伏開放, 陳志祥

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產(chǎn)出和質(zhì)檢具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的EPQ決策

伏開放, 陳志祥

(中山大學(xué) 管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

研究產(chǎn)出和質(zhì)檢過程同時(shí)具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的EPQ決策問題。由于生產(chǎn)過程的不完備，在生產(chǎn)過程中會(huì)生產(chǎn)質(zhì)量缺陷的產(chǎn)品。在面臨常數(shù)需求的基礎(chǔ)上，建立了產(chǎn)出與質(zhì)檢過程均具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的成本函數(shù)模型，并采用牛頓法進(jìn)行了求解。數(shù)值與敏感性分析表明，隨著生產(chǎn)的推進(jìn)，在早期的生產(chǎn)階段，單位產(chǎn)品的平均生產(chǎn)時(shí)間快速減少，在后期趨于穩(wěn)定；隨著產(chǎn)出率學(xué)習(xí)系數(shù)的增大，最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間緩慢遞減；隨著質(zhì)檢學(xué)習(xí)系數(shù)的增大，最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間緩慢遞增；隨著缺陷率的增大，最優(yōu)成本快速增加。所得結(jié)論為決策最優(yōu)的生產(chǎn)量提供了依據(jù)。

產(chǎn)出；質(zhì)檢；學(xué)習(xí)效應(yīng)；生產(chǎn)批量；質(zhì)量缺陷

FU Kaifang， CHEN Zhixiang

(School of Business, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

學(xué)習(xí)效應(yīng)是生產(chǎn)過程由于人的經(jīng)驗(yàn)積累，生產(chǎn)率提高與成本隨產(chǎn)量增加而遞減的過程，并且這種遞減呈現(xiàn)出規(guī)律性。學(xué)習(xí)效應(yīng)不僅在生產(chǎn)過程中存在，而且在質(zhì)檢過程中也存在。產(chǎn)出率具有學(xué)習(xí)效應(yīng)，則生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本越來越低；質(zhì)檢過程具有學(xué)習(xí)效應(yīng)，則質(zhì)檢成本越來越低。學(xué)習(xí)效應(yīng)對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)策略有著重要的影響，因而探討生產(chǎn)過程與質(zhì)檢過程具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

Wright[1]在1936年提出了學(xué)習(xí)曲線理論，之后諸多學(xué)者對(duì)學(xué)習(xí)曲線進(jìn)行廣泛的拓展與應(yīng)用。Salameh等[2]在假設(shè)需求為常數(shù)的條件下，將學(xué)習(xí)效應(yīng)引入到EPQ模型中，但沒有考慮缺陷品對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)策略的影響。Chen等[3]采用平均生產(chǎn)率的方法建立了允許缺貨的產(chǎn)出率具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的EPQ模型。Mahata[4]在文獻(xiàn)[3]的 基礎(chǔ)上，采用平均產(chǎn)出率的方法，建立了產(chǎn)出率具有學(xué)習(xí)效應(yīng)和缺陷品數(shù)量具有模糊數(shù)屬性的EPQ模型。Teng等[5]分析了產(chǎn)出率具有學(xué)習(xí)效應(yīng)對(duì)EPQ模型中的最優(yōu)信用支付期及最優(yōu)生產(chǎn)批量的影響。Khan等[6]建立了質(zhì)檢過程具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的EOQ模型。Balkhi[7]采用Wright學(xué)習(xí)曲線形式，探討了生產(chǎn)率具有學(xué)習(xí)效應(yīng)及時(shí)變需求與缺貨部分延期供給的易逝產(chǎn)品的EPQ模型。Kumar等[8]在模糊隨機(jī)環(huán)境下，探討了生產(chǎn)率具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的缺陷品可以返工處理的的EOQ模型。Dar-El等[9]認(rèn)為雖然Wright學(xué)習(xí)曲線整合了學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知因素和技能因素，但是Wright學(xué)習(xí)曲線模型沒有區(qū)分認(rèn)知和技能學(xué)習(xí)，Dar-El等提出了雙重學(xué)習(xí)曲線模型。Jaber等[10]通過對(duì)初始生產(chǎn)時(shí)間的劃分，改進(jìn)了Dar-El等人的模型，并運(yùn)用到了經(jīng)典的EPQ模型中。Jaber等[11]在假設(shè)學(xué)習(xí)效應(yīng)存在投資成本的情形下，建立了生產(chǎn)率具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的制造與再制造混合生產(chǎn)批量模型。

