盛俊杰， 張玉慶， 李樹勇， 陳花鈴

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所， 四川綿陽621900； 2.西安交通大學機械工程學院， 西安710049；3. 機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安710049)

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溫度對介電彈性體材料致動器動態(tài)性能的影響

盛俊杰1， 張玉慶1， 李樹勇1， 陳花鈴2，3

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所， 四川綿陽621900； 2.西安交通大學機械工程學院， 西安710049；3. 機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安710049)

介電彈性體材料(Dielectric Elastomer，簡稱DE)具有很強的粘彈性，由于DE材料的粘彈性具有時間依賴關系，從而使其應力-應變也具有時間依賴性，因此動態(tài)變形中，其能量轉換、宏觀變形等特性也必然受到粘彈性的影響。同時，DE的粘彈性和介電常數具有很強的溫度依賴性。通過引入溫度對介電常數、彈性模量和粘彈性松弛的影響，并結合DE的粘彈性力學模型和歐拉-拉格朗日方程，構建了不同環(huán)境溫度場下的DE系統(tǒng)的動力學控制方程。最后，通過數值模擬，分析了溫度對DE材料致動器動態(tài)性能的影響。研究結果能為DE致動器的結構設計和動態(tài)變形控制提供理論指導。

介電彈性體材料；動態(tài)性能；溫度

引言

介電彈性體材料(Dielectric Elastomer，簡稱DE)是一種新型的智能電活性聚合物(Electroactive Polymer，簡稱EAP)。相比于其他EAP材料，DE材料獨有的特點是變形大、彈性模量低、機電耦合效率高、工作溫度范圍寬和頻率范圍廣(0.1～20 kHz)。DE致動器指的是在DE材料上下表面涂有柔性電極的三明治結構，在電極上施加電壓后，DE材料上產生的Maxwell電場力和電致伸縮電應力的共同作用擠壓材料，結果使其面積增大、厚度減小，并逐漸成為近幾年國內外的研究熱點之一[1-3]。近年來，研究學者設計出很多種基于DE材料的致動器和換能器結構，并嘗試將DE應用于航空航天、醫(yī)學與智能機器人等領域[2-3]。

在工程實際應用中，對DE材料施加的載荷常常是周期性的電壓或者應力，如微泵結構、各種運動驅動器、能量循環(huán)收集器等[3]，然而現有研究對DE材料在交變載荷下的動力學變形行為以及力電耦合特性的研究尚沒有得到足夠的重視。近兩年來，學者們才開始了對DE材料動態(tài)特性的研究。哈佛大學的Zhu從熱動力學出發(fā)，通過擾動方法研究了DE氣球[4]的非線性振動特性；蘭州大學的Yong等人[5]建立了一套DE動態(tài)分析模型，研究了厚球殼的穩(wěn)定性；浙江大學的Li[6]研究了純剪切共振器的力電耦合性能及其動態(tài)性能；Federal University of Goiás的Soares等[7]利用打靶法對預拉伸后的超彈性平面薄膜的動態(tài)方程進行了求解，并與有限元求解方法進行了對比；最近TU Darmstadt的Xu[8]利用拉格朗日方程得到了平面DE的動態(tài)運動方程，并研究了動態(tài)載荷下的位移響應和穩(wěn)定性，但是沒有考慮預應力的影響。

由于DE材料的粘彈特性具有時間依賴關系，從而使其應力-應變也具有時間依賴性，因此動態(tài)變形中，其能量轉換、宏觀變形等特性也必然受到粘彈性的影響。但在現有的研究中，關于DE材料交變電場作用下受粘彈性影響的應變能及電能的轉換規(guī)律對DE材料的動態(tài)變形及穩(wěn)定性影響等缺少研究。同時，溫度會在很大程度上影響DE材料的粘彈性松弛，而溫度又會對DE材料的力學性能和介電性能產生影響，因此溫度也會對粘彈性DE材料的動態(tài)性能產生影響。

從歐拉-拉格朗日方程出發(fā)，結合DE材料的粘彈性力學模型，得到了平面粘彈性DE材料致動器試件的動力學運動控制方程。最后，通過得到的控制方程，分析了溫度對DE材料致動器動態(tài)性能的影響。

