孫翠先

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

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函數(shù)在謂詞邏輯符號(hào)化中的應(yīng)用

孫翠先

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

針對(duì)不同個(gè)體域，用實(shí)例討論了謂詞邏輯中命題符號(hào)化時(shí)函數(shù)的引入、函數(shù)的作用以及謂詞和函數(shù)的區(qū)別，并給出了錯(cuò)誤使用函數(shù)的例子，分析了產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。

個(gè)體域；謂詞邏輯；函數(shù)；命題符號(hào)化

0 引言

將自然語(yǔ)言中的命題用邏輯符號(hào)表示成謂詞公式，即符號(hào)化，也稱(chēng)作翻譯。謂詞是用來(lái)刻畫(huà)個(gè)體詞性質(zhì)及個(gè)體詞之間相互關(guān)系的詞[1]，謂詞邏輯符號(hào)化時(shí)，經(jīng)常需要引入函數(shù)，而函數(shù)是值域?yàn)閭€(gè)體域的映射。

謂詞邏輯是數(shù)理邏輯的重要部分，而數(shù)理邏輯在“離散數(shù)學(xué)”課程中起著非常重要的作用。數(shù)理邏輯用抽象的符號(hào)表達(dá)各種推理，很多思維過(guò)程可以用謂詞符號(hào)化，使之能進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。

命題符號(hào)化及推理一直是“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)研究的熱門(mén)問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]研究了符號(hào)化時(shí)量詞與聯(lián)結(jié)詞的搭配，文獻(xiàn)[3]討論了同一命題在不同個(gè)體域上可以有不同的符號(hào)化形式，文獻(xiàn)[4]舉例說(shuō)明了謂詞的選用影響翻譯，文獻(xiàn)[5]給出了關(guān)于量詞交換的條件。本文將通過(guò)實(shí)例討論謂詞符號(hào)化時(shí)函數(shù)所起的作用，以及如何恰當(dāng)?shù)厥褂煤瘮?shù)。謂詞符號(hào)化本身沒(méi)有唯一標(biāo)準(zhǔn)，能使謂詞公式簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確是唯一的目的。

1 定義

設(shè)D為個(gè)體域，它是個(gè)體詞組成的集合，可以是有限集，也可以是無(wú)限集。

定義1 稱(chēng)D×D×…×D到D的一個(gè)映射叫作n元函數(shù)(D≠Φ)，函數(shù)用小寫(xiě)英文字母表示。

設(shè)f(x1，x2，…，xn)是一個(gè)n元函數(shù)，從定義1可知，f的定義域?yàn)镈×D×…×D=Dn，值域?yàn)镈。

定義2 稱(chēng)D×D×…×D到V={0，1}的一個(gè)映射叫做n元謂詞(D≠Φ)，謂詞用大寫(xiě)英文字母表示。

設(shè)P(x1，x2，…，xn)是一個(gè)n元謂詞，從定義2可知，它不是命題，因?yàn)椴荒艽_定其真值。只有當(dāng)x1，x2，…，xn取定D×D×…×D=Dn一組個(gè)體時(shí)，謂詞P就轉(zhuǎn)化為命題，此時(shí)具有真假意義，它的值不是0就是1，這里，0=假，1=真。謂詞P的定義域?yàn)镈×D×…×D=Dn，值域?yàn)閂={0，1}。

2 命題符號(hào)化

以下給出實(shí)例，并將命題翻譯成謂詞公式，從中體現(xiàn)函數(shù)的作用，同時(shí)區(qū)別函數(shù)和謂詞是兩個(gè)完全不同的概念。

2.1 公式中含有一元函數(shù)，考慮兩個(gè)不同的個(gè)體域

命題1 存在二階方陣A，使得A×A=A2=I。

將命題1翻譯成謂詞公式，涉及一元謂詞和一元函數(shù)，其中“=”需引入謂詞，運(yùn)算“A2”需引入函數(shù)。為此取字頭E表示“相等”，令謂詞E(x)等于二階單位陣I，令函數(shù)s(x)=x2。符號(hào)化為?AE(s(A))。

若不引入函數(shù)，直接令謂詞E(x)：x2等于二階單位陣I，符號(hào)化為?AE(A)，這時(shí)不能體現(xiàn)命題1內(nèi)在的邏輯關(guān)系，掩蓋了命題所要表達(dá)的矩陣運(yùn)算。

命題2 方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

將命題2翻譯成謂詞公式時(shí)，涉及二元謂詞和一元函數(shù)，其中“=”“>”需引入二元謂詞，運(yùn)算“x3-4x2+1”需引入函數(shù)，同時(shí)指派常量。為此取字頭E表示“相等”，令謂詞E(x，y)：x=y，G表示“大于”，令G(x，y)：x>y，令函數(shù)f(x)=x3-4x2+1，常量a：0，常量b：1。

