俞鑫源，阮青鋒，俞淵銘，宋 林，楊 楊，張 詩(shī)

（1.桂林理工大學(xué)　　地球科學(xué)學(xué)院，廣西桂林 541004；2.廈門大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，福建　　廈門 361005）

圓形明亮琢型鉆石切磨比例的探討

俞鑫源1，阮青鋒1，俞淵銘2，宋 林1，楊 楊1，張 詩(shī)1

（1.桂林理工大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，廣西桂林 541004；2.廈門大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，福建廈門 361005）

利用MATLAB軟件模擬鉆石內(nèi)部的光路，選取平行等距的光源分別從冠部及亭部照射鉆石，重點(diǎn)研究光源從垂直入射至傾斜入射下不同的切工比例對(duì)鉆石亮度及火彩的影響，從光線返回值、暗區(qū)比值和加權(quán)平均色散角等方面分析探討了影響圓形明亮琢型鉆石亮度及火彩的各種因素，給出了達(dá)到最佳加工效果的各種因素間搭配關(guān)系。模擬分析認(rèn)為：亭角在39.0°～41.0°范圍內(nèi)較為合適，具有最大光線返回值及較小的暗區(qū)比值。通過(guò)加權(quán)平均色散角計(jì)算分析，當(dāng)亭角的大小一定時(shí)，存在唯一大小的冠角使加權(quán)平均色散角出現(xiàn)明顯的峰值，從而獲得能夠出現(xiàn)最佳火彩效果的亭角與冠角的組合。當(dāng)鉆石的臺(tái)寬比大于最小臺(tái)寬比（Amin）時(shí)，臺(tái)寬比對(duì)亮度無(wú)影響；在Amin～100%范圍內(nèi)，臺(tái)寬比越小，加權(quán)平均色散角的權(quán)數(shù)越大，火彩效果越好。

鉆石；圓形明亮琢型；亮度；火彩；計(jì)算機(jī)模擬

0 引 言

鉆石是目前已知自然產(chǎn)出的硬度最大的寶石礦物材料，具有很高的折射率和色散值。鉆石原石看上去樸實(shí)無(wú)華，但通過(guò)良好的切磨與拋光就能使鉆石完全展現(xiàn)出其內(nèi)在璀璨奪目的光彩，這種光彩就是通常所說(shuō)的明亮度（brilliance），包括亮度（brightness）、火彩（fire）及閃爍（sparkle）三大要素［1］。

鉆石的琢型及各部分的比例和角度的差異將會(huì)顯著地影響鉆石的明亮度。早期的琢型只是簡(jiǎn)單的將鉆石八面體原石進(jìn)行打磨拋光，其明亮度是較差的，尤其是鉆石的火彩和閃爍無(wú)法體現(xiàn)出來(lái)。隨著人類社會(huì)的進(jìn)步和科技的發(fā)展，鉆石的加工技術(shù)不斷完善，經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的演化歷程，才逐步形成了擁有34個(gè)小面的老式圓形明亮琢型［2］。20世紀(jì)以來(lái)，鉆石的加工技術(shù)飛速發(fā)展，鉆石琢型也在不斷改進(jìn)，世界各地陸續(xù)涌現(xiàn)出具有重大影響的琢型，1916年出現(xiàn)了與現(xiàn)代圓形明亮琢型相接近的圓多面體鉆石琢型，其冠角為35°、亭角41°、臺(tái)寬比為40%，這種琢型已經(jīng)明顯的改善了成品鉆石的明亮度，尤其是其火彩和閃爍得到了顯著的提高。1919年托爾科夫斯基（Tolkowsky）利用光學(xué)原理計(jì)算得出了鉆石加工發(fā)展歷程中具有里程碑意義的美國(guó)理想琢型［3］；1940年德國(guó)愛(ài)普洛（Eppler）提出了歐洲琢型；1969年出現(xiàn)了斯堪的那維亞（Scan D N）琢型，使圓形明亮琢型鉆石的明亮度逐步有了提高；1977年日本人Shigetomi提出的具有八心八箭效應(yīng)的鉆石切磨比例，可以說(shuō)是到目前為止比較理想的鉆石圓形明亮琢型。由于出現(xiàn)了多種不同切磨比例的鉆石圓形明亮琢型，對(duì)鉆石的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)也就出現(xiàn)了一些差異，因此，國(guó)際鉆石委員會(huì)（IDC）在綜合各種圓形明亮琢型特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，于1978年公布了理想圓形明亮琢型的比例范圍。中國(guó)也在1993年推出了自己的鉆石分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，2010年又對(duì)該標(biāo)準(zhǔn)作了進(jìn)一步的改進(jìn)［4］，明確規(guī)定了圓形明亮琢型的理想比例范圍（圖1），其中，圖1a是圓形明亮琢型的縱剖面示意圖，冠角的大小以α表示，亭角的大小為β；臺(tái)寬比是指鉆石冠部臺(tái)面的最大直徑與腰部最大直徑的比值，用A表示；冠高比為臺(tái)面至腰平面距離與腰部最大直徑的比值；亭深比為腰平面至底尖距離與腰部最大直徑的比值。

