趙洪山， 郭雙偉， 高 奪

(華北電力大學(xué)(保定) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003)

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基于奇異值分解和變分模態(tài)分解的軸承故障特征提取

趙洪山， 郭雙偉， 高 奪

(華北電力大學(xué)(保定) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003)

為了有效提取軸承故障，提出了基于變分模態(tài)分解和奇異值分解降噪的故障特征提取方法。通過(guò)對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行變分模態(tài)分解，獲得其本征模態(tài)函數(shù)?；谇投戎笜?biāo)，選擇包含故障信息的本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。利用奇異值分解降噪技術(shù)對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行處理，提高信噪比。最后對(duì)降噪信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)提取故障特征頻率。與常見(jiàn)的故障特征提取方法相比，該方法能有效辨別滾動(dòng)軸承的典型故障，突出故障特征，提高滾動(dòng)軸承的故障診斷效果。

變分模態(tài)分解;奇異值分解;滾動(dòng)軸承;故障特征提取

軸承是機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的核心部件[1]，在功率傳遞的過(guò)程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，如新能源風(fēng)力發(fā)電機(jī)主軸承、齒輪箱的各級(jí)軸承等。一旦軸承發(fā)生故障，傳動(dòng)系統(tǒng)的正常運(yùn)行會(huì)受到極大影響。在軸承的故障中，元件表面損傷最為常見(jiàn)。軸承元件發(fā)生表面損傷后，會(huì)和與之配合的元件表面發(fā)生撞擊，產(chǎn)生頻帶很寬的脈沖力，覆蓋軸承的固有頻率，從而激起系統(tǒng)的高頻固有振動(dòng)，導(dǎo)致軸承故障信號(hào)的頻譜產(chǎn)生多個(gè)共振峰，共振峰中包含了故障信息。

共振解調(diào)法[2]通過(guò)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行窄帶濾波得到包含故障信息的故障頻帶，利用包絡(luò)解調(diào)進(jìn)行故障特征提取。該方法能有效提取滾動(dòng)軸承的局部故障特征，但若共振頻段選擇不合理，會(huì)造成故障特征無(wú)法提取，進(jìn)而影響故障診斷結(jié)果。小波變換[3]能夠?qū)φ駝?dòng)信號(hào)進(jìn)行分解，得到每一頻帶內(nèi)振動(dòng)信號(hào)的變化規(guī)律。該方法具有多分辨率的優(yōu)點(diǎn)，可以由粗到細(xì)地逐步觀察信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)故障特征的有效提取。但基函數(shù)與閾值的選擇對(duì)檢測(cè)結(jié)果有較大影響，對(duì)設(shè)計(jì)者的要求也較高。以Wingner-Ville分布為基礎(chǔ)的雙線性時(shí)頻分析方法也被應(yīng)用到故障特征的提取中[4-5]，該方法提供了時(shí)間域與頻率域的聯(lián)合分布信息，清楚地描述了信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的關(guān)系，具有很好的頻譜分辨率。但由于交叉項(xiàng)的存在，容易造成信息丟失與頻率混疊，不利于對(duì)瞬態(tài)信號(hào)的探測(cè)。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[6](Empirical Mode Decomposition, EMD)可以處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)，能自適合地將非平穩(wěn)信號(hào)分解為若干平穩(wěn)的本征模態(tài)函數(shù)(IMF)，克服了小波變換和自適應(yīng)時(shí)頻分析方法的不足，具有自適應(yīng)、正交性和完備性的特點(diǎn)，在故障特征提取方面受到廣泛關(guān)注[7-8]。然而，EMD方法本身存在著一些不足，如模態(tài)混疊[9]、存在端點(diǎn)效應(yīng)、受采樣頻率影響較大等[10]。對(duì)此，DRAGOMIRETSKIY等[11]提出一種自適應(yīng)信號(hào)處理新方法—變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition, VMD)，既保留了EMD對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)自適應(yīng)分解的優(yōu)點(diǎn)，又彌補(bǔ)了EMD方法的不足。

奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)本身具有極好的穩(wěn)定性和不變性。通過(guò)構(gòu)造信號(hào)的Hankel矩陣，并對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解，選取恰當(dāng)?shù)钠娈愔颠M(jìn)行信號(hào)重構(gòu)能有效地消除信號(hào)中的隨機(jī)成分，最大限度地保留有用信息，剔除無(wú)用信息，提高信號(hào)的信噪比。

