趙志棟 陳光紅

(寧波市鄞州中學(xué) 浙江 寧波 315100)

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輕彈簧之“困境”

趙志棟 陳光紅

(寧波市鄞州中學(xué) 浙江 寧波 315100)

本文由輕彈簧這一物理模型的力學(xué)特征和能量特征出發(fā)，引出輕彈簧模型在解題中可能導(dǎo)致的困境，再分別從經(jīng)典力學(xué)和狹義相對(duì)論的角度論證了困境出現(xiàn)的原因以及相應(yīng)的解決困境的方法．

輕彈簧 能量 困境 經(jīng)典力學(xué) 狹義相對(duì)論

輕質(zhì)彈簧(以下簡(jiǎn)稱輕彈簧)——即質(zhì)量等于零，且其彈力與形變之間滿足胡克定律的彈簧，是中學(xué)物理解題中常見的一類理想化模型．將普通彈簧簡(jiǎn)化為輕彈簧可以為解題帶來(lái)很大的方便，然而這個(gè)看似簡(jiǎn)單的模型本身也蘊(yùn)含著一定的“困境”，本文試淺析之．

1 輕彈簧的力學(xué)特征

輕彈簧由于其質(zhì)量為零，由牛頓第二定律可知，其兩端的作用力一定大小相等，方向相反．

【例1】如圖1所示，一重物m懸掛在輕彈簧下，再用一細(xì)繩固定在天花板上，整個(gè)裝置平衡靜止后，用火焰燒斷細(xì)繩．在繩斷開的瞬間，m的加速度為a(忽略空氣阻力)，則：

A．a(chǎn)

B．a(chǎn)=g，方向向下

C．a(chǎn)>g，方向向下

D．a(chǎn)

圖1

由于細(xì)繩剪斷瞬間作用于彈簧上端的力瞬間變?yōu)榱悖奢p彈簧所受合力一定為零可知，其下端受力也為零．因此彈簧對(duì)物體的拉力也瞬間變?yōu)榱?，從而物體只受重力，其加速度等于g．

2 輕彈簧的能量特征

當(dāng)輕彈簧兩端連接有質(zhì)量的物體時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)可以儲(chǔ)存彈性勢(shì)能．將彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能記作零，則在彈性限度內(nèi)，彈性勢(shì)能的與彈簧形變之間的關(guān)系滿足：

其中Ep為系統(tǒng)的彈性勢(shì)能，κ為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．

【例2】如圖2所示，小球自a點(diǎn)由靜止自由下落到b點(diǎn)時(shí)，與彈簧接觸，至c點(diǎn)時(shí)彈簧被壓縮到最短，若不計(jì)彈簧質(zhì)量和空氣阻力，在小球由a→b→c的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

圖2

A．小球和彈簧的總機(jī)械能守恒

B．小球的重力勢(shì)能隨時(shí)間均勻減少

C．小球在b點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大

D．小球到c點(diǎn)時(shí)小球重力勢(shì)能的減少量等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量

參考答案選A,D.

詳細(xì)解釋如下：以小球和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有重力和彈簧的彈力做功，符合機(jī)械能守恒的條件，因此，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A正確；小球下落過(guò)程只有重力與彈簧彈力做功，到c點(diǎn)時(shí)小球重力勢(shì)能的減少量等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量，故D正確．

類似以上參考答案的解釋在很多參考書中非常常見，但其中的諸如“小球的重力勢(shì)能”、“彈簧彈性勢(shì)能”這類說(shuō)法本身就是有問(wèn)題的．“小球的重力勢(shì)能”事實(shí)上是小球和地球組成系統(tǒng)的重力勢(shì)能，脫離了地球，重力勢(shì)能也便無(wú)從談起；“彈簧彈性勢(shì)能”事實(shí)上是小球、彈簧和地球組成系統(tǒng)的彈性勢(shì)能，沒(méi)有了小球或地球，彈簧的彈性勢(shì)能也無(wú)從談起．大多數(shù)情況下，對(duì)于題目中所述的某個(gè)物體的重力勢(shì)能我們都理解為物體與地球所組成系統(tǒng)的重力勢(shì)能；但如果將彈簧彈性勢(shì)能理解為彈簧自身所儲(chǔ)存的能量或理解為彈簧與其中一個(gè)與其連接的物體所共同具有的能量的話，都不是正確的理解，都會(huì)導(dǎo)致“困境”的出現(xiàn)．

3 輕彈簧之“困境”

困境一：機(jī)械能突變問(wèn)題．

【例3】情景如例1，試討論繩斷開前后小球和彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能變化情況．