1DE致動器的動力學方程

1.1歐拉-拉格朗日方程

DE致動器是在DE材料的上下兩面涂上柔性電極后的一種三明治結構，施加電壓Φ后，DE材料的上、下表面積累了一定的電荷±Q，電荷之間產生的Maxwell電場力和電致伸縮電應力的共同作用擠壓材料，結果使其面積增大、厚度減小。

圖1DE致動器的工作原理圖

假設DE致動器的中心位置在振動過程中沒有變化，即中心點的坐標一直為(0,0,0)，在動態(tài)電場作用下DE致動器的變形是時間的函數λ(t)，那么可以得出致動位置和參考位置在整個坐標系中的關系式：

(1)

DE致動器系統(tǒng)的歐拉-拉格朗日方程可以寫為：

(2)

式中：L為拉格朗日函數；K為DE系統(tǒng)的動能(單位：J)；U為DE系統(tǒng)的勢能(單位：J)。

1.2DE系統(tǒng)的動能和勢能

DE系統(tǒng)的動能K可以表示為[8]：

(3)

式中：ρ為材料密度(單位：kg·m-3)。

DE系統(tǒng)的勢能是系統(tǒng)的自由能密度函數對體積的積分，而系統(tǒng)的自由能包含兩個方面，Helmholtz自由能和電勢能[9]。

此刻，丁達的身體被一層泡泡包裹著，這原本是困住宴西園的泡泡。原來，在喵星飛鼠大使發(fā)射導彈的這幾秒內，壺天曉條件反射般地把原本包裹著宴西園的泡泡罩在了丁達體外。壺天曉和鏡心羽衣一個采集原料，一個織補泡泡，這一切都在瞬間完成，像是沒經過大腦指揮似的，連他們自己都驚訝不已。不過，導彈爆炸的沖擊力仍然在防護泡上炸開一個大洞，在丁達的后背上留下爆燃后的燒灼痕跡。過了好一會兒，泡泡上的大洞才逐漸愈合?；蛟S是出于對云織、獵影星族的恐懼，喵星飛鼠大使愣在那里，不敢輕舉妄動了。

作為一種同時具有彈性和粘性的DE材料，在變形的過程中必然會產生粘彈性松弛。DE材料的粘彈性可用一系列的彈簧和阻尼來進行描述，即所謂的流變模型[10-11]，如圖2所示。流變模型由兩部分組成：網鏈A是一個彈簧，用來表征超彈性的可逆變形；網鏈B由一個彈簧和一個粘壺串聯組成的Maxwell模型，用來表征不可逆的非彈性變形。在這種Maxwell模型中，網鏈B所承受的應力和粘壺應力相等，體系總的應力為兩個網鏈的應力之和，體系的總應變?yōu)閮蓚€網鏈應變之積。

圖2DE材料的粘彈性模型

由于在研究DE材料致動器的動力學特性時，其在平衡位置附近的變形不大，不需要考慮大變形下的應變剛化現象，所以，我們采用Neo-Hookean模型來表示DE致動器系統(tǒng)彈性應變能，于是，系統(tǒng)的自由能為：

(4)

式中：μA(T)為A彈簧的剪切模量(單位：Pa)；μB(T)為B彈簧的剪切模量(單位：Pa)；ξ為粘壺的變形量；c0為材料的比熱(單位：J·K-1·kg-1)；T為絕對溫度(單位：K)；T0為參考溫度(單位：K)；ε0εr(λ,T)=ε為DE材料的介電常數；ε0為真空介電常數，取值8.85×10-12F·m-1。εr(λ,T)是溫度和變形的函數，可以表示為[12]：

b(2λ-2)2+c(2λ-2)3)

(5)

基于各向同性假設，可以得到DE材料致動器的勢能：

(6)

整理以上公式，得到DE系統(tǒng)的動力學控制微分方程：

(7)

(8)