符號(hào)化為?x(G(x，a)∧G(b，x)∧E(f(x)，a))。

這里個(gè)體域D是所有實(shí)數(shù)組成的集合，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中零點(diǎn)存在定理很容易證明x的存在性，這里不再重述，但x的精確值很難求出。因?yàn)樵贒內(nèi)存在x，即公式?x(G(x，a)∧G(b，x)∧E(f(x)，a))存在一個(gè)解釋?zhuān)蛊湔嬷禐?，因此公式是真命題?？梢钥闯龆^詞是用來(lái)刻畫(huà)個(gè)體詞之間相互關(guān)系的，對(duì)個(gè)體詞指派后它有真值。而這里的函數(shù)描述了個(gè)體詞的運(yùn)算，無(wú)論如何指派，其無(wú)真假意義。只有借助函數(shù)，才能將x3-4x2+1符號(hào)化，深刻解釋命題描述是一元三次方程的根。

至于x的精確值沒(méi)有給出，懷疑公式真值為1，也可以理解。下面借助Matlab軟件給出零點(diǎn)的精確值和存在性。

命令：>>solve('x^3-4*x^2+1')

根：ans=

1/6*(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)+32/3/(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)+4/3

-1/12*(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)-16/3/(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)+4/3+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)-32/3/(404+12*i*687^(1/2))^(1/3))

-1/12*(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)-16/3/(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)+4/3-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(404+12*i*687^(1/2))^(1/3)-32/3/(404+12*i*687^(1/2))^(1/3))

命令：>>ezplot('x^3-4*x^2+1'，[0，1])，[0，1]內(nèi)圖形。

零點(diǎn)存在圖見(jiàn)圖1。

圖1 零點(diǎn)存在圖

2.2 公式中含有二元函數(shù)，考慮兩個(gè)不同的個(gè)體域

將命題3翻譯成謂詞公式，涉及二元謂詞和二元函數(shù)，其中“正數(shù)ε”“n>N”“|Sn-s|<ε”，“正整數(shù)”需引入謂詞，而運(yùn)算“|Sn-s|”需引入函數(shù)。為此，取lessthan和greaterthan的字頭L和G表示“小于”和“大于”。令謂詞L(x，y)：xy，I(x)：x是在正整數(shù)，函數(shù)f(x，y)=|x-y|。

符號(hào)化為?ε(G(ε，0)→?N?n((I(N)∧G(n，N))→L(f(Sn，s)，ε)))。

可以看出二元謂詞是描述個(gè)體詞之間相互關(guān)系的，對(duì)個(gè)體詞指派后它有真值。而這里的函數(shù)描述了個(gè)體詞間的運(yùn)算，無(wú)論如何指派，其無(wú)真假意義。只有借助二元函數(shù)，才能將|Sn-s|符號(hào)化，因?yàn)檫\(yùn)算|Sn-s|不是聯(lián)結(jié)詞。

由命題4的翻譯可以看出，這里的函數(shù)m(x，y)：x×y是一個(gè)二元運(yùn)算，它具體的運(yùn)算規(guī)則是在個(gè)體域D中進(jìn)行的，對(duì)不同個(gè)體域D，函數(shù)運(yùn)算規(guī)則不同。同樣是乘法，在命題1中指矩陣相乘，在命題4中指向量的向量積。

2.3 一般地，公式中可以含有多元函數(shù)

命題5 方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等陣P1，P2，…，Pl，使得A=P1P2…Pl。

這里個(gè)體域D是所有n階矩陣組成的集合，其中“是方陣”“是初等陣”“是可逆”和“=”需引入謂詞，“乘積”需引入函數(shù)。為此，取字頭M表示“是方陣”、R表示“是可逆”、J表示“是初等陣”、E表示“相等”。令M(x)：x是方陣；R(x)：x是可逆的；J(x)：x是初等陣；E(x)：x=y，令函數(shù)f(x1，x2，…，xl)=x1，x2，…，xl。

符號(hào)化為?A((M(A)∧R(A))??P1?P2…?

Pl(J(P1)∧J(P2)∧…∧J(Pl)∧E(A，f(P1，P2，…，Pl))))。

在個(gè)體域D內(nèi)，應(yīng)用線(xiàn)性代數(shù)中矩陣的初等變換很容易證得。公式的真值為1，因此公式是真命題。

函數(shù)符號(hào)與高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)不同，主要體現(xiàn)在個(gè)體域與定義域上。個(gè)體域是個(gè)體名稱(chēng)集合，指量詞的論域[6]，可以是世間萬(wàn)物，如下面的命題。

