王學(xué)金

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老齡化趨勢下住房反向抵押貸款產(chǎn)品的定價(jià)分析

王學(xué)金

文章首先對傳統(tǒng)的反向抵押貸款定價(jià)進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化，分別建立了對不可贖回RM合約的精算定價(jià)方法和可贖回RM合約的期權(quán)定價(jià)法；然后對兩種模型下的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行了比較分析，得知考慮到壽命預(yù)期等因素的影響，相對于不可贖回RM合約，在我國可贖回RM合約更加適合投資者。

反向抵押貸款；不可贖回RM合約；可贖回RM合約；精算定價(jià)法；期權(quán)定價(jià)法

隨著我國老齡化水平的不斷加劇，如何解決養(yǎng)老問題，已成為大家普遍關(guān)注的一個(gè)社會(huì)問題。目前，我國老年人收入的現(xiàn)狀是：老年人收入來源少，收入水平相對較低。在我國傳統(tǒng)理念和消費(fèi)模式的影響下，許多老年人的積蓄大部分都投在自己的房產(chǎn)上，其它生活消費(fèi)所需要的大量現(xiàn)金很是拮據(jù)，成為典型的“房產(chǎn)富人，現(xiàn)金窮人”。同時(shí)，目前我國養(yǎng)老資金遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能解決我國目前面臨的現(xiàn)狀，考慮到反向抵押貸款的優(yōu)越性，并且反向抵押貸款產(chǎn)品的定價(jià)是否合理，會(huì)從供給和需求兩個(gè)層面影響到反向抵押貸款業(yè)務(wù)的順利推展，同時(shí)決定了該產(chǎn)品推出能否取得相應(yīng)的成功。所以國內(nèi)外學(xué)者們早已對住房反向抵押貸款做了比較充分的研究，尤其是在產(chǎn)品定價(jià)方面。

基本的定價(jià)方法主要分為三類：第一類是支付因子定價(jià)法。支付因子定價(jià)模型最先由Chinloy和Megbolugbe[1]提出，后來的反向抵押貸款定價(jià)模型一般都是在此模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出的。此模型在考慮房產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)、死亡率波動(dòng)和利率波動(dòng)等影響因素下，計(jì)算出貸款支付因子，然后用支付因子乘上房產(chǎn)價(jià)值得出借款人可獲得的貸款額度。第二類是保險(xiǎn)精算定價(jià)法。Bardhan等[2]假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)中性的環(huán)境下，根據(jù)歐式看跌期權(quán)定價(jià)的方法，設(shè)計(jì)了反向抵押貸款保險(xiǎn)的定價(jià)模型。第三類是期權(quán)定價(jià)法。Tse[3]根據(jù)貸款機(jī)構(gòu)未來收回住房價(jià)值的貼現(xiàn)值與支持貸款金額的貼現(xiàn)值相等的原則，構(gòu)建了貸款機(jī)構(gòu)損益平衡定價(jià)模型，模型假設(shè)未來利率等于過往平均利率、未來房價(jià)增值率與過往平均房價(jià)增值率相同、借助中國人口生命表計(jì)算得出借款人平均余命等。Mitchell和Piggott[4]基于貸款機(jī)構(gòu)貸款額現(xiàn)值與未來住房價(jià)值的現(xiàn)值相等的原則，利用精算定價(jià)理論設(shè)計(jì)了反向抵押貸款定價(jià)模型，分別計(jì)算了單個(gè)借款人可躉領(lǐng)的貸款金額和以年金方式領(lǐng)取每期數(shù)額。Baer等[5]在不考慮貸款機(jī)構(gòu)利潤的前提下，主要從借款者的預(yù)期壽命、利率波動(dòng)和未來房價(jià)波動(dòng)三個(gè)方面出發(fā)建立了精算定價(jià)模型，同時(shí)對其進(jìn)行了蒙特卡洛模擬，并實(shí)現(xiàn)了最終定價(jià)。利率可根據(jù)林海、鄭振龍[6]的中國利率動(dòng)態(tài)模型來得出。

本文主要基于Mitchell等[4]提出的反向抵押貸款定價(jià)模型，考慮到借款者的繼承、壽命預(yù)期等因素，分別對不可贖回RM合約和RM合約建立了風(fēng)險(xiǎn)中性精算定價(jià)模型和歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型對其進(jìn)行相關(guān)研究，最后對兩種模型進(jìn)行了實(shí)證分析，并結(jié)合我國現(xiàn)實(shí)實(shí)際對其進(jìn)行了比較分析。