2溫度對DE致動器動態(tài)性能的影響

溫度不僅影響DE的介電常數和彈性模量，而且對DE的粘彈性松弛時間有很大的影響，因而必然會對DE致動器的動態(tài)性能產生一定的影響。

圖3為不同溫度下DE平面致動器的幅頻響應曲線。由圖可見，在T=295 K下，DE致動器的共振頻率為405 Hz，此時的最大振幅為1.417；在T=305 K時，DE致動器在358 Hz時共振，其最大振幅為1.528；溫度升高到315 K的時候，DE致動器在314 Hz下具有最大的振幅值1.618。也就是說，隨著溫度升高，DE致動器的共振頻率下降，而最大振幅卻在上升，這是因為溫度升高使DE材料的彈性模量減小的緣故。

圖3不同溫度下DE材料的幅頻響應曲線

圖4為三種溫度295 K、305 K和315 K下，DE致動器的總的應變比λ(圖4中(a)、(c)、(e))和非彈性變形ξ(圖4中(b)、(d)、(f))隨時間的變化關系，其中電場激勵頻率f=330 Hz。在330 Hz下，當溫度從295 K升高到315 K的時候，DE致動器的振動越來越劇烈，振幅越來越大，表現出周期性的振動特性；由于DE材料的松弛時間在幾十秒的數量級，比電場變化周期大很多，因而此時的粘彈性松弛影響比較小，如圖4(b)、圖4 (d)和圖4 (f)所示。

圖4三種溫度下DE致動器的總的變形和非彈性變形(330 Hz)

圖5為295 K、305 K和315 K溫度下粘彈性DE材

料的相平面圖(圖5(a)～圖5(c))和龐加萊映射圖(圖5(d)～圖5(f))?？梢郧逦乜闯?，激勵頻率f=330 Hz時，三種溫度下的相位圖均形成了封閉了曲線，同時，對應溫度下的龐加萊映射圖中的點集都有規(guī)律的分布在一條封閉環(huán)曲線上，代表著它們的運動是擬周期運動[14]。

3結束語

在歐拉-拉格朗日方程的基礎上，研究了溫度對DE系統(tǒng)非線性動態(tài)性能的影響，包括：幅頻曲線、變形響應曲線和龐加萊映射圖。溫度升高后，系統(tǒng)的共振頻率減小，最大振幅會增加。在295 K、305 K和315 K溫度下，DE在共振頻率附近的振動都是穩(wěn)定的，同時溫度升高后，滯后會越來越明顯，此時具有比較明顯的能量損耗產生。

在DE動力學運動控制方程中引入了粘彈性的影響，并考慮了溫度對介電性能和力學性能的影響，借助建立的粘彈性運動控制方程，可以合理地對DE進行結構設計，有效地控制其振動變形、抑制其失效現象發(fā)生。因此，研究成果具有重要的實際應用價值。

圖5不同溫度下粘彈性DE材料的相平面圖和Poincaré映射圖(330 Hz)

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Effect of Temperature on the Dynamic Performance of a Dielectric Elastomer Actuator

SHENGJunjie1,ZHANGYuqing1,LIShuyong1,CHENHualing2,3

(1.Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, China;2.School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;3.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an 710049, China)

Dielectric elastomers (DEs) have strong viscoelasticity. Because of their viscoelasticity, DEs are able to produce a large time dependent electromechanical deformation. In the current study, the Euler-Lagrange equation is used to characterize the influence of temperature on the dynamic electromechanical deformation by taking into account temperature dependent permittivity and elastic modulus of DE. Then, the numerical results are present to investigate the time-dependent dynamic performance, phase diagram, and Poincare’ map associated with the viscoelastic dissipative process. The dynamic response has strong temperature and frequency dependencies, which may guide the design of high-performance DE Actuator and the control of its dynamic deformation.

dielectric elastomer; dynamic performance; temperature

2016-03-27

國家自然科學基金項目(11402246)

盛俊杰(1986-),男,山東單縣人,高級工程師,博士,主要從事智能材料與結構方面的研究,(E-mail)scu2005sjj@163.com;

陳花鈴(1954-),女,陜西韓城人,教授,博導,博士,主要從事智能材料與結構、機械振動與噪聲控制理論與技術方面的研究,(E-mail)hlchen@mail.xjtu.edu.cn

1673-1549(2016)04-0016-05

10.11863/j.suse.2016.04.04

TB381;TB122

A