命題6 麗麗的哥哥是體操教練。

命題6翻譯成謂詞公式，涉及一元謂詞和一元函數(shù)，其中“是體操教練”需引入謂詞，“麗麗的哥哥”需引入函數(shù)。為此，取字頭T表示“是體操教練”。令T(x)：x是體操教練，b(x)：x的哥哥，常項(xiàng)a：麗麗。符號(hào)化為T(mén)(b(a))。

這里個(gè)體域D是人類(lèi)集合，公式T(b(a))具有真值，因?yàn)辂慃惖母绺缈赡苁求w操教練，也可能不是體操教練，只能選一。

可見(jiàn)個(gè)體域D可以是宇宙一切，而高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)，其定義域只能是實(shí)數(shù)集合。由此函數(shù)符號(hào)與高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)不同。

2.4 構(gòu)造函數(shù)時(shí)易出現(xiàn)的問(wèn)題

不考慮個(gè)體域，函數(shù)可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，下面用兩個(gè)例子加以說(shuō)明。

命題7 設(shè)A，B是任意兩個(gè)事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

將命題7翻譯成謂詞公式，涉及二元謂詞和一元、二元、三元函數(shù)，其中“=”需引入謂詞，涉及的運(yùn)算需引入函數(shù)。為此，取字頭E表示“=”。令E(x，y)：x=y；φ(t)：計(jì)算t的概率；f(x，y)=x∪y；g(x，y)=xy；h(x，y，z)=x+y-z。

符號(hào)化為?A?BE(φ(f(A，B))，h(φ(A)，φ(B)，φ(g(A，B)))。

此謂詞符號(hào)化錯(cuò)誤在于個(gè)體域發(fā)生了變化，量詞約束的變量A，B是隨機(jī)事件，因而個(gè)體域自然是所有隨機(jī)事件組成的集合。而函數(shù)φ(t)的值域是[0，1]，前后不一致。與定義矛盾。

命題8 在xoy平面內(nèi)，存在函數(shù)u(x，y)，使得du(x，y)=(x+2y)dx+(2x+y)dy。

將命題8翻譯成謂詞公式，涉及一元謂詞和二元函數(shù)，其中“=”需引入謂詞，“du(x，y)”“(x+2y)dx+(2x+y)dy”需引入函數(shù)。為此，取字頭E表示“=”。令E(x，y)：x=y，f(t)=“計(jì)算t的全微分”，g(x，y)=(x+2y)dx+(2x+y)dy。

符號(hào)化為?x?y?u(x，y)E(f(u(x，y))，g(x，y))。

此謂詞符號(hào)化錯(cuò)誤在于兩個(gè)個(gè)體域，量詞約束的變量x，y和u(x，y)分別是實(shí)數(shù)和二元函數(shù)，因而x，y的個(gè)體域自然是實(shí)數(shù)的集合，函數(shù)f(t)的個(gè)體域是二元函數(shù)的集合。一個(gè)謂詞公式，解釋在兩個(gè)不同的個(gè)體域中，產(chǎn)生了矛盾。

3 結(jié)語(yǔ)

本文討論了“離散數(shù)學(xué)”課程中謂詞邏輯符號(hào)化時(shí)函數(shù)的應(yīng)用，將一般命題在謂詞邏輯中符號(hào)化是教學(xué)的難點(diǎn)。數(shù)學(xué)中很多概念、定理都不能死記硬背，只有學(xué)生對(duì)這些概念有更深刻的理解，才能抽象出謂詞公式，而數(shù)理邏輯的學(xué)習(xí)能培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力和嚴(yán)格的邏輯推理能力。

[1] 耿素云，屈婉玲.離散數(shù)學(xué)[M].修訂版.北京：高等教育出版社，2004：58.

[2] 張微.數(shù)理邏輯中謂詞邏輯推理錯(cuò)誤的分析[J].合肥學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，22(4)：1-7.

[3] 王敏.數(shù)理邏輯中的命題符號(hào)化的幾個(gè)值得注意的問(wèn)題[J].科技信息，2010(9)：196.

[4] 劉云霞.數(shù)理邏輯翻譯中的幾個(gè)因素[J].天中學(xué)刊，2003(4)：24-25.

[5] 朱壽華.關(guān)于分析中的命題演算[J].揚(yáng)州師院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1989，9(4)：13-18.

[6] 孫吉貴，楊鳳杰，歐陽(yáng)丹彤，等.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002：58.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

The Application of Functions in the Symbolization of Predicate Logic

SUN Cui-xian

(Department of Basic Science Teaching， Tangshan University， Tangshan 063000， China)

Based on different object domains and some specific examples， the author of this paper discusses the introduction and operation of functions， and the difference between predicates and functions in the symbolization of predicate logic propositions， and illustrates the improper use of functions and its causes.

object domain； predicate logic； function；symbolization of propositions

孫翠先(1963-)，男，河北豐南人，教授，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究。

O141.1

A

1672-349X(2016)03-0006-03

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2016.06.002