本文結(jié)合變分模態(tài)分解(VMD)和奇異值分解提出一種新的軸承故障特征提取方法。故障信號(hào)經(jīng)VMD分解為若干IMF，基于峭度指標(biāo)，選取包含故障信息的IMF進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。利用SVD對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，最后對(duì)降噪信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)，提取軸承的故障特征。

1 變分模態(tài)分解(VMD)

變分模態(tài)分解 (VMD)是一種新的信號(hào)分解估計(jì)方法。在VMD算法中，每一個(gè)本征模態(tài)函數(shù)(IMF)均被視為調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)uk(t)：

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(1)

VMD的分解過(guò)程是一個(gè)變分問(wèn)題的求解過(guò)程。假設(shè)每個(gè)IMF具有有限帶寬，變分問(wèn)題可表示為尋求k個(gè)模態(tài)函數(shù)uk(t)，使得所有模態(tài)函數(shù)的估計(jì)帶寬之和最小，并且滿足各模態(tài)之和等于原始輸入信號(hào)f的約束條件。具體的分解步驟如下：

(1)對(duì)每一個(gè)模態(tài)分量信號(hào)uk(t)，利用Hilbert變換計(jì)算與之對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)，得到其單邊頻:

(δ(t)+j/πt)·uk(t)

(2)

(2)加入指數(shù)項(xiàng)e-jωkt調(diào)整每一種模態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)解析信號(hào)的預(yù)估中心頻率，將每個(gè)模態(tài)的頻譜轉(zhuǎn)移至基帶：

[(δ(t)+j/πt)·uk(t)]e-jωkt

(3)

(3)利用H1高斯平滑估計(jì)移頻后解析信號(hào)的帶寬，得到受約束的變分問(wèn)題如下：

s.t. ∑uk=f

(4)

式中：{uk}:{u1,u2,…uk}，{ωk}:={ω1,ω2,…ωk}

(4)引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘子算子λ(t)構(gòu)造擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式Γ(uk,ωk,λ):

Γ(uk,ωk,λ)=α∑k‖?t[(δ(t)+

(5)

通過(guò)反復(fù)迭代，尋找擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式的“鞍點(diǎn)”求解最小值，獲得最優(yōu)解。最優(yōu)解為本征模態(tài)函數(shù){uk}及各自的中心頻率{ωk}。

2 奇異值分解(SVD)

對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)序列{hi,i=1,2,…,N}，根據(jù)相空間重構(gòu)理論[12]可得到L×K階的Hankel矩陣：

(6)

式中：N為信號(hào)長(zhǎng)度，K=N-L+1，延時(shí)值為1，H為軌道矩陣。

軌道矩陣H經(jīng)奇異值分解得到：

H=USVT

(7)

式中：U、V為正交矩陣:VT為V的轉(zhuǎn)置；S為對(duì)角陣，S=diag(σ1,σ2,…σn)σ1,σ2,…σn為奇異值，V∈RK×K。

由奇異值理論知[13]：信號(hào)中的有用分量對(duì)應(yīng)前k個(gè)奇異值，噪聲分量對(duì)應(yīng)后面較小的奇異值。利用前k個(gè)奇異值進(jìn)行矩陣重構(gòu)可以在Forbeious范數(shù)意義下實(shí)現(xiàn)對(duì)H的最佳逼近，從而降低噪聲，提高信噪比。

奇異值的差分譜為相鄰兩奇異值的差值：

di=σi-σi+1,(i=1,2,…,t)

(8)

式中：t=min(L,K)-1。根據(jù)差分譜的定義知，兩個(gè)相鄰的奇異值相差愈大，在差分譜中對(duì)應(yīng)的峰值也愈大，所表現(xiàn)出的特征也愈明顯。選取合適的差分譜譜峰[14]對(duì)應(yīng)的奇異值對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪處理。由于差分序列的元素?cái)?shù)值較大，本文采用變量Sk表示差分譜，其計(jì)算公式如下:

(9)