讓我們先從彈簧的彈性勢(shì)能或彈簧與小球組成系統(tǒng)的彈性勢(shì)能角度出發(fā)來(lái)理解，當(dāng)然這也是常見的理解方式：

那么困境就出現(xiàn)了：那消失的彈性勢(shì)能去哪兒了呢？

困境二：功能原理失效問(wèn)題．

【例4】如圖3所示，有一質(zhì)量為M=2 kg的物體，其左端通過(guò)輕彈簧施一大小為30 N的水平恒力F.若彈簧的勁度系數(shù)為κ=100 N/m，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，求物體由靜止開始移動(dòng)2 m時(shí)的速度．(g取10 m/s2)

圖3

解法一：以彈簧和物體整體為研究對(duì)象，根據(jù)功能原理(外力和非保守內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的總功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量)知，恒力F和滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功等于系統(tǒng)的機(jī)械能增量，即

其中s為物體的位移，Δx為彈簧的形變量，代入數(shù)值后解得

v=7.25 m/s

解法二：由輕彈簧兩端力必大小相等，從而可對(duì)物體使用動(dòng)能定理，得

代入數(shù)值后解得

v=6.93 m/s

于是困境出現(xiàn)了：兩種解法都沒(méi)有錯(cuò)，那造成結(jié)果不同的原因又在哪兒呢？

困境三：研究對(duì)象選取不合理的困境．

【例5】一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為κ的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動(dòng)．試問(wèn)在一沿此彈簧長(zhǎng)度方向以速度u做勻速運(yùn)動(dòng)的參考系里觀察，此體系的機(jī)械能是否守恒，并說(shuō)明理由．

此題的參考答案在教師中引起了比較大的爭(zhēng)議．《物理教師》、《物理通報(bào)》等期刊上有教師專門就此題展開討論[1～4]，認(rèn)為守恒和不守恒的教師各有自己的依據(jù)，最后并沒(méi)有形成統(tǒng)一的意見．

困境出現(xiàn)：從數(shù)學(xué)推導(dǎo)的角度來(lái)看，幾位教師的推導(dǎo)都是正確的，那么這個(gè)體系的機(jī)械能究竟守恒還是不守恒呢？

4 似是而非的“困境”

4.1 該如何理解輕彈簧

從力學(xué)特征來(lái)看，輕彈簧能夠?yàn)榕c它連接的物體提供一種線性回復(fù)力——為此可以將輕彈簧想象成一種“場(chǎng)”，類似于引力場(chǎng)或者電場(chǎng)，不同的地方在于，后二者對(duì)物體提供的是一種與距離平方成反比規(guī)律的“回復(fù)力”．還有一個(gè)重要的不同——輕彈簧是沒(méi)有質(zhì)量的，而無(wú)論是引力場(chǎng)或者電場(chǎng)，都是有質(zhì)量的.那么問(wèn)題就來(lái)了：可以存在無(wú)質(zhì)量的場(chǎng)嗎？或者說(shuō)可以存在無(wú)質(zhì)量的物體(物質(zhì))嗎？如果一個(gè)物體(物質(zhì))沒(méi)有質(zhì)量，那我們還能稱它為物體(物質(zhì))嗎？我們?nèi)绾文軌蚋兄獰o(wú)質(zhì)量的物體的存在呢？

就輕彈簧而言，也許最后一個(gè)問(wèn)題很容易回答：我們可以通過(guò)輕彈簧提供的線性回復(fù)力來(lái)感知它的存在．于是從例1中可以看出，輕彈簧能夠提供線性回復(fù)力是有條件的，即只有當(dāng)其兩端都連接有質(zhì)量的物體時(shí)(細(xì)線燒斷之前)，它才可以提供線性回復(fù)力，其任意一端的物體斷開(細(xì)線燒斷之后)，則輕彈簧上的力也就馬上消失(減為零)．

力在空間的積累是為功，功是能量轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的量度．因此，在輕彈簧上的力消失后，其對(duì)外做功的本領(lǐng)立即喪失，能量也就無(wú)從談起了．也就是說(shuō)：我們討論彈簧的彈性勢(shì)能也是有條件的，條件與輕彈簧能夠提供線性回復(fù)力的條件相同——輕彈簧兩端必須連接有質(zhì)量的物體．既然如此，如例2中所討論的那樣，我們通常所說(shuō)的“彈簧的彈性勢(shì)能”所指的便既不是“輕彈簧自身的彈性勢(shì)能”，也不是“彈簧與小球(其中一個(gè)連接物)的彈性勢(shì)能”，而是“彈簧與其兩端連接物(組成系統(tǒng))的彈性勢(shì)能”．

4.2 走出“困境”

