肖 涵，吳 正，王良龍

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

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一類具參數(shù)的分數(shù)階差分方程邊值問題解的存在唯一性

肖 涵，吳 正，王良龍

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

研究了階數(shù)介于3到4之間的一類分數(shù)階差分方程的邊值問題。通過構造相應的Green函數(shù)，證明Green函數(shù)的正性性質(zhì)，利用Banach壓縮映像原理和Brouwer不動點定理，在合適的條件下，獲得了邊值問題解的存在唯一性。特別地，當階數(shù)v=4時，原問題變?yōu)檎麛?shù)階差分方程邊值問題，研究結(jié)果表明，分數(shù)階差分方程邊值問題與整數(shù)階差分方程邊值問題具有本質(zhì)區(qū)別。

分數(shù)階差分方程；Green函數(shù)；Brouwer不動點定理；壓縮映象原理

眾所周知，整數(shù)階微積分在現(xiàn)實生活和眾多科技領域已經(jīng)有了廣泛的應用。然而，最近幾十年來，學術界對分數(shù)階微積分的理論研究和實際應用給予了高度關注。

1974年，第一次“分數(shù)階微分方程及其應用”國際研討會的召開為分數(shù)階微積分以及分數(shù)階微分方程的發(fā)展開創(chuàng)了新局面，分數(shù)階微分方程的理論和應用研究引起廣大學者的濃厚興趣。[1]

近年來，出于理論自身的發(fā)展需要和應用的廣泛性，以及分數(shù)階差分方程數(shù)值計算和仿真模擬驅(qū)動，分數(shù)階差分方程的理論和應用研究獲得極大發(fā)展，研究成果不斷涌現(xiàn)，例如文獻[2]及其該文的文后參考文獻。

事實上，分數(shù)階差分方程在病理學、生態(tài)學、遺傳學、力學、物理學等領域中具有廣泛的應用。2010年，F(xiàn).M.Atici和S.Sengul在文獻[3]中利用Gompertz分數(shù)階差分方程建立了腫瘤增長模型。2012年，F(xiàn).Wu在文獻[4]中利用分數(shù)階向后差分算子分析了癌癥腫瘤的增長機理。

2010年，Goodrich在文獻[5]中研究了分數(shù)階差分方程邊值問題

2011年，Goodrich在文獻[8]中研究了分數(shù)階差分的邊值問題

文獻中對于階數(shù)在1到2之間、或2到3之間的分數(shù)階差分方程的研究較多，而對于階數(shù)介于3到4之間的分數(shù)階差分方程邊值問題的研究相對較少。[9-10]受此啟發(fā)，本文主要考慮階數(shù)介于3到4之間的具一個參數(shù)的分數(shù)階差分方程邊值問題

(1)

解的存在性，其中，t∈N0,b+1，3

若v=4，分數(shù)階差分方程邊值問題(1)轉(zhuǎn)化為整數(shù)階邊值問題，其解表現(xiàn)為共振問題，而對于3

1 預備知識

定義3[2]設f:Na→R且v>0，則f的v階-和分定義為

引理1[2]f:Na→R,則對于?k∈N0,μ>0,m-1<μ

引理2[2]設f:Nv-N→R,且N-1

引理3[7](Brouwer不動點定理)設D?Rn是有界閉凸子集，T:D→D是連續(xù)的，則T在D上必有不動點。

引理4[7](Banach壓縮映象原理) 設X是完備的度量空間，T:X→X是壓縮映射，則T在X上有唯一的不動點。

2 主要結(jié)果

定理1 設3≤v≤4，h:Nv-1,v+b→R,λ>0，則如下分數(shù)階差分方程邊值問題

(2)

有唯一解

證明 對邊值問題(2)中的方程兩邊作v次和分，則由引理2可知

對上式再作一次差分，由Δtμ=μtμ-1和引理1可得

可得

(3)

(4)

(5)

(6)

綜合(3)(4) (5) (6) 可得以c1,c2,c3,c4為未知數(shù)的非奇次線性方程組的系數(shù)矩陣為

推論 設h:N3,4+b→R，對于整數(shù)階差分方程邊值問題

(7)