由于生產(chǎn)過程中的設(shè)備老化、工人技術(shù)水平的參差不齊和其他不確定性因素，生產(chǎn)中的缺陷品廣泛存在，缺陷品的存在使得最優(yōu)生產(chǎn)策略發(fā)生改變。關(guān)于缺陷品的EPQ模型，Salameh等[12]建立了具有缺陷品的EPQ模型，并與經(jīng)典的EPQ/EOQ模型進(jìn)行了對(duì)比。Jaber等[13]建立了質(zhì)量改善具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的EPQ模型，由于質(zhì)量改善學(xué)習(xí)效應(yīng)的存在，產(chǎn)品的缺陷率越來越低。Wahab等[14]考慮合格品與缺陷品不同單位存儲(chǔ)成本對(duì)文獻(xiàn)[12]與[13]進(jìn)行了拓展。Mukhopadhyay等[15]在存在排污成本前提下，擴(kuò)展了缺陷品可以返工處理的EPQ模型。國內(nèi)學(xué)者柏慶國等[16]針對(duì)非變質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)存貯問題和易變質(zhì)產(chǎn)品的存貯問題，考慮訂購過程具有學(xué)習(xí)效應(yīng)，分別建立了混合整數(shù)約束優(yōu)化模型以及無約束優(yōu)化模型。徐健騰等[17]不僅考慮生產(chǎn)過程中具有學(xué)習(xí)效應(yīng)，而且考慮零售商分銷過程中具有學(xué)習(xí)效應(yīng)，得出了系統(tǒng)的最優(yōu)策略。于秀麗等[18]考慮員工學(xué)習(xí)效應(yīng)，分析了生產(chǎn)進(jìn)度受員工技能差異和變化的影響。鮮見學(xué)者研究考慮質(zhì)檢過程中的學(xué)習(xí)效應(yīng)。

本文與現(xiàn)有文獻(xiàn)的不同在于，本文在經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型中同時(shí)考慮產(chǎn)出和質(zhì)檢具有學(xué)習(xí)效應(yīng)。以往對(duì)經(jīng)典EPQ進(jìn)行拓展時(shí)，忽略了原材料的存儲(chǔ)成本，本文在建模過程中考慮原材料的成本，并且由于產(chǎn)出學(xué)習(xí)效應(yīng)的存在，原材料呈現(xiàn)加速消耗趨勢。由于生產(chǎn)過程的不完備，在生產(chǎn)過程中存在缺陷品，本文在建模過程中考慮缺陷品的存在。本文的研究擴(kuò)展了經(jīng)典經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型，為生產(chǎn)管理者提供了決策依據(jù)。

1 模型描述、假設(shè)與變量說明

制造商的產(chǎn)成品由3類原料按1∶1∶1的比例加工而成。制造商對(duì)生產(chǎn)完的產(chǎn)成品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。質(zhì)檢過程滯后于生產(chǎn)過程，且質(zhì)檢速率小于產(chǎn)出率。制造商在生產(chǎn)與質(zhì)檢過程中存在學(xué)習(xí)效應(yīng)，生產(chǎn)和質(zhì)檢單位產(chǎn)品的時(shí)間越來越短。由于生產(chǎn)過程的不完備，在生產(chǎn)過程中存在缺陷品。產(chǎn)出率學(xué)習(xí)效應(yīng)的存在使得原材料的消耗呈現(xiàn)加速消耗趨勢。

本文模型的建立基于如下假設(shè)。

1)生產(chǎn)過程中產(chǎn)出率存在學(xué)習(xí)效應(yīng)，學(xué)習(xí)系數(shù)為常數(shù)δ。質(zhì)檢過程中存在學(xué)習(xí)效應(yīng)，學(xué)習(xí)系數(shù)為ε。

2)制造商邊生產(chǎn)邊銷售產(chǎn)品，面臨的需求為D。

3)由于生產(chǎn)過程的不完備，在生產(chǎn)過程中存在缺陷品，缺陷率為γ。制造商在對(duì)所有產(chǎn)品質(zhì)檢完成后，將缺陷品集中處理掉。

