曹玉童，何 超，王良龍

(安徽大學 數學科學學院，合肥 230601)

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一類Riemann-Loiuville型分數階差分方程解對初值的連續(xù)依賴性

曹玉童，何 超，王良龍

(安徽大學 數學科學學院，合肥 230601)

針對一類Riemann-Loiuville型分數階差分方程，利用分數階差分性質，構造了一個Volterra和分方程，再利用離散分數階Gronwall 不等式和離散Mittag-Leffler函數的性質，在合適的條件下獲得了這個方程解對初值的連續(xù)依賴性，并用新方法證明了解的唯一性。

Riemann-Loiuville分數階差分方程；Volterra和分方程；離散分數階Gronwall 不等式；離散Mittag-Leffler函數

1695年Leibniz與L’Hospital在通信中，首次探討了傳統(tǒng)微分中變元增量為非整數次冪時的相關極限問題，這標志著分數階微分和分數階微分方程的起源。[1]后期的研究表明，分數階微分和分數階微分方程在控制論、彈性力學、電路理論等學科研究中起著非常重要的作用。[2-4]相對來說，作為與分數階微分相似的分數階差分發(fā)展較晚，但近期其研究結果也不斷涌現，已經有相對完善的分數階差分及和分定義形式與基本性質、初值問題和變分問題等。[5-7]當前研究表明，分數階差分及分數階差分方程在物理學、工程學和生態(tài)學等學科中有著廣闊的應用空間。我國學者程金發(fā)教授提出了一種全新的分數階和分、分數階差分以及分數階差分方程定義，在文獻[8]中提出了若干類分數階差分方程，并對其解的性質進行了廣泛而深入的研究。

目前比較常用的分數階差分方程有三種形式，Riemann-Loiuville型分數階差分方程、Caputo 型分數階差分方程和序列分數階差分方程，其中序列分數差分是若干Riemann-Loiuville型差分算子的組合。在文獻[8]中，程金發(fā)教授根據文中提出的向后分數階差分，重新構造了這三類分數階差分方程。對于α∈(0,1)的Riemann-Loiuville 型分數差分方程，程金發(fā)教授將方程化為一個等價的Volterra 型方程，再利用Lipschitz條件，結合使用離散分數階Gronwall不等式和離散Mittag-Leffler函數性質，證明了一類Riemann-Loiuville型分數階差分方程解對初值的連續(xù)依賴性。本文對α的范圍進行了推廣，得到了一般分數階Riemann-Loiuville型差分方程解對初值的連續(xù)依賴性。

1 預備知識

首先引入文獻[8]中的記號、定義及引理。

▽kx(n)▽▽(k-1)x(n)為 x (n ) 的k階差分，其中k∈N+。

定義2 稱▽-1x(n)(r)為 x (n) 的一階和分；稱▽-kx(n)▽-1▽-(k-1)x(n)為 x (n ) 的 k 階和分，其中k∈N+。

定義4 令 m 為不小于μ>0 的最小正整數，定義 x(n)的μ階R-L型分數差分如下:

▽μx(n)=▽m▽-(m-μ)x(n)。

注意到，只要|λ|<1，上述級數收斂。

定義6 定義▽αy(n)=f(n,y(n)),

(1)

(2)

為α階分數差分方程的初值問題。

引理2 初值問題(1)和(2)等價于和分方程

(3)

證明 為了完整性，本處給出其簡單證明過程。關于下限不為0的一般情況，見文獻[8]。先證必要性。對▽αy(n)=f(n,y(n))兩邊作▽-α得到▽-α▽αy(n)=▽-αf(n,y(n))。此式的左式化為

右式化為

再證充分性。對(3)式兩邊作▽α得

由

當α∈(0,1)時，有下面結果。

推論[8]當α∈(0,1)時，定義6中(1)(2)式等價于下面的Volterra方程

2 主要結論

定理1 設α>0,m-1<α≤m，f(n,y(n))滿足Lipschitz條件和有界性，即

|f(n,y(n)|≤M∈R+，a≤n≤N≤∞，

證明 關于初值問題(1)(2)解的存在性，其證明見文獻 [8]。下面利用離散分數階Gronwall不等式來證明解的唯一性。

由引理2知，初值問題(1)(2)等價于(3)。假設有y1(n),y2(n)都為方程(3)的解，即

兩式相減，然后進行估計，可得

由定理5可得

所以 y1(n)=y2(n)。

下面給出解對初值的連續(xù)依賴性結果。

定理2 假設z(t)是初值問題

▽αz(n)=f(n,z(n))，

(4)

(5)

其中0

證明 由引理2可知，初值問題(1)與(2)等價于Volterra和分方程

且初值問題(4)與(5)等價于Volterra和分方程

故

由引理1得

注：此處我們利用離散分數階Gronwall不等式證明了任意階Riemann-Loiuville型分數階差分方程初值問題解對初值的連續(xù)依賴性。這個結果將文獻[8]中針對階α∈(0,1)的結果推廣到一般階α>0情形。

[1] 鄭祖庥. 分數微分方程的發(fā)展與應用[J]. 徐州師范大學學報 (自然科學版)，2008，26 (2):1-10.

[2] Mainardi F,Gorenfl R. On Mittag-Leffler-type Functions in Fractional Evolution Processes [J]. J Comput Appl Math, 2000, 118：283-299.

[3] Dartardar-Gejji V , Babakhani A.Analysis of a System of Fractional Differential Equations [J]. J Math Anal Appl, 2004, 293：511-522.

[4] Diethelm K, Ford N J. Multi-order Fractional Differential Equations and Their Numerical Solution [J]. Appl Math Comput, 2004,154:621-640.

[5] Abdeljawad T. On Riemann and Caputo Fractional Difference [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 62(3): 1602-1611.

[6] Atici F M , Eloe P W. A Transform Method in Discrete Fractional Calculus [J]. Integral and Finite Difference Inequalities and Applications, 2007, 2(2): 165-176.

[7] BastosN R O. Discrete-time Fractional Variational Problems [J]. Signal Process, 2011, 91(3): 513-524.

[8] 程金發(fā). 分數階差分方程理論[M]. 廈門：廈門大學出版社，2011.

[9] 程金發(fā). 分數(k,q)階差分方程的解[J]. 應用數學學報, 2011, 34 (3 )：313-330.

[責任編輯：張永軍]

Continuous Dependence of Solutions on Initial Data for a Class of Riemann-Loiuville Fractional Difference Equations

CAO Yu-tong, HE Chao, WANG Liang-long

(School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China)

This paper is concerned with a class of Riemann-Loiuville fractional difference equations. Volterra Summation Decomposition Equation is obtained by using of properties of fractional differences. Under the suitable conditions, the continuous dependence of solutions on initial data is derived by resorting to the discrete fractional Gronwall inequality and properties of the discrete Mittag-Leffler function. A new method is given to prove the uniqueness of solutions.

Riemann-Loiuville fractional difference equation； Volterra summation decomposition equation； discrete fractional Gronwall inequality； discrete Mittag-Leffler function.

2016-04-28

2016-07-15

國家自然科學基金(11401002，11301004)、安徽省自然科學基金(1508085QA01)、安徽省高校自然科學重點研究項目 (KJ2014A010)、安徽省高等教育質量工程項目(2015jyxm057)、安徽大學質量提升計劃項目(ZLTS2015052)資助。

曹玉童(1989 —)，男，安徽阜陽人，安徽大學數學科學學院2013級碩士研究生；研究方向：分數階差分方程。

O241.84

A

2096-2371(2016)04-0001-04