筅江蘇省徐州高級中學(xué)　田淑華

解析幾何中的定點定值問題的策略與方法

筅江蘇省徐州高級中學(xué)田淑華

在近幾年的高考中，有關(guān)解析幾何的定點、定值問題頻頻出現(xiàn)，該類問題知識綜合性強，方法靈活，對運算能力和推理能力要求較高，因而成為了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點.定點、定值問題都是探求“變中有不變的量”.因此要用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點看待并處理此類問題.從整體上把握問題給出的綜合信息，并注意挖掘問題中各個量之間的相互關(guān)系，恰當(dāng)適時地運用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、相關(guān)點法、設(shè)而不求、換元、消元等基本思想方法.下面筆者通過具體的例子來說明這類問題的求解.

一、定點問題

定點問題一般借助橢圓或圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，同時考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記二次函數(shù)f（x）= x2+2x+b（x∈R）與兩坐標(biāo)軸有三個交點.經(jīng)過三個交點的圓記為C.

（1）求實數(shù)b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問：圓C是否經(jīng)過定點（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.

解析：（1）（2）略.

（3）方法1（特殊一般法）：由（2）知，圓C的方程為x2+ y2+2x-（b+1）y+b=0.分別令b=0，-1，得方程組或

所以圓C過定點（0，1）和（-2，1）.證明如下：

將點（0，1）的坐標(biāo)代入方程，左邊=02+12+2×0-（b+1）+b=0，右邊=0，所以圓C過定點（0，1）.

同理可證圓C過定點（-2，1）.

方法2（參數(shù)無關(guān)法）：圓C必過定點，證明如下：

假設(shè)圓C過定點（x0，y0）（x0，y0不依賴于b），將該點的坐標(biāo)代入圓C的方程，得++2x-y+b（1-y）=0（*）.000

為使（*）式對所有滿足b<1（b≠0）的b都成立，必須有1-y0=0，結(jié)合（*）式得解得或

經(jīng)檢驗知，點（0，1）、（-2，1）均在圓C上，因此圓C過定點.

評注：定點問題通常先求出動曲線方程，而后求定點有兩種方法：方法1通過取特殊值找出定點，然后加以證明；方法2利用定點與參數(shù)無關(guān)，從而含參數(shù)的動圓方程恒成立，利用系數(shù)關(guān)系求出定點.

二、定值問題

在近幾年的高考和高考模擬試題中有很多解析幾何問題由于所給問題有很好的對稱和對等性，其運算過程也具有很好的對偶性.如果能夠充分利用其內(nèi)在的美學(xué)因素，配合正確的解題策略，那么運算就會更加自然流暢.

1.運用設(shè)而不求的思想求解例2如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B、C是橢圓=1（a>b>0）上不同的三點，A2，B（-3， -3），點C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上.

圖1　

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)動點P在橢圓上（異于點A、B、C），且直線PB、PC分別交直線OA于M、N兩點，證明為定值并求出該定值.

解析：（1）（2）略.

設(shè)P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2）.

從而y1y2=

評注：本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運算能力，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.第（3）問中設(shè)出點P、M、N的坐標(biāo)，建立等量關(guān)系求解，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.

2.通過設(shè)坐標(biāo)求解

定值問題，先設(shè)出動點的坐標(biāo)，并看作參數(shù)，再根據(jù)條件依次求出相關(guān)量，建立與參數(shù)的聯(lián)系，將橢圓上點的坐標(biāo)滿足橢圓的方程這一基本條件代入消參.

圖2　

例3如圖2，M、P是圓O：x2+ y2=r2（r>0）上任意兩點，圓O上的點N與點M關(guān)于x軸對稱，直線MP、NP分別與x軸交于點A和點B，求證：A、B兩點的橫坐標(biāo)之積為定值.

證明：設(shè)M（x1，y）1，P（x2，y2），則N（x1，-y1），且

設(shè)點A橫坐標(biāo)為xA，點B橫坐標(biāo)為xB，由M、P、A三點共線得，于是

用-y1替換y1得x，所以xAxB=

綜上，A、B兩點的橫坐標(biāo)之積為定值r2.

三、定位問題

圖3　

例4如圖3，設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點.點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明：A、C、O三點共線.

證明：因為拋物線y2=2px（p>0）的焦點為所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+，代人拋物線方程得y2-2pmy-p2= 0.若記A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、y2是該方程的兩個根，所以y1y2=-p2.因為BC∥x軸，且點C在準(zhǔn)線x=-上，所以點C的坐標(biāo)為故直線CO的斜率為k=即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O.即證得A、C、O三點共線.

評注：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)、直線的方程和性質(zhì)，以及學(xué)生的運算能力和邏輯推理能力.也可直接利用拋物線的幾何性質(zhì)結(jié)合平面幾何相似比例求解.它直觀簡明，避免計算量大，是解答小題的首選方法，也是解答大題的重要方法.

四、最值與范圍問題

解析：設(shè)直線PQ的方程為x=c+my，P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線方程代入橢圓方程得（b2m2+a2）y2+2b2cmy-b4= 0.故y1+y2=-

而△F1PQ的面積S=c|y1-y2|=c

令t=m2+1（t≥1），則S=2ab

評注：以上兩題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，并結(jié)合基本不等式求最值或范圍.

通過以上幾個典型例題的分析，我們可以得到解析幾何中的定點、定值問題的方法：求出動曲線的方程，根據(jù)方程可由特殊一般法或者運用參數(shù)方程消參法確定定點.而最值與范圍問題的方法通常是從函數(shù)、基本不等式及幾何意義這三個方面去考慮.

總之，定點、定值問題是解析幾何的一個難點，是多年來高考的一個熱點.這類問題在高考中常以解答題的形式出現(xiàn)，又時常具有壓軸性質(zhì)，因此是眾多考生、教師、專家與學(xué)者關(guān)注的一個焦點.定點的問題往往表現(xiàn)為“直線過定點”、“曲線過定點”、具有某種性質(zhì)的點為定點等，定點的坐標(biāo)為定值；定值的問題往往表現(xiàn)為求解或證明某個數(shù)學(xué)表達式為定值.定點、定值問題都需要根據(jù)條件、定義、定理、性質(zhì)、結(jié)論等，經(jīng)過計算、推理、論證等確定某點的坐標(biāo)，或某個數(shù)學(xué)表達式為常數(shù)，此常數(shù)與變量或參數(shù)無關(guān).只要我們在平時的解題實踐中多總結(jié)、多反思就能不斷地積累解題經(jīng)驗，提高解題能力.F