3 基于VMD與SVD降噪的故障特征提取

3.1 VMD分解的優(yōu)點(diǎn)

EMD采用循環(huán)包絡(luò)篩分方法處理信號(hào)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)從高頻到低頻的自適應(yīng)劃分，本質(zhì)上是一組頻率由高到低的帶通濾波器。由于EMD算法本身的缺陷，在劃分信號(hào)時(shí)會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊，強(qiáng)噪聲時(shí)更加明顯。此外，模態(tài)混疊還會(huì)導(dǎo)致包絡(luò)解調(diào)的頻帶中產(chǎn)生大量無(wú)關(guān)頻帶，極不利于軸承故障特征的提取。VMD算法利用遞歸迭代計(jì)算變分模型最優(yōu)解來(lái)確定每個(gè)IMF的頻率中心與帶寬，IMF的頻率中心及帶寬在變分模型的迭代求解中不斷變化，自適應(yīng)地實(shí)現(xiàn)信號(hào)頻域剖分與各IMF的分離。每個(gè)模態(tài)分量的頻帶緊緊圍繞在中心頻率附近，不會(huì)出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，包絡(luò)解調(diào)時(shí)亦沒(méi)有無(wú)關(guān)頻帶，便于故障特征的提取。

3.2 峭度指標(biāo)對(duì)故障信號(hào)的篩選

軸承信號(hào)經(jīng)過(guò)VMD分解，故障信息被分解到IMF中。若要進(jìn)行故障特征提取，需選擇合適的指標(biāo)將包含故障信息的IMF篩選出來(lái)。

峭度被用來(lái)表示樣本的密度函數(shù)圖形頂峰的凸平度，其計(jì)算公式如下：

K=E(x-μ)4/σ4

(10)

式中:μ為信號(hào)x的均值；σ為信號(hào)x的標(biāo)準(zhǔn)差。

當(dāng)軸承處于正常運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，振動(dòng)信號(hào)的幅值分布近似于正態(tài)分布，其峭度值約等于3。信號(hào)中存在較多沖擊成分時(shí)，即包含較多故障信息時(shí)，信號(hào)的峭度會(huì)明顯變大[15]。峭度值愈大，信號(hào)中沖擊成分所占的比重愈多,故障特征信息也越易提取[16]。

3.3 算法步驟

基于變分模態(tài)分解和奇異值分解降噪進(jìn)行故障特征提取的具體步驟如下：

(1)對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行VMD分解，得到若干IMF。

(2)利用峭度指標(biāo)對(duì)沖擊信號(hào)的指示作用，計(jì)算不同IMF的峭度值，選擇峭度較大的IMF進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。

(3)對(duì)重構(gòu)信號(hào)的Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解。

(4)求取奇異值的差分譜,選擇合適的差分譜譜峰，利用其對(duì)應(yīng)的奇異值進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。

(5)對(duì)步驟4得到的信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)，確定故障是否發(fā)生，以及故障發(fā)生部位。

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

以美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的故障數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，對(duì)軸承進(jìn)行故障診斷，并判斷故障類(lèi)型及其發(fā)生的位置。

測(cè)試平臺(tái)包括驅(qū)動(dòng)電機(jī)、測(cè)力計(jì)、轉(zhuǎn)矩傳感器和電子控制裝置。電機(jī)轉(zhuǎn)軸由被測(cè)軸承支撐,兩端分別為驅(qū)動(dòng)端和風(fēng)扇端，軸承型號(hào)為：SKF6025-2RS。軸承的振動(dòng)信號(hào)由加速度傳感器采集,電機(jī)驅(qū)動(dòng)端和風(fēng)扇端的12點(diǎn)鐘方向(即徑向載荷方向)分別安裝一個(gè)加速度傳感器。故障則是通過(guò)電火花技術(shù)在外圈和內(nèi)圈上加工凹坑來(lái)模擬。

滾動(dòng)軸承試驗(yàn)裝置如圖1所示,圖中標(biāo)注了試驗(yàn)裝置的各個(gè)部件,三個(gè)安裝在不同位置的加速度傳感器依次編號(hào)為①，②，③,分別表示電機(jī)驅(qū)動(dòng)端的傳感器、電機(jī)風(fēng)扇端的傳感器、試驗(yàn)臺(tái)基座上的傳感器。

圖1 試驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)Fig.1Experiment platform

