樓 易，劉鵠然

(浙江科技學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，杭州 310023)

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密切接觸的非赫茲接觸應(yīng)力

樓 易，劉鵠然

(浙江科技學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，杭州 310023)

由于赫茲接觸理論只適用于兩曲面曲率不同的情形，當(dāng)兩曲面曲率相同時(shí)公式無效，必須采用新的方法。針對密切接觸曲面，提出密切接觸下的接觸應(yīng)力計(jì)算方法。首先把密切曲面展開成四階級數(shù)的形式，然后利用契貝謝夫正交多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成契貝謝夫級數(shù)的形式。根據(jù)接觸應(yīng)力與接觸位移的對應(yīng)關(guān)系，求出接觸應(yīng)力的分布規(guī)律，確定接觸區(qū)寬度等對應(yīng)參數(shù)。 又針對具體的橢圓形密切接觸曲面，舉例計(jì)算了接觸應(yīng)力的分布函數(shù)，用計(jì)算機(jī)圖形曲線描述了壓力分布的規(guī)律，探討了密切接觸區(qū)的形成機(jī)制和載荷性能。

彈性；密切接觸； 接觸應(yīng)力；非赫茲應(yīng)力

20世紀(jì)機(jī)械領(lǐng)域兩大劃時(shí)代學(xué)術(shù)成就是赫茲應(yīng)力和雷諾動(dòng)壓潤滑[1-2]。以往文獻(xiàn)一般研究已有相互接觸的曲面應(yīng)力，較少考慮改變接觸面本身，即只研究給定形狀下的接觸應(yīng)力[3-5]。本研究探討了密切曲面的接觸應(yīng)力計(jì)算問題,證明了這種方法創(chuàng)立的曲面在接觸應(yīng)力和接觸強(qiáng)度上的優(yōu)越性。

1 契貝謝夫正交多項(xiàng)式

契貝謝夫正交多項(xiàng)式是多項(xiàng)式中的一種，可用作計(jì)算平面接觸應(yīng)力，類似于數(shù)學(xué)中的傅里葉級數(shù)。零階、一階、二階直到四階的契貝謝夫正交多項(xiàng)式依次為：T0(t)=1，T1(t)=t2，T2(t)=2t2-1,T3(t)=4t3-3t,T4(t)=8t4-8t2+1。

2 密切接觸曲面的構(gòu)造

如果

Ri=0.5DW,

(1)

式(1)中:Ri為密切接觸軸承的滾珠半徑;DW為滾道的直徑。要讓曲率半徑相等，則滾珠的半徑要等于滾道直徑的一半，此時(shí)無法用赫茲接觸公式來計(jì)算，必須用密切接觸曲面來分析。

設(shè)相接觸表面是一個(gè)4次拋物線

y=k2x2+k4x4,

(2)

式(2)中 :k2、k4為4次拋物線的系數(shù)。設(shè)l為接觸區(qū)寬度，在四階接觸的情況下必有k2=0， 令曲線方程無量綱化：

(3)

壓力分布p(t)用契貝謝夫多項(xiàng)式表示，由于

(4)

式(4)中:a0～a4為壓力展開的契貝謝夫正交多項(xiàng)式的系數(shù)。

當(dāng)t=±1時(shí)， 1-t2=0。 故：

又因?yàn)門2(t)-T1(1)=2(t2-1)，T4(t)-T4(1)=(8t4-8t2+1)-(8-8+1)=8t2(t2-1)，故有：

(1-t2)p(t)=2a2(1-t2)+8a4t2(1-t2)，

(5)

(6)

換回實(shí)際有量綱的量：

(7)

式(7)是本研究最核心的公式。后面的參數(shù)確定、舉例計(jì)算、圖形繪制和結(jié)論分析都圍繞該公式。但式(7)只是一個(gè)通用公式，反映應(yīng)力變化規(guī)律，還涉及一系列參數(shù)，所以要先確定這些參數(shù)，并代入具體數(shù)字后才能描繪出來。

總壓力要通過對式(7)的積分來求得：

(8)

式(8)中的2個(gè)積分可分別計(jì)算，前1個(gè)積分：

所以總壓力

(9)

(10)

如果知道外力F和彈性系數(shù)θ，由式(10)求l，代回到式(7)就求得壓力分布規(guī)律。

(11)