1 基于精算方法的不可贖回RM定價(jià)模型

考慮到借款者可以一次性躉領(lǐng)，也可以在生存期間的每年等額領(lǐng)取現(xiàn)金，所以本文進(jìn)行如下假設(shè)：

1.房產(chǎn)不涉及其他抵押貸款；

2.僅考慮單個(gè)借款者；

3.僅考慮借款者預(yù)期壽命為整數(shù)年齡；

4.不考慮發(fā)行費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)和其他交易費(fèi)用。

基于上述假設(shè)，我們可得到不可贖回RM合約定論模型：

當(dāng)RM合約規(guī)定借款者可以按生存年金方式領(lǐng)取，則所有LA的現(xiàn)值總額應(yīng)等于LS，即

或者

2 基于期權(quán)定價(jià)的可贖回RM定價(jià)模型

可贖回RM合約可以看作一份期權(quán)，因?yàn)镽M合約的購買者或其繼承人在合約到期日具有選擇執(zhí)行或者放棄執(zhí)行合約的權(quán)利。正是因?yàn)橘徺I者具有選擇的權(quán)利，所以相對于不可贖回RM合約，貸款機(jī)構(gòu)面臨更大的風(fēng)險(xiǎn)，因此為了有效地對沖風(fēng)險(xiǎn)，貸款機(jī)構(gòu)必須通過構(gòu)造一定的資產(chǎn)用以保持借貸平衡，具體見下表：

表1

根據(jù)表中的分析，我們可得：

然后基于歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式可得：

其中

3 兩種模型的比較分析

考慮到上述兩種類型的合約僅僅是從貸款機(jī)構(gòu)的角度出發(fā)的，并沒有考慮到借款者的期望。盡管基于不同的定價(jià)模型，但是不可贖回RM合約中的LS值和LA值都比可贖回RM合約中的值稍微大些，但這并不意味著不可贖回RM合約就比可贖回RM合約更加具有吸引力，這主要是因?yàn)樵趯?shí)際生活中，我們還需要考慮到房產(chǎn)繼承、預(yù)期壽命和未來房價(jià)波動(dòng)等各種因素變動(dòng)的影響。

假設(shè)經(jīng)濟(jì)增速穩(wěn)定，房價(jià)波動(dòng)不大，此時(shí)投資者購買RM合約與否主要取決于它的預(yù)期壽命，如果借款者預(yù)期自己還會(huì)存活較長時(shí)間，那么為了每期獲得更多的年金額度，他將會(huì)選擇無贖回權(quán)的RM合約，反之，借款者則會(huì)選擇可贖回權(quán)的RM合約，甚至可能不會(huì)選擇投資二者中的任何一種。但是，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展并不是一直比較穩(wěn)定，其發(fā)展過程中存在周期的繁榮衰落，基于此，根據(jù)內(nèi)在不穩(wěn)定性，所以不可贖回RM合約可能會(huì)沒有較大的市場需求。

現(xiàn)在我們同時(shí)考慮貸款機(jī)構(gòu)和借款者兩個(gè)方面，基于上述所建立的定價(jià)模型，我們可以分別得到各模型下的曲線，分別如圖1、圖2所示：

圖1 不可贖回RM合約示意圖

圖2 可贖回RM合約示意圖

實(shí)際意義：圖1和圖2中的傾斜角呈45度的直線表示的是市場均衡價(jià)格，即未來房價(jià)H0等于支付總額LA/LS時(shí)的價(jià)格曲線。因此，這條直線上方的任何一點(diǎn)都可以被投資者接受的。圖中可以發(fā)現(xiàn)，借款人的需求曲線的斜率逐漸變小，這是因?yàn)殡S著年齡的增長，借款者預(yù)期自己的壽命不斷減少，因此主觀上會(huì)逐漸失去投資意愿。同時(shí)我們可以看出，當(dāng)房價(jià)和經(jīng)濟(jì)因素趨于穩(wěn)定時(shí)，投資風(fēng)險(xiǎn)降低，這就會(huì)導(dǎo)致曲線出現(xiàn)交集，即投資機(jī)會(huì)的存在。反之，當(dāng)經(jīng)濟(jì)繁榮發(fā)展，利率、商品價(jià)格等快速增長時(shí)，投資者就會(huì)預(yù)期未來的價(jià)值應(yīng)該會(huì)有較大發(fā)展空間，同時(shí)考慮到貸款機(jī)構(gòu)面臨的風(fēng)險(xiǎn)也在增長，這就會(huì)導(dǎo)致兩條曲線幾乎不會(huì)相交，如圖2所示，即合約幾乎不存在市場。

4 實(shí)證模擬及分析

為了簡化分析，我們假定借款者和貸款機(jī)構(gòu)對未來房價(jià)的預(yù)期是一樣的，并且在此我們僅僅考慮借款者的遺產(chǎn)繼承動(dòng)機(jī)以及壽命預(yù)期兩個(gè)因素對不可贖回RM 合約和可贖回RM合約選擇的影響。假設(shè)一名65歲的擁有價(jià)值90萬的房產(chǎn)的老年人準(zhǔn)備申請RM貸款，假設(shè)貸款以生存年金的方式發(fā)放，在此有兩種方式可供其選擇，即不可贖回RM合約和可贖回RM合約。除此之外，我們假設(shè)房產(chǎn)價(jià)值的年增長率為g=0.045，連續(xù)復(fù)利下房產(chǎn)價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差為σ=0.1，連續(xù)復(fù)利無風(fēng)險(xiǎn)利率為r=0.02，RM合約的借款利率為r2=0.065,房產(chǎn)的折舊率為β=0.02。