4.2 實(shí)驗(yàn)故障數(shù)據(jù)分析

試驗(yàn)采集的軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)波形與頻譜如圖2(a)和圖2(b)所示，此時(shí)轉(zhuǎn)速傳感器測(cè)得的驅(qū)動(dòng)端的轉(zhuǎn)速為 1 796 r/min，信號(hào)采樣頻率為12 000 Hz，采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為8 000，外圈故障特征頻率為106.5 Hz。

圖2 軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)的波形與頻譜Fig.2 Vibration signal waveform and spectrum of bearing outer ring fault

軸承外圈振動(dòng)信號(hào)VMD分解的各模態(tài)頻譜如圖3所示。從圖3可知，原始振動(dòng)信號(hào)經(jīng)VMD分解得到若干IMF。

圖3 外圈故障信號(hào)VMD分解各模態(tài)頻譜Fig.3 Vibration signal spectrum of each mode by VMD decomposition of the bearing outer ring fault

不同IMF頻率成分不同，每個(gè)IMF緊緊圍繞在某一頻率中心。圖3中各IMF分量的峭度值如表1所示。

表1 各IMF分量的峭度值Tab.1 The kurtosis of each IMF

由表1可知，IMF2和IMF3的峭度值較大，包含的故障信息較多。因而利用IMF2和IMF3得到重構(gòu)信號(hào)u(t),u(t)的波形和頻譜如圖4所示。

圖4 重構(gòu)信號(hào)u(t)的時(shí)域波形與頻譜Fig.4 Reconstructed signal u(t) waveform and spectrum

利用奇異譜分解對(duì)信號(hào)u(t)進(jìn)行降噪以提高信噪比。對(duì)信號(hào)u(t)信號(hào)的Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解，奇異值的分布如圖5所示。

圖5 信號(hào)u(t)軌道矩陣的奇異值Fig.5 Singular value of u(t) Hankel matrix

計(jì)算信號(hào)u(t)奇異值的差分譜，結(jié)合信號(hào)u(t)軌道矩陣的奇異值，利用前14個(gè)奇異值對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，獲得信號(hào)v(t)。信號(hào)v(t)的波形與頻譜如圖6(a)、圖6(b)所示。

與圖4(b)中的頻譜相比，可以觀測(cè)到經(jīng)過(guò)SVD降噪處理，無(wú)關(guān)噪聲頻帶被去除，有用信號(hào)的頻帶則被最大限度保留。經(jīng)SVD降噪處理信號(hào)和初始信號(hào)的信噪比如表2所示。

表2 初始信號(hào)與處理信號(hào)的信噪比Tab.2 The original and reconstructed signal-to-interference ratio

通過(guò)對(duì)比可知，信噪比獲得較大提高。

利用Hilbert變換對(duì)信號(hào)v(t)進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)，去除高頻振動(dòng)頻率成分，得到低頻包絡(luò)信號(hào)k(t)。低頻包絡(luò)信號(hào)k(t)的頻譜如圖6(c)所示。

圖6 信號(hào)v(t)的波形、頻譜、包絡(luò)譜Fig.6 Vibration signal waveform， spectrum and envelop spectrum of signal v(t)

轉(zhuǎn)軸驅(qū)動(dòng)端的轉(zhuǎn)速為1 796 r/min，轉(zhuǎn)頻為29.63 Hz。在圖6(c)中，頻率28.5 Hz的位置處存在峰值，十分接近理論轉(zhuǎn)頻29.63 Hz。軸承處于工作狀態(tài)時(shí)，滾子和滾道會(huì)產(chǎn)生輕微的相對(duì)滑動(dòng)，因而理輪轉(zhuǎn)頻與實(shí)際提取的轉(zhuǎn)頻存在細(xì)微差異。圖6(c)中的105 Hz處可觀測(cè)到明顯峰值，對(duì)應(yīng)軸承外圈的故障特征頻率。同時(shí)在210 Hz、315 Hz的位置也存在較為明顯的峰值，與故障特征頻率的二倍頻、三倍頻相對(duì)應(yīng)，和軸承外圈的故障特征相吻合。從圖6(c)可知，經(jīng)過(guò)VMD分解和SVD降噪處理，故障特征頻率及其倍頻變得非常突出，軸承的故障特征明顯。

