☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室　陳志江

在一場(chǎng)“算”宴中求簡(jiǎn)明道——2016年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)高三一模試題運(yùn)算分析

☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室陳志江

運(yùn)算是指在運(yùn)算律的指導(dǎo)下對(duì)具體的數(shù)、式進(jìn)行變形演繹的過(guò)程，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)的三大基本能力之一（運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯思維能力），我國(guó)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程一直將運(yùn)算作為其主要內(nèi)容.目前雖然教學(xué)中大家都很重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)，但是學(xué)生運(yùn)算差的問(wèn)題卻依然存在，甚至還很突出.2016年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)高三一模四市聯(lián)考落下帷幕，絕大部分學(xué)生反映來(lái)不及做，因?yàn)橛泻芏嘀袡n題運(yùn)算量大.本次考試可謂是一場(chǎng)“算”宴，回顧學(xué)生運(yùn)算中的不足與錯(cuò)誤，細(xì)細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的求“簡(jiǎn)”意識(shí)不夠，如果能把這些教訓(xùn)化成以后解題的經(jīng)驗(yàn)，那就在失敗中成長(zhǎng)了.筆者曾在文1中對(duì)備課組長(zhǎng)提出進(jìn)行考試分析的建議，本文是從“運(yùn)算”角度進(jìn)行分析的一例，求“簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)觀念是一個(gè)永恒的話題，而在運(yùn)算中如何求“簡(jiǎn)”，本文試圖通過(guò)具體題目的解答分析來(lái)作點(diǎn)探究，在此與同行探討.

一、在用圖中求“簡(jiǎn)”

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)學(xué)解題中如果我們能有效地利用圖形，回避運(yùn)算，特別是考試中，就可以簡(jiǎn)捷地把問(wèn)題處理好，會(huì)大大節(jié)省時(shí)間.

解析：設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），可得B（0，y0）和直線MA的方程y-y0=-（x-x0），將直線MA的方程與直線y=x聯(lián)立可解得.由點(diǎn)M在函數(shù)的圖像上，可得從而M■→A·M■→B=-2.

盡管本題難度不是很大，大部分同學(xué)都能解出（全市實(shí)測(cè)難度系數(shù)為0.84），但求解中涉及求直線方程、兩直線交點(diǎn)、向量的坐標(biāo)表示、向量數(shù)量積運(yùn)算、代換消元等運(yùn)算，還是有一定的運(yùn)算量.不少學(xué)生最后求得結(jié)果為2，運(yùn)算出錯(cuò)，可謂前功盡棄，即使求對(duì)，也花了不少時(shí)間.當(dāng)然有很多同學(xué)注意到點(diǎn)M的任意性，采用了特殊化的方法，簡(jiǎn)化運(yùn)算，取點(diǎn)M為（2，4），則B（0，4），然后仿上過(guò)程計(jì)算得A（3，3），再求出M■→A·M■→B的結(jié)果，但仍有一定計(jì)算量.本題如果學(xué)生熟悉函數(shù)圖像（如圖1），從圖形入手，利用直線MA與直線y=x垂直，取點(diǎn)M（2，4）后即可觀察得A（3，3），再求出M■→A·M■→B，那么本題即可“秒殺”.

圖1

例2（第10題）若一個(gè)鈍角三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊之比為m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____.

分析：本題考查正弦定理或余弦定理、不等式相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)等，學(xué)生得分并不理想（難度系數(shù)為0.52），絕大部分同學(xué)都是走運(yùn)算一條路.

解法1：不妨設(shè)角A，B，C從小到大成等差數(shù)列，其對(duì)應(yīng)邊依次為a，b，c，則B=60°.若用正弦定理做，則），可得m∈（2，+∞）.

解題中不少學(xué)生由于角A的范圍出錯(cuò)而出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤答案.

解法3：同樣本題若能有效用圖（如圖2），則觀察即可得答案，當(dāng)C=90°時(shí)，m=2，由于是鈍角三角形，故C> 90°，這樣C點(diǎn)向B點(diǎn)移動(dòng)，那么就增大了，故可得m∈（2，+∞）.

圖2

二、在引元中求“簡(jiǎn)”

動(dòng)態(tài)問(wèn)題是考試中的熱點(diǎn)，往往需要引入變量，我們要在客觀分析動(dòng)因的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)問(wèn)題的切入點(diǎn)，要把引入變量與后續(xù)運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)思考，對(duì)運(yùn)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)有一個(gè)透視，只有這樣才能簡(jiǎn)化求解.

例3（第11題）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A、B，若A恰為線段OB的中點(diǎn)，則圓心C到直線l的距離為_(kāi)_______.

分析：本題引入變量主要有兩種方法：一為直線l的斜率k，二是點(diǎn)A（或B）的坐標(biāo).

解法1：設(shè)動(dòng)直線l為y=kx，代入圓方程得（1+k2）x2-6x+5=0，由A恰為線段OB的中點(diǎn)，知xB=2xA，用求根公式求得xA、xB，代入得關(guān)于k的方程，算得，再求得圓心C（3，0）到直線l的距離為

解法2：設(shè)點(diǎn)A（x0，y0），則點(diǎn)B（2x0，2y0），代入圓方程可得從而圓心C（3，0）到直線l：y的距離為

比較兩種解法，思路都較簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量不同.解法1盡管只引入一個(gè)變量，但運(yùn)算過(guò)程長(zhǎng)，且運(yùn)算式子明顯比解法2復(fù)雜，容易算錯(cuò)，究其原因還在于引入的變量為直線斜率，導(dǎo)致后續(xù)必須要進(jìn)行解交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算和解關(guān)于k的方程xB=2xA；而解法2雖然引入的是兩個(gè)變量，但充分利用了中點(diǎn)和點(diǎn)A、B都在圓上的條件，在解A點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)大大減少了運(yùn)算，使解題更加快捷.