式(11)中的k4要根據(jù)實(shí)際接觸的曲面形狀來確定，即根據(jù)實(shí)際曲面展開式的四階系數(shù)來確定，k4將在3.1中求解。由于相接觸的是2個(gè)曲面，還要考慮兩曲面四階系數(shù)的差值。

3 滾珠與橢圓滾道接觸的非赫茲應(yīng)力計(jì)算

以上只是推導(dǎo)，為了說明清楚，現(xiàn)以圓與橢圓的接觸為例。

3.1 滾珠的圓形截面的四階展開

為求式(11)中的k4，要根據(jù)實(shí)際接觸的曲面形狀來確定。分別求兩實(shí)際曲面展開式的四階系數(shù)。由于相接觸的是2個(gè)曲面，還要考慮兩曲面四階系數(shù)的差值，即通常稱四階誘導(dǎo)曲率。

由麥克勞林展開公式，任何曲線在原點(diǎn)可展為：

(12)

圓的方程：

(13)

當(dāng)x=0時(shí)，

y0=R。

對式(13)求導(dǎo)：

(14)

由式(13)和式(14)得

yy′=-x。

(15)

在原點(diǎn)x=0處，

(16)

對式(15)再求導(dǎo)：

y′2+yy″=-1。

(17)

在原點(diǎn)x=0處，

(18)

對式(17)再求導(dǎo)：

2y′y″+y′y″+yy?=0。

(19)

在原點(diǎn)x=0處，

y?0=0。

(20)

對式(19)再求導(dǎo)：

3y″2+4y′y?+yy(4)=0。

在原點(diǎn)x=0處，

(21)

把式(16)的一階導(dǎo)數(shù)、式(18)的二階導(dǎo)數(shù)、式(20)的三階導(dǎo)數(shù)、式(21)的四階導(dǎo)數(shù)值都代入式(12)(不考慮常數(shù)項(xiàng))得：

2017年11月，在滴滴成為ofo大股東后被派駐到ofo擔(dān)任高管的付強(qiáng)等人，全部被戴威“請”走了。一個(gè)被媒體反復(fù)描述的場景是，戴威沖著電話那頭的付強(qiáng)怒吼：“滴滴的人都給我離開ofo！”

(22)

式(22)中：上角標(biāo)(1)代表滾珠。

滾珠直徑取6.350 1 mm，比較式(22)與式(2)的系數(shù)可得：

(23)

式(23)即圓的四階展開式的系數(shù)。

3.2 橢圓形滾道的四階展開

橢圓滾道的展開如圖1所示。同時(shí)，為了用t代替式(2)中的x，η代替式(2)中的y， 式(2)所表示的按有量綱坐標(biāo)的曲線變成按無量綱的曲線，曲線的變化形式如圖2所示，未來接觸區(qū)的寬度在-1和1之間，而不是-a和a之間，曲線更陡了，反映了曲線的基準(zhǔn)坐標(biāo)改變后的坐標(biāo)變換對曲線形式的影響。

圖1 按有量綱的實(shí)際四階曲線Fig.1 Real four-order curve with dimension

圖2 坐標(biāo)變換后按無量綱的理論四階曲線Fig.2 Theoritical four-order curve without dimension after transformation

橢圓的方程為：

(24)

由式(24)可得:

(25)

對式(25)求導(dǎo)：

(26)

(27)

對式(27)式求導(dǎo)：

(28)

在原點(diǎn)x=0處，

對式(28)求導(dǎo)：

-2y′y″-y′y″-yy?=0，

(29)

在原點(diǎn)x=0處，

y?0=0。

對式(29)求導(dǎo)：

3y″2+4y′y?+yy(4)=0。

在原點(diǎn)x=0處，

設(shè)橢圓在長半軸處的展開式：

(30)

式(30)中：上角標(biāo)(2)代表橢圓。

兩個(gè)曲面的差曲面

(31)

由式(31)可知，圓與橢圓實(shí)現(xiàn)密切接觸,兩曲面四階展開式的系數(shù)差(誘導(dǎo)系數(shù))

圖3 密切包裹時(shí)情況Fig.3 Situation of close contact

圓和橢圓都展開了，相應(yīng)的系數(shù)就有了。因二階系數(shù)相等，相互抵消，所以無法用赫茲公式。它們之間的包裹情形如圖3所示，在且僅在接觸點(diǎn)曲率相等，過了接觸點(diǎn)兩曲線逐漸分開。這反映了橢圓滾道滾動(dòng)軸承中滾珠與滾道直接接觸的實(shí)際接觸狀況，可以大大改善接觸負(fù)載。