從其他金融機(jī)構(gòu)借款的利率假設(shè)為r3=0.03，借款者和貸款機(jī)構(gòu)對預(yù)期壽命的預(yù)測都是基于中國人口死亡率表(2000-2003)。

基于前面的計(jì)算公式，結(jié)合上述假設(shè)，我們可以計(jì)算得到在不同年份下，兩種合約的現(xiàn)值比較值，同時(shí)也可以得到對應(yīng)年份下房產(chǎn)價(jià)值的現(xiàn)值，具體見下表：

表2 兩種類型RM合約的比較分析表

備注：(1)RM合約的現(xiàn)值為，其中 是借款者每年從貸款機(jī)構(gòu)處獲得的年金額度。

(2)房產(chǎn)價(jià)值為

(3)價(jià)值單位：一萬元

通過上表，我們清晰地看到不同合約下現(xiàn)值的差異以及房產(chǎn)價(jià)格的現(xiàn)值。由上表可知，如果借款者預(yù)期自己能活過78歲，他將會(huì)選擇不可贖回RM合約，這是因?yàn)榇藭r(shí)房產(chǎn)價(jià)值的現(xiàn)值大于不可贖回RM合約的現(xiàn)值；如果借款者78歲之前逝世，并且他選擇的是不可贖回合約，那么潛在的收益(即圖中的陰影部分)歸屬于貸款機(jī)構(gòu)。如果借款者選擇的是可贖回RM合約，盡管合約價(jià)格和房產(chǎn)價(jià)格現(xiàn)值相等大概在其80歲時(shí)達(dá)到，但是若借款者80歲前發(fā)生死亡，則潛在的收益可由其繼承人獲得。當(dāng)然，幾乎沒有人會(huì)在65歲時(shí)預(yù)計(jì)自己一定能活到78歲，并且根據(jù)最新的人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如今中國男性的預(yù)期壽命是70歲，女性預(yù)期壽命是72歲，因此，在中國一個(gè)65歲的老年人不會(huì)預(yù)計(jì)自己活過78歲。因此，考慮到預(yù)期壽命和遺產(chǎn)繼承因素，盡管可贖回RM合約相比較于不可贖回RM合約給予借款人的額度較低，但是在中國這個(gè)特定的環(huán)境中，大多數(shù)人還是會(huì)選擇可贖回RM合約的。

5 總結(jié)

本文主要從借款者預(yù)期不確定的角度出發(fā)，分別考慮可贖回RM合約與不可贖回RM合約的定價(jià)模型：通過上述理論證明及實(shí)證分析結(jié)果可得，由于借款者考慮到繼承、預(yù)期壽命不確定性及房價(jià)波動(dòng)性等因素，不可贖回RM合約相對于可贖回RM合約在我國缺乏有效市場，這也解釋了前期“以房養(yǎng)老”試點(diǎn)失敗的原因。

[1] Chinloy, P., Megbolugbe, I. F.. Reverse Mortgages: Contractingand Crossover Risk[J]. Real Estate Economics, 1994, 22(2)：214-226.

[2] Bardhan, A., Karapandza, R. , Urosevic, B.. Valuing Mortgage Insurance Contracts in Emerging Market Economies[J]. The Journal of Real Estate Finance and Economics, 2006, 32(1)：152-176.

[3] Tse, Y. K. Modeling Reverse Mortgage[J]. Asia Pacific Journal of Management, 1995(12): 79-95.

[4] Mitchell, O. S., Piggott, J. Unlocking Housing Equity in Japan[J]. Journal of the Japanese and International Economies, 2004, 18(4)：302-328.

[5] Bear, T., Eroi, I., Pereira, R. and Yoo, S.J. Pricing of Reverse Mortgage on Forward House Sale. Atlantis-press.com, 2006.

[6] 林海，鄭振龍. 中國利率動(dòng)態(tài)模型研究 [J]. 財(cái)經(jīng)問題研究，2005(9)：63-67.

責(zé)任編輯：劉海濤

Analysis of the Pricing of Reverse Mortgage under Aging Trend

Wang Xuejin

To improve optimization of traditional pricing of reverse mortgage, we establish the actuarial pricing method with non-redeemable RM contract. Besides, we establish the option pricing with redeemable RM contract. Next we carry on the comparative analysis with the pricing result between two models, and we know that considering the influence of factors such as life expectancy, compared with the non-redeemable RM contracts, the redeemable RM contract is more suitable for investors in China.

reverse mortgage; non-redeemable RM contract; redeemable RM contract; Actuarial Pricing Model; Option Pricing Model

O211.67

A

1673-1794(2016)05-0024-04

王學(xué)金，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院教師，碩士(安徽 滁州 239000)。

滁州學(xué)院校級(jí)規(guī)劃項(xiàng)目(2014GH09，2014GH11)；滁州市社科聯(lián)項(xiàng)目(B2015010)；安徽省級(jí)金融工程團(tuán)隊(duì)(2013jxtd035)；滁州學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目(2016CXXL011)

2015-10-12