梁海濱 遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院

微元法求旋轉(zhuǎn)體體積探討

梁海濱 遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院

微元法是定積分求平面圖形旋轉(zhuǎn)體體積的基本方法，合理選取微元和積分區(qū)間是用定積分解決問題的關(guān)鍵。

微元法 定積分 旋轉(zhuǎn)體 體積

前言

定積分的所有應(yīng)用問題，一般總可按“分割、求和、取極限”三個(gè)步驟把所求的量表示為定積分的形式. 可以抽象出將所求量U（總量）表示為定積分的方法——微元法，這個(gè)方法的主要步驟如下：

(1)由分割寫出微元：根據(jù)具體問題，選取一個(gè)積分變量，例如X為積分變量，并確定它的變化區(qū)間，任取的一個(gè)區(qū)間微元，求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間微元上部分量的近似值，即求出所求總量U的微元；

在應(yīng)用中，旋轉(zhuǎn)體的類型很多，將對(duì)幾種常見類型的旋轉(zhuǎn)體給予討論，介紹解決各種旋轉(zhuǎn)體體積的方法。

1.平面圖形繞坐標(biāo)軸所形成的旋轉(zhuǎn)體體積（以X軸為旋轉(zhuǎn)軸為例）

1.1坐標(biāo)軸是平面圖形的一條邊

1.2坐標(biāo)軸在平面圖形的外部

取X為積分變量X∈[0，1]

于是,所求繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

2.平面圖形繞與坐標(biāo)軸平行直線所形成的旋轉(zhuǎn)體體積（以與Y軸平行線X=c為旋轉(zhuǎn)軸為例）

2.1 旋轉(zhuǎn)軸在平面圖形的外部(注：無論旋轉(zhuǎn)軸在圖形的左側(cè)或右側(cè)微元不變)

2.2旋轉(zhuǎn)軸在平面圖形的邊上(注：無論旋轉(zhuǎn)軸在圖形的左側(cè)或右側(cè)微元不變)

則所求體積為

例題略

3.小結(jié)

微元法是定積分求旋轉(zhuǎn)體體積的一般方法，但在用微元法求體積時(shí)會(huì)遇到各種情況。其中旋轉(zhuǎn)軸分為坐標(biāo)軸和與坐標(biāo)軸平行情況；旋轉(zhuǎn)軸與平面圖形的位置分為內(nèi)部、外部、邊上三種情況。這些類型的關(guān)鍵就是找對(duì)積分區(qū)間和微元。

[1]吳贛昌.微積分（經(jīng)濟(jì)類）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2012-07.

[2]王培吉，王尚戶，王嘉謀. 基于微元法旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算[J]. 高師理科學(xué)刊, 2010-01.

梁海濱（1978-），女，遼寧人，遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)課教研部副教授，碩士，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。