劉 松

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

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黎曼積分的局限性和勒貝格積分的優(yōu)越性

劉 松

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

黎曼積分和勒貝格積分分別是數(shù)學(xué)分析及實(shí)變函數(shù)的核心內(nèi)容, Lebesgue積分不僅蘊(yùn)含了Riemann積分所達(dá)到的成果，而且還在較大程度克服了Riemann積分的局限性。從可積函數(shù)的連續(xù)性，積分極限定理，可積函數(shù)空間的完備性和微積分基本定理等方面詳細(xì)闡述了黎曼積分的局限性和勒貝格積分的優(yōu)越性。

黎曼積分；勒貝格積分；可測(cè)函數(shù)

黎曼積分是微積分課程的主要內(nèi)容之一，它對(duì)于處理諸如逐段連續(xù)函數(shù)以及一致收斂的級(jí)數(shù)來說是足夠的。然而黎曼積分還存在著較大的缺陷：黎曼積分是以“基本上”連續(xù)的函數(shù)為研究對(duì)象，從而黎曼可積的函數(shù)太少；積分與極限可交換的條件太苛刻，需用函數(shù)列的一致收斂條件來保證極限與積分運(yùn)算的次序可交換；積分運(yùn)算不完全是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算等。隨著人們對(duì)積分理論的深入研究，發(fā)現(xiàn)積分問題與函數(shù)的下方圖形——點(diǎn)集的面積有關(guān)，Jordan在1982年建立了Jordan可測(cè)集理論。然而Jordan的測(cè)度理論存在著嚴(yán)重的缺陷，如有理數(shù)集不可測(cè)、存在不可測(cè)的開集等。Borel在1898年從開集出發(fā)構(gòu)造了σ-代數(shù)，使得所有由開集生成的點(diǎn)集均可測(cè)，而且他的測(cè)度理論還具有可數(shù)可加性。但是 Borel沒有把他的測(cè)度論和積分理論聯(lián)系在一起。

目前，在應(yīng)用上最廣泛的測(cè)度和積分是法國(guó)數(shù)學(xué)家Lebesgue提出的，1902年，他在博士論文“積分、長(zhǎng)度與面積”中提出的思想成為古典分析過渡到近代分析的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。Lebesgue積分理論是在Lebesgue測(cè)度論上建立起來的關(guān)于可測(cè)函數(shù)的積分理論，這一理論可以統(tǒng)一處理有界函數(shù)和無界函數(shù)的積分。同時(shí)Lebesgue還指出了Lebesgue可測(cè)集和Borel可測(cè)集的關(guān)系，且存在Lebesgue不可測(cè)集。Lebesgue積分不僅蘊(yùn)含了Riemann積分所達(dá)到的成果，而且還在較大程度克服了Riemann積分的局限性。本文將首先介紹兩者積分定義的區(qū)別，其次從可積函數(shù)的連續(xù)性、積分極限定理、可積函數(shù)空間的完備性和微積分基本定理等方面介紹黎曼積分的局限性和勒貝格積分的優(yōu)越性。

1 兩種積分的定義

它們分別被稱為相應(yīng)于劃分P的Darboux大和與Darboux小和。

從兩種積分的的定義知，黎曼積分是對(duì)函數(shù)的定義域劃分，勒貝格積分是對(duì)函數(shù)的值域劃分，這是勒貝格積分與黎曼積分的本質(zhì)區(qū)別。黎曼積分的優(yōu)點(diǎn)是劃分后的小區(qū)間長(zhǎng)度容易給出，但是函數(shù)在其上的振幅可能較大，從而使得很多函數(shù)是黎曼不可積的；而勒貝格積分的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)f(x)在Ek上的振幅一定不超過劃分的細(xì)度，因此可測(cè)集上的有界函數(shù)都是勒貝格可積的，勒貝格積分在很大程度上擴(kuò)大了可積函數(shù)類。這一點(diǎn)點(diǎn)差別，使得勒貝格積分具有一些黎曼積分所沒有的良好性質(zhì)。勒貝格積分理論是在勒貝格測(cè)度理論的基礎(chǔ)上建立的，這一理論可以統(tǒng)一處理函數(shù)有界與無界的情形，而且被積函數(shù)也可以定義在更一般的點(diǎn)集上。

2 黎曼積分的局限性和勒貝格積分的優(yōu)越性

2.1 可積函數(shù)的連續(xù)性

黎曼積分的局限性表現(xiàn)在黎曼可積函數(shù)太少，黎曼可積函數(shù)是區(qū)間[a,b]上“基本上”連續(xù)的函數(shù)。例如Dirichlet函數(shù)

