

解法2 (線(xiàn)性規(guī)劃法)

我們知道二元二次方程4x2+y2+xy=1表示曲線(xiàn),

若令w=2x+y(表示直線(xiàn)),則問(wèn)題轉(zhuǎn)換為,在4x2+y2+xy=1條件下,求w=2x+y的最值.想到線(xiàn)性規(guī)劃,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)4x2+y2+xy=1與直線(xiàn)y=-2x+w相切時(shí)有最值(因?yàn)閤,y是實(shí)數(shù))(如圖1)，從而通過(guò)聯(lián)立方程組由Δ≥0,求出w的范圍．

解法3 (判別式法)

與線(xiàn)性規(guī)劃法相比較,考慮問(wèn)題的角度不同,但本質(zhì)上是一樣的．令w=2x+y,則y=-2x+w，代入方程4x2+y2+xy=1,整理得到關(guān)于x的方程6x2-3wx+w2-1=0,由方程有根,Δ≥0,求出w的范圍．

解法4 (三角換元)

由條件4x2+y2+xy=1,配方可以得到

四、問(wèn)題的變式探究

變式1 已知x>0,y>0,若4x2+y2+xy=1,求2x+y的最大值.

評(píng)注 條件變?yōu)閤>0,y>0,利用基本不等式法是最簡(jiǎn)單的．若用線(xiàn)性規(guī)劃法,此時(shí)二元二次方程表示的不是完整的曲線(xiàn),相切能不能達(dá)到還有待進(jìn)一步驗(yàn)證;若用判別式法,此時(shí)應(yīng)考慮方程有正根的情況;若用三角換元,要考慮θ的范圍問(wèn)題．

變式2 已知x>0,y>0,若4x2+xy=1,求2x+y的范圍.

評(píng)注 此時(shí)條件和結(jié)論之間無(wú)法匹配,基本不等式用不上．其他的三種方法可以解決,但是要結(jié)合x(chóng)>0,y>0,解答的過(guò)程稍顯復(fù)雜．注意到條件是二元二次方程,要求一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題,通常還有一個(gè)途徑,就是消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題,再用單調(diào)性或基本不等式求解．

變式3 已知x>0,y>0,若2x+y+xy=1,求2x+y與xy的最小值．

在課堂教學(xué)中,一題多解、變式訓(xùn)練是常見(jiàn)的教學(xué)方式．教師在課堂設(shè)計(jì)時(shí)要充分發(fā)揮每道題的教育功能,深刻挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使不同層次的學(xué)生都能夠利用自己所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,并逐步培養(yǎng)起學(xué)生主動(dòng)探究的精神和創(chuàng)新意識(shí)．真正能夠衡量和甄別學(xué)生數(shù)學(xué)能力和水平的不是對(duì)他們對(duì)靜態(tài)知識(shí)的記憶、再現(xiàn)和簡(jiǎn)單應(yīng)用,而是他們從數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的知識(shí)出發(fā),對(duì)靜態(tài)結(jié)果知識(shí)所進(jìn)行的動(dòng)態(tài)理解、闡釋、批判、綜合和創(chuàng)新．

教師要能夠通過(guò)一道題揭示和建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,使學(xué)生弄清知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)．在習(xí)題講評(píng)課時(shí)不能就錯(cuò)論錯(cuò)、就題論題,而應(yīng)站在更高的視角來(lái)審視問(wèn)題,把題目中涉及到的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能向廣度和深度延伸、拓展,盡可能地構(gòu)建知識(shí)間的廣泛聯(lián)系,從“點(diǎn)”出發(fā),把“面”呈現(xiàn)給學(xué)生．同時(shí)通過(guò)開(kāi)展一題多解、變式訓(xùn)練,將解決問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整合,以重組和優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．無(wú)結(jié)構(gòu)的知識(shí)是散亂的,提取時(shí)不容易,有結(jié)構(gòu)的知識(shí)則是彼此聯(lián)系著的,便于記憶和遷移．