常祖河

摘 要： 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是明辨方向的指南針。通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，有利于提高學(xué)生思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。特殊化是解題中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，合理運(yùn)用特殊化解題，可達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 特殊化 教學(xué)應(yīng)用

一、特殊化的基本概念

特殊化是指從對(duì)象的一個(gè)給定集合，轉(zhuǎn)而考慮包含在這集合內(nèi)的較小的集合。例如，我們從多邊形轉(zhuǎn)而考慮正n邊形，再?gòu)恼齨邊形轉(zhuǎn)而考慮等邊三角形。通俗地說(shuō)，就是當(dāng)解決一個(gè)無(wú)窮性的問(wèn)題時(shí)，可以從特殊值、特殊位置或特殊圖形入手，將可變對(duì)象轉(zhuǎn)為特定的具體對(duì)象，從這些特殊情況探索解決原問(wèn)題的方法。有時(shí)也可引進(jìn)新的條件限制，增加題設(shè)條件，得出一般問(wèn)題的特殊情形，使得新問(wèn)題容易解決。

表面來(lái)看，給一個(gè)一般性問(wèn)題增加一些限制條件并不困難，然而由于思考角度不同，不同的人通過(guò)不同的條件限制會(huì)得出不同的特殊化命題。那么，如何判斷孰優(yōu)孰劣呢？如果在解決特殊化命題過(guò)程中摸索出了解決一般性命題的方法，得到了思維的啟發(fā)，那么這樣的特殊化是好的，反之，如果特殊化命題解決了，而一般化命題依然無(wú)從下手或者解決不到最后一步，這樣的特殊化就是失敗的。所以，利用特殊化這一數(shù)學(xué)思想策略的關(guān)鍵在于找到一個(gè)最佳的特殊化問(wèn)題。特殊化強(qiáng)調(diào)“特例的選擇不是任意的，是有針對(duì)性、對(duì)解題有意義的”。

龐加萊說(shuō)：“沒(méi)有無(wú)窮，不會(huì)產(chǎn)生帶有普遍性的科學(xué)?！睕](méi)有特殊化，人們就不會(huì)從有窮過(guò)渡到無(wú)窮，數(shù)學(xué)不會(huì)產(chǎn)生，其他科學(xué)亦不會(huì)產(chǎn)生。假如我們能從一種情形學(xué)到適應(yīng)于其他一些情形的某些東西，那么這種情形就是有啟發(fā)性的，并且適用范圍越廣，其啟發(fā)性就越強(qiáng)。此外，特殊化有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、抽象思維能力，使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)。

二、特殊化在解題中的應(yīng)用

特殊化強(qiáng)調(diào)一種“退”的策略，即“退一步海闊天空”。所謂“退”，可以從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從一般退到特殊，從抽象退到具體，從空間退到平面。如華羅庚先生所說(shuō)：“退到最原始而不失去重要性的地方，把簡(jiǎn)單的、特殊的問(wèn)題搞清楚了，并從這些簡(jiǎn)單的問(wèn)題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發(fā)現(xiàn)一般問(wèn)題的結(jié)論，或者得到化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題的途徑，從而再‘進(jìn)到一般性問(wèn)題上來(lái)?！?/p>

特殊化是一條“經(jīng)濟(jì)思維之路”，當(dāng)人們理解了特殊對(duì)象的特征后，便沒(méi)有必要再對(duì)其他對(duì)象一一證明其具有此性質(zhì)。只要明確了對(duì)象是特殊的，我們便可斷言它定具有此性質(zhì)。這樣，對(duì)一個(gè)一般對(duì)象的認(rèn)識(shí)（在其特征方面）實(shí)際上包含了對(duì)諸多特殊對(duì)象在相關(guān)方面的認(rèn)識(shí)，即一等價(jià)于多，有限推廣到無(wú)限，從而節(jié)省了人的思維力。

掌握特殊化方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力：一般成立推出特殊必定成立，特殊成立則一般卻未必成立，特殊不成立推出一般必定不成立。特殊化方法還能培養(yǎng)學(xué)生的合情推理、大膽猜想的能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神。

三、培養(yǎng)學(xué)生特殊化能力的方法

特殊化策略涉及理解問(wèn)題的過(guò)程，尤其是在初讀題目后，學(xué)生要想方設(shè)法解決問(wèn)題，怎么更好地走出第一步？對(duì)中學(xué)生而言，考慮到他們的心理發(fā)展水平和思維成熟度，使用特殊化策略更利于解題。具體來(lái)說(shuō)，教師可以采取如下方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)和思考：

（一）舉一些特殊例子。舉例子可以從學(xué)生的學(xué)習(xí)或日常生活出發(fā)，讓學(xué)生有熟悉感，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，這樣就便于學(xué)生理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，思路清晰。

（二）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，用人或物模擬問(wèn)題的情境，比較清楚問(wèn)題的具體條件，使語(yǔ)言敘述的問(wèn)題變得生動(dòng)具體，便于理解。例如，對(duì)于行程問(wèn)題，學(xué)生可以用一些實(shí)物模擬問(wèn)題的情境，比較清楚地把握其中的數(shù)量關(guān)系的變化；學(xué)習(xí)映射概念的時(shí)候，可以講老師點(diǎn)名的方法，不數(shù)人數(shù)，而是看教室里面幾張椅子上是空的。這種形象直觀的形式利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（三）作圖。數(shù)形結(jié)合是常用的數(shù)學(xué)思想，這項(xiàng)具體化的策略，可以幫助審題、分析和檢驗(yàn)。從小學(xué)應(yīng)用題里的線段圖，到中學(xué)里的幾何圖形和實(shí)物簡(jiǎn)圖，再到高中的三視圖，說(shuō)明作圖在每個(gè)階段都是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。作圖輔助想象力的發(fā)展，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的能力之一。

（四）簡(jiǎn)化。這種策略是針對(duì)敘述比較復(fù)雜的問(wèn)題而言的。簡(jiǎn)化掉無(wú)關(guān)的因素，也可以把大問(wèn)題變化為幾個(gè)小問(wèn)題，使因果關(guān)系更清晰。省略也是一種基本做法，即除去不適用的資料，減少解題活動(dòng)時(shí)的干擾。簡(jiǎn)化題目的目的是使學(xué)生的思路比較清楚，有時(shí)題目中會(huì)故意給出沒(méi)有用的數(shù)據(jù)，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化就可以去偽存真，去粗取精，留下解題的關(guān)鍵要素。

（五）理解問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。好的解題者顯然較傾向于根據(jù)數(shù)量關(guān)系和解決問(wèn)題的程序分類，而較差的解題者則傾向于用內(nèi)容分類。這些結(jié)果顯示了好的解題者對(duì)問(wèn)題的概念性理解比較差的解題者為佳。

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