圖1　圓形明亮琢型鉆石的各部分比例（a）及名稱（b）Fig.1 Proportion（a）and form name（b）of the round brilliant cut diamond

鉆石的亮度主要取決于兩個(gè)方面：①鉆石冠部刻面的反光強(qiáng)度；②鉆石亭部刻面全內(nèi)反射并從冠部折射出來(lái)的光的強(qiáng)度。平整的刻面及精良的拋光能夠減少鉆石表面的漫反射，達(dá)到較好的表面反射效果；而亭部刻面全內(nèi)反射的光量則由切磨角度所決定。白色光是由400～700 nm的連續(xù)光譜色組成的復(fù)合光，當(dāng)白色光在鉆石中折射時(shí)，由于不同波長(zhǎng)的光折射率的微小差異而導(dǎo)致白色光分解為組成它的各種波長(zhǎng)的單色光的現(xiàn)象稱為色散，不同的單色光從鉆石折射進(jìn)入空氣中的角度是不同的，其差值越大越容易被眼睛觀察到，即色散（火彩）的效果越好。當(dāng)鉆石轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其冠部和亭部刻面所出現(xiàn)的明暗變化及不同色光交替的現(xiàn)象稱為閃爍，閃爍度取決于琢型的刻面數(shù)量、火彩的強(qiáng)弱以及在觀察時(shí)鉆石轉(zhuǎn)動(dòng)的速率等因素，實(shí)質(zhì)上與鉆石的琢型及切工質(zhì)量密切相關(guān)。因此，切工質(zhì)量是鉆石質(zhì)量評(píng)價(jià)體系中的重要指標(biāo)。而鉆石的美觀程度又主要由亮度、火彩及閃爍度等具體要素體現(xiàn)出來(lái)。所以，對(duì)鉆石切工質(zhì)量的評(píng)價(jià)，除了要考慮鉆石琢型加工的精確度和修飾度外，鉆石的亮度、火彩及閃爍程度是不容忽視的因素。然而鉆石的明亮度與冠角、亭角及臺(tái)寬比之間的關(guān)系十分復(fù)雜，某些不同的比例搭配可以產(chǎn)生比較好的明亮度［5］。如何系統(tǒng)全面地評(píng)價(jià)切工的質(zhì)量一直困擾著業(yè)內(nèi)人士，在不同的國(guó)家和地區(qū)，對(duì)鉆石切工的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)都不太一致，因此，切工的質(zhì)量分級(jí)在鉆石4C分級(jí)體系中也是最具爭(zhēng)議的。美國(guó)寶石學(xué)院（GIA）的研究人員發(fā)現(xiàn)，雖然鉆石的每個(gè)刻面都對(duì)其外觀產(chǎn)生影響，但鉆石的整體外觀主要還是由各部分比例的綜合因素所決定［6］。只有綜合考慮各個(gè)刻面之間的比例及相互影響，才能合理評(píng)價(jià)鉆石的整體效果。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算已可以由計(jì)算機(jī)來(lái)精確地完成，并可以借助計(jì)算機(jī)模擬來(lái)直觀的展示各種不同的情況。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，利用MATLAB軟件建模，分析探討了光線返回值、暗區(qū)比值和加權(quán)平均色散角等因素對(duì)鉆石亮度與火彩的影響，并對(duì)幾種流行的、不同切磨比例的圓形明亮琢型鉆石的亮度及火彩進(jìn)行了定量分析和計(jì)算，為進(jìn)一步改善現(xiàn)代圓形明亮琢型的明亮度及切工質(zhì)量分級(jí)提供依據(jù)。