4)生產(chǎn)庫存模型運(yùn)行在無限計(jì)劃期內(nèi)。

5)在初始質(zhì)檢過程中，缺陷品均可檢出，不考慮質(zhì)檢過程中存在的質(zhì)檢錯(cuò)誤。

本文模型中用到的參數(shù)和變量定義如下。

K為生產(chǎn)第1個(gè)產(chǎn)品的時(shí)間(d)；

A為生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用(元/周期)；

L為單位時(shí)間的勞動(dòng)費(fèi)用(元/d)；

Cm為單位產(chǎn)成品的原料采購成本(元)；

Ch0為單位時(shí)間單位產(chǎn)成品的存儲(chǔ)費(fèi)(元/d)；

Ch1、Ch2、Ch3分別為原料1、原料2、原料3的單位時(shí)間單位存儲(chǔ)成本(元/d)；

Cs為單位產(chǎn)品的質(zhì)檢費(fèi)用(元/單位)；

t*為最優(yōu)時(shí)間(d)；

Tpi為第i個(gè)周期制造商的生產(chǎn)時(shí)間(d)；

Tsi為第i個(gè)周期制造商的質(zhì)檢時(shí)間(d)；

Ti為第i個(gè)周期的時(shí)間長度(d)；

Xi為第i個(gè)周期的生產(chǎn)數(shù)量；

I(t)為t時(shí)刻的庫存水平；

Ip(t)為在[0,tpi]時(shí)間段內(nèi)產(chǎn)成品庫存水平；

Id 1(t)為在[tpi,tsi]時(shí)間段內(nèi)的產(chǎn)成品庫存水平；

Id2(t)為在(tsi,T)時(shí)間段內(nèi)的產(chǎn)成品庫存水平。

2 學(xué)習(xí)效應(yīng)下的生產(chǎn)庫存模型

2.1 生產(chǎn)庫存成本模型

圖1反映了原料與成品庫存水平隨時(shí)間變化情況。根據(jù)Wright學(xué)習(xí)曲線理論，生產(chǎn)第X件產(chǎn)品的工時(shí)為tX=KX-δ。生產(chǎn)一批X件產(chǎn)品的生產(chǎn)總工時(shí)為

。

(1)

圖1 原料與成品庫存水平隨時(shí)間變化趨勢圖

。

(2)

在[0,tpi]時(shí)間段內(nèi)，庫存水平變化的狀態(tài)方程為

。

(3)

根據(jù)初始條件Ip(0)=0，可得

。

(4)

在[tpi,tsi]時(shí)間段內(nèi)，庫存水平變化的狀態(tài)方程為

。

(5)

根據(jù)Ip(Tpi)=Id1(Tpi)，有

。

(6)

進(jìn)一步可得

。

(7)

在(tsi,T)時(shí)間段內(nèi)，庫存水平變化的狀態(tài)方程為

。

(8)

根據(jù)初始條件

,

進(jìn)一步可得

tpi≤t≤tpi+tdi。

(9)

根據(jù)式(6)，可得第i個(gè)周期的時(shí)間長度為

。

(10)

在[0,tpi]時(shí)間段內(nèi)產(chǎn)成品庫存成本

。

(11)

在[tpi,tsi]時(shí)間段內(nèi)產(chǎn)成品庫存成本

(12)

在[tsi,Ti]時(shí)間段內(nèi)產(chǎn)成品庫存成本：

(13)

原料1的存儲(chǔ)成本為：

(14)

所有原料的存儲(chǔ)總成本為

(15)

第i個(gè)周期的總成本為

(16)

第i個(gè)周期的日平均成本為

。

(17)

(18)

2.2 生產(chǎn)庫存成本模型求解步驟

對(duì)ATC(Xi)求極小值，也即求無約束的非線性規(guī)劃問題。由于式(18)的高度非線性，難以求出最優(yōu)解的解析表達(dá)式，因此采用數(shù)值方法求解。這里采用牛頓迭代法進(jìn)行求解。牛頓法的最大優(yōu)點(diǎn)是在方程的單根附近具有平方收斂。其中m表示牛頓迭代法的迭代次數(shù)。

令f(X)=ATC(Xi)。

求解步驟如下：

步驟1：令i=1，m=0；

步驟2：給定初始值Xi0，允許誤差?(本文?=0.000 1)；

步驟4：若(Xim-Xi(m-1))

步驟6：令i=i+1，重復(fù)步驟2～5，直到i=I(I是學(xué)習(xí)曲線穩(wěn)定后的生產(chǎn)周期數(shù)，也就是最佳生產(chǎn)周期，經(jīng)過測試后確定)；

3 算例與敏感性分析

生產(chǎn)第1個(gè)產(chǎn)品的時(shí)間K=0.008 d；質(zhì)檢第1件產(chǎn)品所需要的時(shí)間=0.023 d；生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用A=200元/周期；勞動(dòng)費(fèi)用為L=80 元/d；單位產(chǎn)成品的原料采購成本Cm=25元/單位；單位時(shí)間單位產(chǎn)成品的存儲(chǔ)費(fèi)Ch0=2.5元/d；原料1、原料2、原料3的單位時(shí)間單位存儲(chǔ)成本Ch1=1.5元/d，Ch2=1元/d，Ch3=2元/d；單位產(chǎn)品的質(zhì)檢費(fèi)用Cs=3.5元/單位；產(chǎn)出率學(xué)習(xí)系數(shù)為 δ=0.1；質(zhì)檢學(xué)習(xí)系數(shù)ε=0.35；需求D=150單位/d。