（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).

①若直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值；

分析：本題第（2）問(wèn)的第①小問(wèn)的難度系數(shù)是0.44，很少學(xué)生能成功做完.絕大多數(shù)學(xué)生設(shè)直線l的方程為y= k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，在由消去y的過(guò)程中，大多數(shù)學(xué)生能得到（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，但也有部分同學(xué)化簡(jiǎn)出現(xiàn)錯(cuò)誤.在正確得到學(xué)生在計(jì)算kPA·kPB=時(shí)，沒(méi)有用y=k（x-1）及時(shí)消元，而是計(jì)算了y1+y2和y1·y2，由于復(fù)雜運(yùn)算的步驟增加，出錯(cuò)率相當(dāng)高，能正確得到kPA·kPB=-k-的少之又少.

三、在換元中求“簡(jiǎn)”

換元法在解題中經(jīng)常被使用，是通過(guò)引進(jìn)新的變量，把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，或者變?yōu)槭煜さ男问剑瑥亩箯?fù)雜的計(jì)算和推證得到簡(jiǎn)化.

例5（第13題）已知函數(shù)f（x）=2x-1+a，g（x）=bf（1-x），其中a，b∈R，若滿(mǎn)足不等式f（x）≥g（x）的解的最小值為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

分析：本題難度很大（難度系數(shù)為0.02），得分極低.求解中很多同學(xué)未能作好轉(zhuǎn)化，若能注意換元法的應(yīng)用，把復(fù)雜的指數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題，結(jié)合圖像來(lái)處理，相信不少同學(xué)還是能夠解決的.

解：由條件，不等式f（x）≥g（x），即2x-1+a≥b（2-x+a），令t=2x（t＞0），則不等式可化為t2+2（a-ab）t-2b≥0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該不等式當(dāng)t＞0時(shí)的解的最小值為4.設(shè)g（t）=t2+2（aab）t-2b，結(jié)合二次函數(shù)圖像可得

當(dāng)然，使用換元法時(shí)，需要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量取值范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大.

四、在消元中求“簡(jiǎn)”

消元就是減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，把多元問(wèn)題減元或轉(zhuǎn)化成一元問(wèn)題進(jìn)行解決.消元的方法學(xué)生在初中就已經(jīng)比較熟練了，但對(duì)消元思想，即使到高三，部分同學(xué)仍不具備，特別是在一些綜合性較強(qiáng)的題目中，缺少將未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，簡(jiǎn)化問(wèn)題的意識(shí).

分析：本題的難度系數(shù)為0.26，也就是說(shuō)有75%的同學(xué)做錯(cuò)了，其中一大部分同學(xué)的錯(cuò)誤答案是［3，12］，做法是對(duì)x1f（x2）利用x1和f（x2）各自的單調(diào)性去求，錯(cuò)在沒(méi)有消元的意識(shí).本題畫(huà)出函數(shù)圖像后（如圖3），根據(jù)條件“若存在x1，x2∈R，當(dāng)0≤x1＜4≤x2≤6時(shí)，f（x1）=f（x2）”，可得到x1∈［1，3］，x2∈［4，6］，其中x1∈［1，3］.這樣就轉(zhuǎn)化為一個(gè)常規(guī)的求三次函數(shù)在給定閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，此題目也就迎刃而解了.

圖3

例7上文例4中的第（2）問(wèn)的第②小問(wèn).

運(yùn)算能力是學(xué)生解決問(wèn)題的必備能力，要提高運(yùn)算能力，我們先要關(guān)注運(yùn)算細(xì)節(jié).“細(xì)節(jié)決定成敗”，運(yùn)算的成敗也在細(xì)節(jié)，“題?！弊屛覀兊膶W(xué)生習(xí)慣于耐心的去算，而忽略了運(yùn)算中的規(guī)律探尋，沒(méi)有了求簡(jiǎn)的意識(shí).求簡(jiǎn)的過(guò)程是對(duì)運(yùn)算細(xì)節(jié)的深度思考，也就是明道的過(guò)程.章建躍博士認(rèn)為：“‘明道’，明即明白、懂得，道即規(guī)律、原則.明道者，明白原則、掌握規(guī)律也.老子說(shuō)，‘人法地，地法天，天法道，道法自然’.因此，凡‘明道’者一定懂得按客觀規(guī)律辦事.”劉紹學(xué)教授提出：“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的.”其實(shí)這些都是要求我們廣大教師要努力掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，并按這樣的規(guī)律展開(kāi)教學(xué)，對(duì)運(yùn)算而言，就是要在求簡(jiǎn)中明道，在明道中求簡(jiǎn).

1.陳志江.精耕細(xì)作低耗高效——和高三備課組長(zhǎng)談引領(lǐng)工作［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（10）.

2.章建躍.數(shù)學(xué)教學(xué)的取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（4）.F