宋秋艷,宋述剛

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

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非零初始條件線性系統(tǒng)的Legendre多項(xiàng)式模型降階方法

宋秋艷,宋述剛

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

討論了非零初始條件下線性系統(tǒng)的模型降階問題，并給出了一種基于Legendre正交多項(xiàng)式的時(shí)間域模型降階算法。該方法首先將系統(tǒng)的狀態(tài)變量在正交多項(xiàng)式空間中進(jìn)行展開，然后由狀態(tài)方程得到展開系數(shù)的簡單遞推式，接著對其正交化，求得投影矩陣，通過正交投影變換得到降階系統(tǒng)。由該方法得到的降階系統(tǒng)可以匹配原始系統(tǒng)輸出變量一定數(shù)量的正交多項(xiàng)式展開系數(shù)，從而保證了降階的精度。最后，通過2個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了該算法的有效性。

模型降階；Legendre多項(xiàng)式；投影方法

模型降階這一思想到現(xiàn)在已有40多年的歷史。簡而言之，模型降階就是在某種情況下將一個(gè)較大的復(fù)雜系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似的較小系統(tǒng)的過程。模型降階是一種有效的降低動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性的技術(shù)。該類技術(shù)能夠減少數(shù)據(jù)的存儲量和運(yùn)算量，降低大型復(fù)雜系統(tǒng)的理論分析難度，加速系統(tǒng)的模擬計(jì)算，同時(shí)在一定的誤差范圍內(nèi)保持系統(tǒng)的某些重要屬性。模型降階方法已被成功地應(yīng)用于許多工程應(yīng)用領(lǐng)域和其他學(xué)科的分支中，如大規(guī)模集成電路模擬、自動(dòng)化控制和機(jī)械工程等[1～3]。自模型降階方法被提出以來，已經(jīng)發(fā)展出多種方法，其中最主要的2類分別是Krylov子空間類方法和基于奇異值分解的平衡截?cái)嗄Ｐ徒祪r(jià)方法。

Krylov子空間方法是投影類模型降階方法，該類方法數(shù)值穩(wěn)定，算法實(shí)現(xiàn)簡單，并且計(jì)算量較小，受到很多科技工作者的青睞，但其沒有比較理想的誤差估計(jì)結(jié)果；平衡截?cái)嗄Ｐ徒惦A方法可以直接得到降階模型的誤差估計(jì)結(jié)果，并能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是該類方法在降階過程中需要求解大規(guī)模的Lyapunov方程，運(yùn)算量較大，計(jì)算復(fù)雜度比較高，制約其應(yīng)用的廣泛性。近些年來，由平衡截?cái)喾椒ㄅc投影類方法結(jié)合形成新型模型降階方法成為研究熱點(diǎn)之一。

近年來，基于正交多項(xiàng)式(包括Chebyshev正交多項(xiàng)式、Legendre正交多項(xiàng)式和Laguerre正交多項(xiàng)式等)的模型降階方法也受到了廣泛的關(guān)注。這類算法的核心思想是首先將系統(tǒng)的狀態(tài)變量在以正交多項(xiàng)式為基底的空間中進(jìn)行展開，然后由系統(tǒng)的狀態(tài)方程求得狀態(tài)變量的多項(xiàng)式展開系數(shù)，最后通過該展開系數(shù)構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)列正交矩陣對原始系統(tǒng)進(jìn)行降階。由此得到的降階系統(tǒng)一般都能夠匹配原始系統(tǒng)的輸出函數(shù)在正交多項(xiàng)式張成的空間中一定數(shù)量的展開系數(shù)。該類方法是一種時(shí)間域模型降階方法，已被成功地應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)以及一些特殊結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模型降階中[4～7]。

傳統(tǒng)的模型降階方法，在降階過程中一般都只考慮系統(tǒng)的輸入輸出性態(tài)，忽略初始條件的影響，或者為了簡便假設(shè)初始條件為零，這樣，使得原始系統(tǒng)的初始信息遭到破壞，給降階系統(tǒng)帶來不可預(yù)測的結(jié)果[8, 9]。因此，傳統(tǒng)的模型降階方法對非零初始條件的系統(tǒng)一般不太適用。基于此，筆者針對非零初始條件的線性系統(tǒng)，提出一種基于Legendre正交多項(xiàng)式的時(shí)間域模型降階方法。

1 Legendre正交多項(xiàng)式

定義1 多項(xiàng)式:

稱為Legendre多項(xiàng)式。

性質(zhì)1 Legendre多項(xiàng)式在區(qū)間[-1,1]上滿足如下正交性：

性質(zhì)2 對Legendre多項(xiàng)式，遞推公式(1)成立：

(1)

其中, P0(t)=1,P1(t)=t。

Legendre多項(xiàng)式Pi(t)可以展開為如下的冪級數(shù):

(2)

式中, fij為冪級數(shù)tj的展開系數(shù)。

將式(2)帶入式(1)，可得:

(3)

