章朝慶

（泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，江蘇泰州　225300）

滿秩分解與秩不等式

章朝慶

（泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，江蘇泰州225300）

矩陣的滿秩分解是矩陣分解中一類特殊的分解，即若A∈Rmr×n，則A可分解為一個(gè)列滿秩矩陣F與一個(gè)行滿秩矩陣G的乘積。文章給出了矩陣滿秩分解的一些特殊性質(zhì)及其證明，并應(yīng)用滿秩分解證明了四個(gè)秩不等式。

秩分解；標(biāo)準(zhǔn)型；矩陣

一般而言，一個(gè)矩陣的滿秩分解并不是唯一的，但是不同的分解之間有定理2所述的關(guān)系:

（ii）把（2）式代入GT(GGT)-1(FTF)-1FT，即得（3）式成立，證畢[1]。

同理可證，r=(BG)=r(B)，證畢。

證明由定理4即可證得，證畢[2]。

應(yīng)用滿秩分解證明矩陣秩數(shù)方面的某些定理，有時(shí)比較簡(jiǎn)捷，現(xiàn)試用此種方法給出四個(gè)定理的證明。

因?yàn)锳B=0，所以FGB=0

即r(A)+r(B)≤n，證畢。

證明先證右邊結(jié)論成立

則r(AB)=r(F1G1F2G2)=R(G1F2)

由于G1F2∈Rr1×r2

所以r(G1F2)≤min(r1,r2)

即r(AB)≤min(r1,r2)

再證左邊結(jié)論成立

因?yàn)閞(AB)=r(G1F2)

令Q1P2D,D∈Rss×s

所以r(Dr1×r2)≥s-(s-r1)-(s-r2)=r1+r2-s

即r(AB)=r(G1F2)=r(Dr1×r2)≥r1+r2-s，證畢。

定理8r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)

則r(ABC)=r((AF)(GC))≥r(AB)+r(BC)-r =r(AFG)+r(FGC)-r=r(AB)+r(BC)-r(B).證畢。

定理9r(A+B)≤r(A)+r(B)，r(A-B)≥r(A)-r(B)

比較（9）、（10）式，得r(A+B)≤r(A)+r(B)+s

即r(A+B)≤r(A)+r(B)

由r(A)=r(A-B+B)≤r(A-B)+r(B)

得r(A-B)≥r(A)-r(B)證畢[3].

[1]房月華，陳萍.矩陣滿秩分解及其方法[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（4）：16-18.

[2]陳大新.矩陣?yán)碚揫M].上海：上海交通大學(xué)出版社，1996.

[3]毛綱源.線性代數(shù)解題方法和技巧[M].長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)出版社，1987.

（責(zé)任編輯劉紅）

Rank Decomposition and Inequalities of the Rank

ZHANG Chao-qing

(Taizhou Polytechnic College,Taizhou Jiangsu 225300,China)

The Full Rank Decomposition of the Matrix is a special kind of decomposition.If A can be decom?posed into the product of a Column Full Rank Matrix(F)and a Row Full Rank Matrix(G).The paper provides analysis and proof of special properties of the Full Rank Decomposition of the Matrix,and proves four inequali?ties with th件報(bào)告系統(tǒng)的填報(bào)內(nèi)容設(shè)計(jì)件報(bào)告系統(tǒng)的填報(bào)內(nèi)容設(shè)計(jì)e Full Rank Decomposition.

rank decomposition;standard form;matrix

O151.2

A

1671-0142（2016）02-0048-02

章朝慶（1957-），女，江蘇如東人，副教授.