1　模型的建立

影響圓形明亮琢型鉆石明亮度的因素較多，除亮度、火彩和閃爍程度等主要因素外，鉆石的反射率（R）、內(nèi)部細(xì)微包裹體對(duì)光的反射、折射、吸收及鉆石本身對(duì)光的吸收等都會(huì)影響琢型鉆石的明亮度。因此，本次研究主要是針對(duì)影響鉆石明亮度的主要因素——鉆石的切磨比例及角度來(lái)開(kāi)展，同時(shí)假設(shè)鉆石表面具有理想化的拋光程度。一個(gè)好的琢型，從冠部進(jìn)入鉆石內(nèi)部的光線既要盡可能多的返回冠部，又能比較均勻的分布在整個(gè)鉆石的冠部，從而使鉆石看上去更加明亮；對(duì)于火彩，發(fā)生色散時(shí)紅光與紫光分開(kāi)的角度越大，那么色散也就越明顯，即火彩越強(qiáng)?；谏鲜隹紤]，本次研究主要從三方面著手：①入射光最大限度返回鉆石冠部的角度范圍；②返回光線能在鉆石冠部均勻分布的角度范圍；③出現(xiàn)最佳火彩的角度范圍。

MATLAB具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能，且無(wú)需事先對(duì)變量賦值，計(jì)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形式表達(dá)；還可以將不同的計(jì)算數(shù)據(jù)以二維、三維乃至四維圖形的形式直觀地表現(xiàn)出來(lái)，這不僅使數(shù)據(jù)間的關(guān)系更加清晰、明了，而且對(duì)于揭示鉆石比例與亮度及火彩的關(guān)系有著非常重要的作用。雖然光線在琢型鉆石內(nèi)部傳播的情況比較復(fù)雜，但借助MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算及繪圖功能可以精準(zhǔn)地模擬不同切磨比例和角度的琢型鉆石中光線的傳播情況。

1.1變量及參數(shù)設(shè)置

由于不同切磨比例下返回的光線在冠部表面的分布情況不同，當(dāng)入射光的角度不合適時(shí)必然會(huì)在鉆石冠部出現(xiàn)比較暗淡的區(qū)域，暗淡區(qū)域的大小對(duì)鉆石明亮度將產(chǎn)生重要影響。將鉆石冠部投射到圓形明亮琢型鉆石的腰部平面上，暗淡區(qū)域在腰平面上的投影面積為S暗，其與鉆石腰部面積S總的比值定義為暗區(qū)比值SD，其表達(dá)式為暗區(qū)比值就成為評(píng)價(jià)琢型鉆石明亮度的另一個(gè)重要指標(biāo)。

根據(jù)前人的研究，鉆石的臺(tái)寬比（A）、亭角（β）和冠角（α）的大小對(duì)鉆石的明亮度都有不同程度的影響。在模擬計(jì)算中，為了更好地反映臺(tái)寬比、冠角和亭角的變化對(duì)鉆石明亮度的影響，臺(tái)寬比（A）的取值范圍為0～100%，冠角（α）與亭角（β）的取值范圍均為0°～90°，精確到小數(shù)點(diǎn)后一位。