由表1知，在生產(chǎn)的早期階段，最優(yōu)生產(chǎn)量與最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間快速下降，第2個(gè)生產(chǎn)周期以后的學(xué)習(xí)效應(yīng)表現(xiàn)不明顯。由圖2知，隨著生產(chǎn)周期的推進(jìn)，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的時(shí)間越來越小，但生產(chǎn)時(shí)間不會(huì)趨向于零，最后趨向于一個(gè)固定的值。圖2中單位產(chǎn)品生產(chǎn)時(shí)間的變化，表現(xiàn)出明顯的學(xué)習(xí)曲線特征。

表1 不同周期下的最優(yōu)策略

圖2 周期數(shù)對(duì)單位產(chǎn)成品生產(chǎn)時(shí)間的影響

圖3反映了產(chǎn)出率學(xué)習(xí)系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間的影響，隨著學(xué)習(xí)系數(shù)的增大，即學(xué)習(xí)率越小，因可改善的空間越來越大，所以最優(yōu)的生產(chǎn)時(shí)間越來越小。圖4反映了質(zhì)檢學(xué)習(xí)系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間的影響，隨著質(zhì)檢學(xué)習(xí)系數(shù)的增大，最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間呈現(xiàn)出緩慢增加的趨勢。

圖3 產(chǎn)出率學(xué)習(xí)系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間的影響

圖4 質(zhì)檢學(xué)習(xí)系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間的影響

圖5反映了缺陷率對(duì)最優(yōu)成本的影響，隨著缺陷率的增大，制造商需要生產(chǎn)更多的產(chǎn)成品來滿足消費(fèi)者的需求，同時(shí)缺陷品不能出售，生產(chǎn)缺陷品耗費(fèi)了大量的成本，故而隨著缺陷率的增大，最優(yōu)成本呈現(xiàn)快速增加的趨勢。

圖5 缺陷率對(duì)最優(yōu)成本的影響

4 結(jié)論

文章考慮制造商的產(chǎn)出率和質(zhì)檢過程具有學(xué)習(xí)效應(yīng)的經(jīng)濟(jì)批量優(yōu)化問題。數(shù)值分析結(jié)果表明，在早期生產(chǎn)階段，學(xué)習(xí)效應(yīng)對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)量及最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間有顯著的影響。在生產(chǎn)的后期學(xué)習(xí)效應(yīng)發(fā)揮的作用有限，因?yàn)閱挝划a(chǎn)品的生產(chǎn)時(shí)間基本保持不變，此時(shí)在學(xué)習(xí)效應(yīng)上的投資是不明智的。隨著缺陷率的增大，最優(yōu)成本快速增加，應(yīng)設(shè)法降低缺陷率。

文章的研究沒有考慮生產(chǎn)中斷帶來的學(xué)習(xí)中斷現(xiàn)象，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，生產(chǎn)的中斷，會(huì)使得學(xué)習(xí)效應(yīng)帶來負(fù)面影響；另外，由于產(chǎn)品質(zhì)量學(xué)習(xí)效應(yīng)的存在，產(chǎn)品缺陷率是越來越小的，在后續(xù)研究中，可考慮產(chǎn)出率同時(shí)具有學(xué)習(xí)與中斷效應(yīng)的情形及產(chǎn)品質(zhì)量的學(xué)習(xí)效應(yīng)。

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Decision of EPQ Model under Learning Effect of Productivity and Quality Inspection

The EPQ (economic production quantity) model of learning effect in the process of production and quality inspection is extended. The production process is not perfect, and quality defects will be produced. On the basis of constant demand, a cost function model of the learning effect in the process of production and quality screening is established, and the solution is solved by Newton method. Numerical and sensitivity analyses show that, along with the advance of production, in the early stages of production, the average production time of the unit product decreases rapidly with the increase of productivity, but the optimal production time tends to be stable in the later stage. With the increase of learning coefficient, the optimal production time decreases slowly; with the increase of the quality screening coefficient, the optimal production time increases slowly; with the increase of the defect rate, the optimal total average cost increases quickly. The conclusion provides the basis for the optimal decision.

productivity; quality inspection; learning effect; lot sizing; quality defect

2016- 04- 26

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71372154)

伏開放(1988-)，男，江蘇省人，博士研究生，主要研究方向?yàn)樯a(chǎn)與運(yùn)作管理、工作研究.

10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.05.021

N945；F406

A

1007-7375(2016)05- 0153- 06