有了以上理解，例3～例5中所出現(xiàn)的“困境”也就迎刃而解．例3中，在細(xì)線斷開前，系統(tǒng)是有彈性勢(shì)能的，斷開后，就不存在討論彈性勢(shì)能的前提條件了．例4中的解法1討論了系統(tǒng)的彈性勢(shì)能，但由于輕彈簧只有一端連接物體，并不存在討論彈性勢(shì)能的前提條件，因此是錯(cuò)誤的；事實(shí)上，抽象的力要施予彈簧，必須是有質(zhì)量的物體才行(引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)等均有質(zhì)量)，也就是說(shuō)，要實(shí)現(xiàn)例4中的情景，彈簧的左端也必須連接質(zhì)量不為零的物體——如若其左端連接質(zhì)量為0.01 kg(可以為不為零的任意質(zhì)量)的光滑小物體(可以不光滑)，則無(wú)論用解法一還是用解法二求解，M物體獲得的速度都是6.93 m/s．例5中亦然，脫離了固定墻面去談?shì)p彈簧和小球系統(tǒng)的機(jī)械能相當(dāng)于只談小球的動(dòng)能，當(dāng)然不守恒，而且沒(méi)有什么討論的意義．而把墻面也計(jì)入輕彈簧、小球系統(tǒng)的話，機(jī)械能當(dāng)然是守恒的——而這其實(shí)也沒(méi)什么討論的必要．

4.3 相對(duì)論的視角

狹義相對(duì)論的相對(duì)性原理告訴我們：物理學(xué)在一切慣性參考系中都具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，也就是說(shuō)，所有慣性系對(duì)于描述物理現(xiàn)象都是等價(jià)的．因此在例5中，若系統(tǒng)在地面參考系(慣性參考系)看來(lái)其機(jī)械能守恒的話，在沿此彈簧長(zhǎng)度方向以速度u做勻速運(yùn)動(dòng)的參考系(亦是慣性參考系)看來(lái)便沒(méi)有理由不守恒——從這一角度看來(lái)，這道題目的參考答案的確是錯(cuò)了．

由狹義相對(duì)論的質(zhì)能方程E=mc2可知：若m=0，則E必然也為零．由于輕彈簧自身不具備質(zhì)量，自然也就無(wú)法儲(chǔ)存能量，只有連接了有質(zhì)量的物體之后，儲(chǔ)存能量才成為可能，因此“彈簧的彈性勢(shì)能”必然是指“彈簧與其所連接物體系統(tǒng)的彈性勢(shì)能”，脫離了它所連接的物體，彈性勢(shì)能只能是空談——這一點(diǎn)也與我們?cè)凇霸撊绾卫斫廨p彈簧”中從力、做功和能量的角度所得到的結(jié)論是一致的．

由質(zhì)能方程還可以看出，“輕彈簧”這一理想化的模型本身是有缺陷的，靜質(zhì)量為零的物體其速度必然為光速(光子)，不應(yīng)當(dāng)存在靜質(zhì)量為零而速度又是低速有限的物體，即輕彈簧不是物理學(xué)里的物體．

事實(shí)上，輕彈簧模型有著其天然的自我矛盾，即質(zhì)量為零且可以與物體發(fā)生相互作用——這一矛盾在例4中體現(xiàn)得尤為明顯．在例4中，導(dǎo)致功能原理失效的原因在于彈簧的形變由零變?yōu)棣的過(guò)程：在此過(guò)程中，彈簧的左端若施以恒力F，則彈簧會(huì)違反胡克定律，因此題干中的可以施以恒力F的假設(shè)本身就是自我矛盾的，自然因此假設(shè)根據(jù)功能原理而得出的結(jié)論也是錯(cuò)誤的；而一旦彈簧質(zhì)量不為零，施以恒力F就可以實(shí)現(xiàn)了，因此功能原理也就不會(huì)失效了．

盡管如此，輕彈簧作為一種理想化模型，在處理很多問(wèn)題，尤其是力學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)大大使問(wèn)題簡(jiǎn)化，并且對(duì)實(shí)際問(wèn)題是一種相當(dāng)好的近似，因此，輕彈簧的存在不僅是必要的，而且是有意義的．

5 一點(diǎn)思考

當(dāng)我們討論輕彈簧的能量特征時(shí)，必然不能脫離其兩端所連接的物體，這一點(diǎn)是命題教師首先需要明確的——否則就會(huì)出現(xiàn)或如例3中的能量突變困境；或如例4中的功能原理失效失效的困境；或如例5中由研究對(duì)象選取不合理所導(dǎo)致的困境．

1 李學(xué)生，師教民．對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷．物理通報(bào)，2014(9)：119～120

2 孟昭輝．運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解題的參照系問(wèn)題——對(duì)“對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷”的不同意見．物理教師，2015(2)：94

3 朱如曾．彈簧振子相對(duì)于運(yùn)動(dòng)慣性系的機(jī)械能不守恒——關(guān)于“對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷”的商榷．物理通報(bào)，2015(4)：100～102

4 師教民．答《彈簧振子相對(duì)于運(yùn)動(dòng)慣性系的機(jī)械能不守恒——關(guān)于“對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷”的商榷》．物理通報(bào)，2015(7)：115～118

2015-12-02)