1.2光源的選擇

在實(shí)際情況中，進(jìn)入鉆石內(nèi)部的光源是隨機(jī)且復(fù)雜的，可能是來(lái)自各個(gè)不同方向，數(shù)量巨大且強(qiáng)度不均勻?？紤]到鉆石本身的折射率值以及現(xiàn)代圓形明亮琢型的冠角和亭角的大小范圍，通過(guò)鉆石全內(nèi)反射再?gòu)墓诓空凵涑鰜?lái)的光線，絕大多數(shù)都是從冠部進(jìn)入鉆石內(nèi)部的光線，從其他部位進(jìn)入鉆石內(nèi)部的光線幾乎很少?gòu)淖列豌@石的冠部射出。因此，為了簡(jiǎn)化，本次選取的光源為1 000條平行且強(qiáng)度均勻的白光。

1.3光路模擬

對(duì)于垂直臺(tái)面入射的任一條光線都能在圓形明亮琢型的鉆石上找到一個(gè)直徑截面，光路的模擬可以在平面內(nèi)解決。使用MATLAB在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)取5條直線作為鉆石的五邊形截面，冠部?jī)蓷l直線及亭部?jī)蓷l直線斜率的改變即為角度的改變。1 000條平行、等距且等向的向量為光源，當(dāng)光線與鉆石刻面相交時(shí)，根據(jù)斯涅爾折射定律計(jì)算光（向量）每次改變后的方向及位置，直到光射出鉆石。篩選最終射出的光線中方向向上的光線，并計(jì)算每條出射光線與鉆石的交點(diǎn)。根據(jù)這種思路編寫(xiě)模擬光路的流程圖（圖2）。最后通過(guò)隨機(jī)抽取樣本點(diǎn)的方式，導(dǎo)出光路圖，并對(duì)MATLAB程序進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證與修正。

圖2　光路模擬流程圖Fig.2 Flow chart of the optical path simulation

2　結(jié)果與討論

2.1亮度分析

光線可以從鉆石的冠部、亭部和側(cè)面等不同部位進(jìn)入鉆石內(nèi)部，從側(cè)面進(jìn)入鉆石內(nèi)部的光線幾乎全部從側(cè)面漏出，很難從鉆石冠部向上射出，因此，主要是考慮從冠部入射和從亭部入射進(jìn)入鉆石內(nèi)部的光線情況。

根據(jù)光線在不同密度媒介中發(fā)生折射和全內(nèi)反射的原理，當(dāng)光線從鉆石冠部入射，又順利從冠部射出的幾何路徑如圖3所示。光線從A點(diǎn)垂直臺(tái)面入射時(shí)，光線沿直線方向前行，并在B點(diǎn)與亭部刻面相交，光線將在亭部發(fā)生第1次全內(nèi)反射。從圖3不難看出，光線AB與亭部刻面法線的夾角大小必為β，只有滿足β大于鉆石的臨界角i，即

圖3　光線順利返回的角度示意圖Fig.3 Angle sketch of the light returning

才能使光線AB在鉆石亭部發(fā)生全內(nèi)反射，并沿BC方向到達(dá)C點(diǎn)與亭部另一側(cè)的刻面相交，光線BC與過(guò)C點(diǎn)的刻面法線的夾角大小為π-3β，只有滿足π-3β＞i，即

才能使光線BC在C點(diǎn)發(fā)生第2次全內(nèi)反射，使光線沿CD方向到達(dá)冠部D點(diǎn)處，此時(shí)，光線CD與過(guò)D點(diǎn)的刻面法線的夾角大小為α+4β-π，當(dāng)（α+ 4β-π）＜i時(shí)，光線CD就能從C點(diǎn)折射出來(lái)返回人的眼睛，即滿足