在[0,1]上處處不連續(xù)，從而D(x)是黎曼不可積。但是D(x)=0幾乎處處于[0,1]，所以D(x)是勒貝格可積的，且其勒貝格積分等于零。

2.2 積分與極限次序的交換

在分析學(xué)中，經(jīng)常遇到交換兩種極限過程的次序，尤其是積分和函數(shù)列極限的交換。關(guān)于黎曼積分與勒貝格積分和函數(shù)列極限次序的交換有如下結(jié)論。

若存在非負(fù)函數(shù)F∈L(E)，使得對(duì)于?n∈Ν，有

由于F∈L([0,1])，由控制收斂定理知積分和極限的次序可交換，即

由此可知，對(duì)于積分與極限運(yùn)算的次序交換問題。在黎曼積分意義下，通常都是用函數(shù)列的一致收斂條件來保證積分與極限運(yùn)算的次序可以交換。而在勒貝格積分意義下，由勒貝格控制收斂定理可知，只要很弱的條件就可交換積分與極限運(yùn)算的次序。

2.3 可積函數(shù)空間的完備性

黎曼積分的另一局限性表現(xiàn)在可積函數(shù)空間的不完備性。記R([a,b])和L([a,b])分別為[a,b]上R可積函數(shù)全體和L可積函數(shù)全體，定義可積函數(shù)間的距離為

d(f,g)=∫ab|f(x)-g(x)|dx，

則R([a,b])按上述距離構(gòu)成的距離空間是不完備的，而L([a,b])按上述距離構(gòu)成的距離空間是完備的。在分析學(xué)中，空間的完備性具有重要的意義。

2.4 微積分基本定理

黎曼積分運(yùn)算不完全是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，微分和積分之間的關(guān)系是微積分學(xué)的中樞：設(shè)f(x)在[a,b]上可微且f′(x)在[a,b]上可積，則有

∫axf ′(x)dx=f(x)-f(a),x∈[a,b]。

這就是說，先對(duì)f(x)進(jìn)行微分運(yùn)算再通過積分得到f(x)。顯然，要使得微積分基本定理成立，f ′(x)必須是可積的。然而早在1881年，Volterra就給出了一個(gè)可微函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是有界的，但不是黎曼可積的。對(duì)于這樣的函數(shù)，微積分基本定理不成立，這就說明黎曼積分運(yùn)算部分的是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。

此外，需要指出的是：(1)黎曼積分對(duì)積分區(qū)域僅具有有限可加性，而勒貝格積分不僅具有有限可加性還具有可數(shù)可加性。(2)若f(x)在上黎曼可積，則f(x)在上勒貝格可積，且積分值相同。對(duì)于非負(fù)函數(shù)勒貝格積分也是黎曼反常積分的推廣，但是在一般情況下，勒貝格積分不是黎曼反常積分的推廣。如則f(x)在[0,+∞)上連續(xù)，且(R)，但是(L)∫0+∞f(x)dx=∞，所以f(x)不是勒貝格可積的。

[1] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2001:18.

[2] 程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010:123.

[3] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析:上[M].北京：高等教育出版社，2003：272-300.

[4] 潘學(xué)鋒：淺談黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，21(5)：99-102.

[5] 張良勇，董曉芳.淺談從黎曼積分到勒貝格積分的演變[J].高等函授學(xué)報(bào)，2006(19)：19-23.

[6] 黃蓉里.大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)勒貝格積分思想的教學(xué)探討[J].教育觀察，2015(4)：43-44.

[7] 黃永峰.也談黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別及聯(lián)系[J].時(shí)代教育，2011(9)：14-15.

[責(zé)任編輯：張永軍]

On The Shortcomings of Riemann Integral and Advantages of Lebesgue Integral

LIU Song

(School of Mathematical Sciences, Anhui university, Hefei 230601，China)

Riemann integral and Lebesgue integral are the key content of Mathematical Analysis and Real Functions, respectively. Lebesgue integral not only contains the achievements of Riemann integral, but also overcomes the drawbacks of Riemann integral in a large extent. This paper mainly introduces the shortcomings of Riemann integral and advantages of Lebesgue integral from the aspects of the continuity of integrable functions, integral limitation theorems, completeness of the space of integrable functions and fundamental theorem of calculus.

Riemann integral；Lebesgue integral；measurable function

2016-07-15

2016-08-03

安徽大學(xué)青年骨干教師培養(yǎng)項(xiàng)目(023033010264)資助。

劉 松(1981—)，男，安徽定遠(yuǎn)人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授、博士。

O171

A

2096-2371(2016)04-0014-03