4 選取材料進(jìn)行計(jì)算

內(nèi)圈滾道和鋼球的材料均選取為鍛鋼，借用常用的接觸系數(shù)ZE=189.8 MPa來求彈性系數(shù)，其量綱為MPa。設(shè) E1，E2是彈性模量，μ1，μ2,為泊松比是無量綱的。則：E1=E2=206 GPa，μ1=μ2=0.3。

因?yàn)?/p>

故

θ=1.77×10-5。

圖4 接觸應(yīng)力分布曲線Fig.4 Curve of contact stress contribution

式(8)中，F(xiàn)、θ、k4均已求出，因此,可以畫出接觸應(yīng)力分布曲線(圖4)。與二階接觸的接觸應(yīng)力不同的是，最大接觸應(yīng)力不在正中，而是在旁邊，有兩個(gè)極值關(guān)于y軸對稱。兩個(gè)極值大小相等。

5 密切接觸與非密切接觸的比較

假定F、θ不變，改變曲面參數(shù)，比較二階接觸(k2不為0)、普通四階接觸(k2、k4均不為0)、四階密切接觸(k2等于0)時(shí)接觸應(yīng)力最大值與接觸區(qū)的差別。

二階接觸時(shí)最大壓強(qiáng)：

普通四階接觸帶寬度：

普通四階接觸時(shí)的最大壓強(qiáng):

pmax=2θ-1(k2+k4la2)l=0.84×103(MPa)。

6 結(jié) 語

通過以上計(jì)算可以得出，用改變接觸體的接觸表面形狀來改善接觸狀況是可行的，密切接觸面的應(yīng)力要用非赫茲接觸應(yīng)力的方法來計(jì)算，可以使密切接觸體的接觸面積比以往高副的接觸面積大大增加。密切接觸體的接觸面的接觸應(yīng)力比以往的常規(guī)接觸曲面大為減少。課題組在研究中曾解決了如何使高副達(dá)到密切接觸的問題[6]，本研究解決了密切高副的接觸應(yīng)力計(jì)算問題，為下一步解決密切高副的潤滑等其他問題打下了基礎(chǔ)。

[1] KOMORI T, ARGA Y, NAGATA S,et al. A new gears profile having zero relative curvature at many contact points(logix tooth profile)[J].Journal of Mechenical Design,1990, 112(3): 430.

[2] KOMORI T. A new gear profile of relative curvature being zero at contact points[C]∥Proceeding of International Conference on gearing. Beijing :CMCC,1988: 230-236.

[3] FENG X Y,WANG A Q, LEE L. Study on the design principle of the Logix gear tooth profile and the selection of its inherent basic parameters[J].International Journal of Advanced Manufacture Technology,2004, 24(11):789.

[4] FENG X Y, WANG A Q, LEE L ,et al. Study for the forming principle of Logix gear tooth profile and its mesh performance [J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002,41(增刊1):91.

[5] DOONER D B. On the three laws of gearing [J]. Journal of Mechanical Design, 2002, 124(4):733.

[6] LIU H R.The extreme efficiency of the new model in milling of complicated surfaces[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2013, 67(9)：2765.

Contact stress of non-Hertz in close contact

LOU Yi, LIU Huran

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

Hertz contact theory can be applied to the cases when the two curvatures are different. Thus if the curvatures of the contact surfaces are identical, the formula is invalid. For the close contact surface, the contact stress calculation method under close contact is proposed. First, the close surface is expanded into the form of fourth-order series, and then converted into the Chebyshev series by the Chebyshev orthogonal polynomial. According to the correspondence between the contact stress and the contact displacement, the contact stress distribution law is determined, and the corresponding parameters such as contact width are determined. The distribution function of contact stress is calculated by the close contact between ellipse and circular surface. The distribution of pressure distribution is described by computer graphics curve. The forming mechanism and load performance of close contact area are discussed.

elasticity; close contact; contact stress; non-Hertz stress

10.3969/j.issn.1671-8798.2016.05.003

2016-02-23

清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目( SKLTKF14A06)；華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(DMETKF2015016)

樓 易(1959— )， 男，浙江省杭州人，副教授，碩士，主要從事機(jī)械原理、材料等研究。

TH123.4;TH133.33

A

1671-8798(2016)05-0350-07