由式（3）～（5）可知，亭角β在0.0°～90.0°的范圍內(nèi)變化時(shí)，主要出現(xiàn)4種情況：①β在0.0°～24.4°時(shí)，出現(xiàn)第1次漏光（圖4a）；②β在24.4°～51.1°時(shí)，光線能順利的從冠部射出（圖4b）；③β在51.1°～51.8°時(shí)，光線在亭部?jī)纱稳珒?nèi)反射至冠部再一次全內(nèi)反射從而彈回寶石內(nèi)部，無(wú)法順利折射出來(lái)（圖4c）；④β在51.8°～90.0°范圍時(shí)，光線發(fā)生一次全內(nèi)反射至另一側(cè)亭部時(shí)折射出去發(fā)生漏光（圖4d）。但是當(dāng)亭角及冠角發(fā)生改變時(shí)，光線與冠部的交點(diǎn)也會(huì)發(fā)生改變，這種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)并不能準(zhǔn)確地知道每條光線到達(dá)的具體位置，每個(gè)大的范圍內(nèi)有著更多復(fù)雜的光路情況。

為了探明光源照射不同部位時(shí)鉆石亮度的差異，本次研究分別模擬了光源從冠部及亭部照射的兩種情況并利用式（1）計(jì)算光線返回值（φ）。當(dāng)光源從冠部照射時(shí)，不同亭角及冠角對(duì)應(yīng)的光線返回值的等高線圖見(jiàn)圖5。光線返回值超過(guò)0.90的區(qū)域有兩個(gè)，左側(cè)區(qū)域中冠角的范圍為0.1°～48.1°，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于亭角37.8°～51.0°的范圍。在亭角合適且一定的情況下，冠角的變化對(duì)光線返回值的影響不大，因?yàn)榭傆幸徊糠止饩€能從臺(tái)面射出，要想達(dá)到最大的光線返回值，冠角必須滿足不等式（5），否則光線會(huì)在鉆石內(nèi)部彈射。然而在冠角一定的情況下，光線返回值隨著亭角的改變發(fā)生急劇的變化，可見(jiàn)在不同切磨比例的鉆石中，亭角的大小是光線能否順利返回冠部的最重要因素。光線返回值達(dá)到1.0的區(qū)域有兩個(gè)（圖6）：第一個(gè)區(qū)域的亭角為68.2°～70.0°，冠角為0°～9.1°，顯然，這種琢型的亭深太大、冠高太小，整個(gè)琢型的比例很不協(xié)調(diào)，而且無(wú)法鑲嵌，因而無(wú)法被鉆石琢型的設(shè)計(jì)者和加工者采納；另一個(gè)區(qū)域所對(duì)應(yīng)的亭角范圍為39.1°～51.0°，冠角為0.1°～43.2°，現(xiàn)代圓形明亮琢型的切磨角度被包含在這個(gè)范圍內(nèi)。

當(dāng)光源從亭部照射時(shí)，光線返回值（φ）等高線圖見(jiàn)圖7。當(dāng)亭角超過(guò)39.7°時(shí)，φ值急劇下降，這是因?yàn)閺耐げ窟M(jìn)入鉆石內(nèi)部的光線絕大部分在到達(dá)臺(tái)面時(shí)發(fā)生了全內(nèi)反射又返回亭部折射出來(lái)；當(dāng)亭角小于39.7°時(shí)，某些區(qū)域可達(dá)到較高的光線返回值，但根據(jù)對(duì)光路的模擬，這些光集中在冠部且向兩側(cè)發(fā)散，臺(tái)面黑暗。當(dāng)鉆石被鑲嵌后，亭部下方被遮擋，即使亭部可以接收到光也是來(lái)自兩側(cè)的光。當(dāng)修改模型中入射光源的方向，使光源與豎直方向的夾角從0°～90°變化時(shí)，無(wú)論入射光源的角度如何變化，現(xiàn)代圓形明亮琢型的鉆石都只有少量的光線向上射出，并且這部分光線的斜率非常低，即向兩側(cè)發(fā)散，對(duì)鉆石明亮度基本沒(méi)有貢獻(xiàn)?？梢?jiàn)，鉆石的亮度主要取決于來(lái)自冠部的入射光源，從亭部進(jìn)入鉆石內(nèi)部的光對(duì)鉆石的亮度幾乎沒(méi)有影響。