圖7 軸承內(nèi)圈故障信號(hào)的波形、頻譜、包絡(luò)譜Fig.7 Vibration signal waveform, spectrum and envelop spectrum of bearing inner ring fault

利用同樣方法處理內(nèi)圈故障信號(hào)w(t),w(t)的波形與頻譜如圖7(a)和圖7(b)所示。此時(shí)，驅(qū)動(dòng)端的轉(zhuǎn)頻為1 794 r/min，理論轉(zhuǎn)頻為29.9 Hz，經(jīng)計(jì)算理論故障特征頻率為160 Hz。利用上述方法對(duì)信號(hào)w(t)處理得到的信號(hào)包絡(luò)譜如圖7(c)所示。

在圖7(c)中，頻率30 Hz、58.5 Hz、88.5 Hz處可觀測(cè)到較為明顯的峰值，分別對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)頻及其二倍頻與三倍頻。此外，頻率160.5 Hz處亦可觀測(cè)到明顯波峰，對(duì)應(yīng)著故障特征頻率。此外，在160.5 Hz附近的130.5 Hz和189 Hz處存在較為明顯的峰值，對(duì)應(yīng)著1倍轉(zhuǎn)頻的調(diào)制邊頻帶，與軸承內(nèi)圈的故障特征相符。

圖8 EMD分解后前3個(gè)IMF分量的頻譜Fig.8 Vibration signal spectrum of the first three IMF by EMD decomposition

4.3 與EMD分解的對(duì)比分析

采用EMD算法對(duì)上述內(nèi)圈故障信號(hào)w(t)進(jìn)行分析。取前3個(gè)對(duì)故障特征提取影響較大的本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行分析，這 3個(gè)IMF的時(shí)域波形與頻譜如圖8、圖9所示。

圖9 EMD分解的前3個(gè)IMF分量的包絡(luò)譜Fig.9 The envelop spectrum of the first three IMF by EMD decomposition

由圖8可知,與VMD分解得到的IMF相比，EMD分解得到的IMF分量會(huì)出現(xiàn)頻譜混疊，不同分量之間頻帶相差不明顯，而且會(huì)相互影響。

在圖9 EMD分解的IMF包絡(luò)譜中，可在故障特征頻率160.5 Hz、轉(zhuǎn)頻30 Hz及其三倍頻88.5 Hz處觀測(cè)到較為明顯的幅值，驗(yàn)證了本文提出方法在故障特征提取時(shí)的準(zhǔn)確性。但與VMD分解得到的包絡(luò)譜相比，故障特征頻率被大量無(wú)關(guān)頻帶包圍，不利于故障特征的識(shí)別，突出了本文提出方法的優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

針對(duì)軸承故障信號(hào)所在頻帶不易選擇和易受噪聲干擾的問(wèn)題，提出了基于變分模態(tài)分解(VMD)和奇異值分解降噪的軸承故障特征提取方法。該方法通過(guò)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行VMD分解獲得本征模態(tài)函數(shù)，利用峭度指標(biāo)對(duì)包含故障信息的本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行選擇，有效解決了共振解調(diào)提取故障頻率時(shí)最優(yōu)頻帶的選擇問(wèn)題。經(jīng)過(guò)SVD降噪，去除了背景噪聲的干擾。最后對(duì)降噪信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)提取故障特征，取得了良好的效果。

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Fault feature extraction of bearing faults based on singular value decomposition and variational modal decomposition

ZHAO Hongshan, GUO Shuangwei, GAO Duo

(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

In order to extract fault features of rolling bearings effectively, a method based on variational mode decomposition and singular value decomposition was proposed. The Intrinsic Mode Function (IMF) was obtained by variational mode decomposition. The IMF containing fault information was selected to reconstruct the signal according to the index of kurtosis. The singular value decomposition was used to reduce noise and increase the ratio of signal-to-noise. Then the fault features were extracted by using envelope spectrum analysis. Compared with common fault features extraction methods, the proposed method can distinguish typical faults, highlight fault features and improve diagnostic effect.

variational mode decomposition; singular value decomposition; rolling bearing; fault features extraction

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51277074)

2015-08-13 修改稿收到日期：2015-11-18

趙洪山 男，博士，教授，1965年生

郭雙偉 男，碩士，1989年生

TH17

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.027