從上面的討論可知，對于3

下面列出兩個假設，分別是

下面證明方程(2)解的存在唯一性。首先定義Banach空間

再定義算子

則分數(shù)階差分方程(1)有解轉(zhuǎn)化為T有不動點u=Tu，引入記號

下面列出關于f的假設：

定理4 假設存在θ∈(0,M)，使得滿足Lipschitz條件

則分數(shù)階差分邊值問題(1)存在唯一解。

證明 對?u1,u2∈E, 有

3 結(jié) 論

本文研究了階數(shù)在3到4之間的分數(shù)階差分方程邊值問題(1)和(2)，通過構造相應的Green函數(shù)，證明Green函數(shù)的正性，利用Banach壓縮映像原理和Brouwer不動點定理，在合適的條件下，獲得了邊值問題(1)和(2)解的存在唯一性。特別地，當階數(shù)v=4時，原問題變?yōu)檎麛?shù)階差分方程邊值問題，研究結(jié)果表明，分數(shù)階差分方程邊值問題與整數(shù)階差分方程邊值問題具有本質(zhì)區(qū)別，這對今后開展分數(shù)階差分方程研究工作有重要的指導意義。

[1] 鄭祖庥.分數(shù)微分方程的發(fā)展和應用[J]，徐州師范大學學報(自然科學版)，2008,26(2), 1-10.

[2] 程金發(fā).分數(shù)階差分方程[M].廈門:廈門大學出版社，2010.

[3] Atici F M, Sengul S.Modeling with Fractional Equations [J]. J Math Anal Appl, 2010,369: 1-9.

[4] Wu F. Nabla Fractional Calculus and Its Application in Analyzing Tumor Growth of Cancer, Master Thesis [D]. Kentucky:Western University, 2012.

[5] Goodrich C S.Continuity of Solutions to Discrete Fractional Initial Value Problems [J].Computers and Mathematics with Applications, 2010,59(11), 3489-3499.

[6] Atici F M, Eloe P W.Two-point Boundary Value Problems for Finite Fractional Difference Equations [J].Differential Equations and Applications, 2011，17(4): 445-456.

[7] Guo D, Lakshimikantham V. Nonlinear Problems in Abstract Cones [M]. New York: Academic Press, 1988.

[8] Goodrich C S.Existence and Uniqueness of Solutions to a Fractional Difference Equation with Nonlocal Conditions [J].Computers and Mathematics with Applications, 2011，61(2):191-201.

[9] 李曉艷.分數(shù)階微分方程與差分方程初值問題的解[D].合肥：安徽大學數(shù)學科學學院，2012.

[10] 祁瑞.分數(shù)階差分方程邊值問題解的存在性[D].蘭州：蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，2014.

[責任編輯：張永軍]

Existence and Uniqueness of Solutions of Boundary Value Problems for Fractional Order Difference Equations with a Parameter

XIAO Han,WU Zheng,WANG Liang-long

(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China)

This paper is concerned with boundary value problems of fractional difference equations with the order between 3 to 4. Green function is technically constructed, the positivity of Green function is obtained. Under the suitable conditions, the existence and uniqueness of solutions of boundary value problems for fractional order difference equations with a parameter is proved by using of Banach contraction mapping principle and Brouwer fixed point theorem. In particular, the difference between fractional order difference equations and integer order difference equations is found, which is significant on research of fractional order difference equations.

fractional order difference equation; Green function; Brouwer fixed point theorem; contraction mapping principle

2016-04-28

2016-07-25

國家自然科學基金(11401002，11301004)、安徽省自然科學基金(1508085QA01)、安徽省高校自然科學重點研究項目 (KJ2014A010)、 安徽省高等教育質(zhì)量工程項目(2015jyxm057)、安徽大學質(zhì)量提升計劃項目(ZLTS2015052)資助。

肖 涵(1990—)，女，安徽六安人，安徽大學數(shù)學科學學院2013級碩士研究生；研究方向：分數(shù)階差分方程。

O241.84

A

2096-2371(2016)04-0005-06