圖4　不同亭角范圍的光路Fig.4 Light path of different pavilion angles

圖5　冠部入射光線返回值（φ）等高線圖Fig.5 Crown incident contour map of light return value（φ）

圖6　冠部入射光線返回值（φ）1.0區(qū)域Fig.6 Area of 1.0 incident light return value from the crown

圖7　亭部入射光線返回值（φ）等高線圖Fig.7 Pavilion incident contour map of light return value（φ）

2.2均勻度分析

光線返回值達(dá)到1.0時(shí)，從理論上講，鉆石的明亮度應(yīng)該達(dá)到最大程度，如果從冠部射出的光線分布不均勻，勢(shì)必會(huì)存在不同明亮度的區(qū)域，將亮度暗淡的區(qū)域簡(jiǎn)稱為暗淡區(qū)域。由于平行光線在二維平面反射時(shí)其間距不會(huì)改變，設(shè)進(jìn)入鉆石內(nèi)部后的兩條相鄰光線之間的間距為d1，只要光線能射出鉆石，兩條光線之間的距離不會(huì)超過(guò)d1/cos i（i為鉆石的臨界角），提取成功射出冠部的所有光線與冠部交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算這些相鄰點(diǎn)之間的距離，距離超過(guò)d1/cos i的范圍即為暗淡區(qū)域，根據(jù)這些區(qū)域的具體坐標(biāo)可知其在冠部的位置并計(jì)算出暗淡區(qū)域的面積與腰圍面積的比值。光源從冠部照射時(shí)暗區(qū)比值（SD）等高線圖見(jiàn)圖8。

考慮到現(xiàn)代圓形明亮琢型的冠部和亭部主刻面角度的變化范圍，本次研究對(duì)常見(jiàn)冠角和亭角的變化范圍的角度以及不同臺(tái)寬比的組合進(jìn)行了計(jì)算和模擬。本文僅以臺(tái)寬比為60%的圓形明亮琢型的鉆石為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。當(dāng)亭角的大小介于37.1°～40.0°，冠角的范圍為30.4°～44.4°時(shí)，光線在現(xiàn)代圓形明亮琢型冠部的分布是較均勻的，暗區(qū)比值小于0.1，且暗淡區(qū)域位于上腰刻面緊靠腰圍的部分。前人的研究發(fā)現(xiàn)［7］：現(xiàn)代圓形明亮琢型的鉆石腰圍部分存在漏光現(xiàn)象。與本次用MATLAB模擬的暗淡區(qū)域的位置是一致的。根據(jù)模擬的結(jié)果，亭角越小光線越發(fā)散，且鉆石的明亮度也得不到很好的體現(xiàn)。當(dāng)亭部主刻面的角度在40.0°～41.0°變化時(shí)，盡管其暗區(qū)比值略大于0.1，但是暗區(qū)位于鉆石的腰部邊緣，呈圓環(huán)狀，面積比率雖然稍大，但圓環(huán)的寬度變化卻不明顯，且出射光線斜率較大，即出射光線較集中，亭部主刻面的角度在此范圍內(nèi)的圓形明亮琢型也能提高鉆石原石的利用率。因此，亭角在39.0°～41.0°范圍內(nèi)是比較理想的。此范圍與IDC公布的理想圓形明亮琢型的亭角范圍相一致，表明以光線返回值和暗區(qū)比值來(lái)推算鉆石圓形明亮琢型的亭角大小具有較高的準(zhǔn)確性與實(shí)用性。

圖　8 暗區(qū)比值（SD）等高線圖Fig.8 Contour map of the dark area value（SD）

2.3色散角度及冠角的推導(dǎo)

寶石的色散值通常是采用弗朗霍芬譜線中的G線（波長(zhǎng)為430.8 nm）和B線（波長(zhǎng)為686.7 nm）所測(cè)得的折射率的差值來(lái)表示。對(duì)鉆石而言，NG= 2.451，NB=2.407，則色散值D鉆石=NG-NB= 0.044。當(dāng)白光從鉆石內(nèi)部向空氣折射時(shí)會(huì)發(fā)生色散（圖9），只有當(dāng)鉆石的色散角θ較大時(shí)，鉆石才表現(xiàn)出較強(qiáng)烈的火彩效應(yīng)。根據(jù)光從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)的折射率公式N=sin θ折射角/sin θ入射角，可得