比較式(3)兩邊關(guān)于t的各次冪的系數(shù)，可得：

任意一個(gè)可積函數(shù)x(t)均可以在Legendre正交多項(xiàng)式基底下近似展開：

(4)

由文獻(xiàn)[10] 可知，可測函數(shù)的正交多項(xiàng)式展開在Lebesgue意義下是一致收斂的，且正交多項(xiàng)式的近似展開在最小平方誤差意義下是最優(yōu)的，因此，相對低價(jià)的正交多項(xiàng)式近似可以達(dá)到較高的精度。

可以將最小二乘法與Legendre正交多項(xiàng)式相結(jié)合來計(jì)算函數(shù)x(t)的冪級數(shù)展開系數(shù)xi。將式(2)代入到(4)中，比較兩邊t的各次冪的系數(shù)，有:

其中, αj的值可由Legendre多項(xiàng)式的正交性求得:

在實(shí)際應(yīng)用中，可以用文獻(xiàn)[11] 中復(fù)雜度為O(NlogN)的快速算法來計(jì)算函數(shù)x(t)的前N個(gè)Legendre正交多項(xiàng)式展開系數(shù)。

2 基本算法

下面，筆者將給出非零初始條件下線性系統(tǒng)的基于Legendre正交多項(xiàng)式的模型降階方法的具體過程。

考慮如下單輸入單輸出線性系統(tǒng)：

(5)

其中, A∈Rn×n;b,c∈Rn;x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量; u(t),y(t)∈R分別是系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量;n為系統(tǒng)的維數(shù)。

為得到原始系統(tǒng)(5)的降階系統(tǒng)，首先將系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)和輸入變量u(t)近似展開為：

(6)

(7)

其中,hi∈Rn,ui∈R分別為x(t)和u(t)的展開系數(shù)向量。

將式(6)和(7)代入式(5)，有:

整理得:

比較兩端常數(shù)項(xiàng)和ti(i=1,2,…,r-2)所對應(yīng)的系數(shù)，并忽略高階項(xiàng)tr-1，最終可得:

(8)

式中,h0為給定的初始條件x0。

由遞推式(8)便可求得狀態(tài)變量x(t)的展開系數(shù)向量hi(i=1,2,…,r-1)。

(9)

3 數(shù)值算例

下面，筆者通過2個(gè)數(shù)值算例來驗(yàn)證上述模型降階方法的有效性。

例1 考察一個(gè)實(shí)際的大氣風(fēng)暴軌跡的地球大氣模型[3]，由形如系統(tǒng)(5)的598階微分動(dòng)力系統(tǒng)來描述，其初始條件為x0=[0,0,…,0,1]T。

對該系統(tǒng)采用基于Legendre正交多項(xiàng)式的模型降階方法降至16階，原始系統(tǒng)與降階系統(tǒng)關(guān)于輸入函數(shù)u(t)=e-0.5tsin10t的瞬態(tài)響應(yīng)及其相應(yīng)的誤差如圖1、圖2所示。

圖1 例1的瞬態(tài)響應(yīng)

圖2 例1中降階模型的相對誤差

例2 考慮形如系統(tǒng)(5)的1006階微分動(dòng)力系統(tǒng)[3]，其中:

A=diag{A1,A2,A3,A4}

A3=diag{-1,-2,…,-1000}

對該系統(tǒng)采用基于Legendre正交多項(xiàng)式的模型降階方法降至20階，原始系統(tǒng)與降階系統(tǒng)關(guān)于輸入函數(shù)u(t)=sint的瞬態(tài)響應(yīng)及其相應(yīng)的誤差如圖3、圖4所示。

圖3 例2的瞬態(tài)響應(yīng)

圖4 例2中降階系統(tǒng)的絕對誤差

由以上2個(gè)數(shù)值算例的模擬結(jié)果可以看出，基于Legendre正交多項(xiàng)式的模型降階方法得到的低階模型對原始模型有很好的近似效果。由于考慮了初始條件，該方法對于非零初始條件的線性系統(tǒng)是有效的。

4 結(jié)語

傳統(tǒng)的模型降階方法往往忽略初始條件，使得降階模型的精度無法保證。針對帶非零初始條件的線性系統(tǒng)，提出了一種基于Legendre正交多項(xiàng)式的模型降階方法。該方法不僅考慮了初始條件，并且降階過程簡單高效，數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性?；谡欢囗?xiàng)式的模型降階方法是一類時(shí)間域的模型降階方法，該類方法一般與系統(tǒng)的輸入函數(shù)有關(guān)，如何削弱該類方法對輸入函數(shù)的依賴性，擴(kuò)展其應(yīng)用是值得進(jìn)一步研究的問題。

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[編輯] 洪云飛

2016-06-26

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11201039)。

宋秋艷(1989-)，女，碩士生，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究工作；通信作者：宋述剛，教授，2712281782@qq.com。

O231

A

1673-1409(2016)28-0001-05

[引著格式]宋秋艷,宋述剛.非零初始條件線性系統(tǒng)的Legendre多項(xiàng)式模型降階方法[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(28)：1～5.