θ折射角=arcsin（N·sin θ入射角），（6）色散角θ等于紅光的折射角減去紫光的折射角，即

圖9　白光從鉆石向空氣折射時(shí)發(fā)生色散Fig.9 White light dispersion of refraction from the diamond into the air

根據(jù)式（7），可以作出入射角與色散角之間的關(guān)系圖（圖10），當(dāng)光線從鉆石向空氣折射時(shí)，入射角極限靠近臨界角時(shí)色散角達(dá)到最大值

圖10　色散角隨入射角度變化的函數(shù)關(guān)系圖Fig.10 Function diagram of the dispersion angle variation with incident angle

從上述分析可知：亭角的大小是影響現(xiàn)代圓形明亮琢型亮度的主要因素，而火彩的強(qiáng)弱與冠角及臺(tái)寬比密切相關(guān)。色散角達(dá)到最大時(shí)，鉆石的火彩效應(yīng)最強(qiáng)烈。根據(jù)對(duì)鉆石內(nèi)部光線路徑的模擬，光線在亭部經(jīng)過(guò)兩次全內(nèi)反射到達(dá)冠部時(shí)，滿足不等式（5）則光線能夠順利射出。當(dāng)光線垂直臺(tái)面入射，冠角α極限靠近π+i-4β時(shí)能夠得到最大的色散角；當(dāng)光線傾斜入射（光線與臺(tái)面的夾角小于90°）時(shí)，光線在亭部全內(nèi)反射后到達(dá)冠部的角度會(huì)增大；當(dāng)α=π+i-4β時(shí)傾斜入射的光線將彈射回鉆石內(nèi)部，從而損失了火彩，因此α= π+i-4β的角度應(yīng)為冠角的最大值。如圖11所示，當(dāng)入射光源逐漸向右側(cè)傾斜時(shí)，其出射時(shí)與左側(cè)冠部的交點(diǎn)也逐漸向臺(tái)面移動(dòng)，當(dāng)交點(diǎn)到達(dá)冠部主刻面與臺(tái)面的交點(diǎn)時(shí)，光線以最大的折射角射出。為了使從冠部入射的光線能夠順利從冠部折射出去，且色散角度最大，需讓鉆石內(nèi)部的出射光線與冠部主刻面的夾角大小盡量接近臨界角，此時(shí)光線在鉆石內(nèi)部的路徑與臺(tái)面法線成對(duì)稱關(guān)系（圖12），且不隨臺(tái)寬比大小及亭角變化而變化。由圖12可知，當(dāng)α+2β-π/2=i時(shí)，α為最小值，即αmin=π/2 +i-2β。

在亮度較高的切磨比例范圍內(nèi)，從臺(tái)面入射的光主要從冠部主刻面、星刻面和上腰刻面射出，從臺(tái)面射出的光主要是從冠部主刻面、星刻面和上腰刻面入射的光。光從冠部主刻面、星刻面和上腰刻面射出時(shí)的色散角遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于從臺(tái)面射出時(shí)的色散角（圖13），因此冠部主刻面、星刻面和上腰刻面是觀察現(xiàn)代圓形明亮琢型火彩的最佳區(qū)域，臺(tái)面則是體現(xiàn)鉆石亮度的最佳區(qū)域。同時(shí)，冠部射出的光線，其在鉆石內(nèi)部與冠部主刻面、星刻面或上腰刻面的角度越接近臨界角，現(xiàn)代圓形明亮琢型鉆石表現(xiàn)出的火彩越強(qiáng)烈。

圖11　光線出射點(diǎn)偏移Fig.11 Light emitting point offset

圖12　最小冠角對(duì)應(yīng)的光路圖Fig.12 Light path of the minimum crown angle

實(shí)際情況中光源的照射方向是隨機(jī)的，正確評(píng)價(jià)現(xiàn)代圓形明亮琢型鉆石的火彩效果必須將所有的光源方向均考慮在內(nèi)，因此，本次研究通過(guò)比較不同冠角對(duì)應(yīng)的加權(quán)平均色散角來(lái)確定最優(yōu)的冠角

式中：i為光源與豎直方向的夾角；θi為色散角；nθ為產(chǎn)生色散角光線的數(shù)量百分比。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)亭角的大小一定時(shí)，存在唯一大小的冠角使加權(quán)平均色散角出現(xiàn)明顯的峰值。圖14是亭角為40.8°時(shí)，冠角與加權(quán)平均色散角的關(guān)系圖，冠角為33.2°所對(duì)應(yīng)的鉆石加權(quán)平均色散角達(dá)到最大，即鉆石出現(xiàn)最佳的火彩效果。通過(guò)計(jì)算和模擬，獲得了一系列能夠出現(xiàn)最佳火彩效果的亭角、冠角及臺(tái)寬比的組合，表1列出了部分亭角、冠角及臺(tái)寬比的組合。

圖14　冠角與加權(quán)平均色散角的關(guān)系（β=40.8°）Fig.14 Relationship between crown angle and weighted average dispersion angles

圖13　鉆石火彩形成的光路模擬圖Fig.13 Simulating diagram of diamond fire

2.4臺(tái)寬比的推導(dǎo)

根據(jù)MATLAB的模擬，臺(tái)寬比只要超過(guò)某一比值就對(duì)光線返回值（φ）及暗區(qū)比值（SD）無(wú)影響，這一比值為最小臺(tái)寬比（Amin）。當(dāng)A＜Amin時(shí)，一部分從冠部入射的光線會(huì)回到另一側(cè)的冠部并且發(fā)生全內(nèi)反射而無(wú)法射出，從而損失了亮度，也就是光線返回值能達(dá)到最大的前提條件是臺(tái)寬比的取值范圍在Amin～100%。在這個(gè)范圍內(nèi)，臺(tái)寬比越小，加權(quán)平均色散角的權(quán)數(shù)也就越大，色散效果越好。不同的亭角與冠角對(duì)應(yīng)著不同的最小臺(tái)寬比（Amin），表1給出了部分亭角及冠角對(duì)應(yīng)的最小臺(tái)寬比（Amin）。

2.5幾種圓形明亮琢型鉆石的明亮度分析

在全球范圍內(nèi)，不同的國(guó)家和地區(qū)推出了各自加工和評(píng)價(jià)圓形明亮琢型鉆石的標(biāo)準(zhǔn)，其中，最具代表性的琢型包括Tolkowsky、Eppler和Scan D N的鉆石琢型比例。根據(jù)前文的分析，本次研究從光線返回值、暗區(qū)比值、亭角對(duì)應(yīng)的最佳冠角及最小臺(tái)寬比4方面對(duì)目前比較流行的4種鉆石琢型的明亮度進(jìn)行了模擬和計(jì)算，它們的臺(tái)寬比、冠角和亭角的大小以及評(píng)價(jià)圓形明亮琢型明亮度的評(píng)價(jià)因子（光線返回值、暗區(qū)比值、亭角所對(duì)應(yīng)的最佳冠角和各琢型所對(duì)應(yīng)的最小臺(tái)寬比）分別列于表2。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，不同比例的圓形明亮琢型鉆石的光線返回值幾乎都接近1.00，但暗區(qū)比值的大小明顯不同：Scan D N琢型的暗區(qū)比值只有0.221 7，而Tolkowsky琢型的暗區(qū)比值為0.293 6，在3種圓形明亮琢型鉆石中是最大的。由于Tolkowsky琢型不僅臺(tái)寬比偏小，而且沒(méi)有從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度充分考慮使鉆石達(dá)到最佳火彩的冠角，從而使冠角偏大，火彩和亮度都有不同程度的損失，因此，這種切工已逐步被淘汰。通過(guò)模擬發(fā)現(xiàn)Eppler琢型具有較為理想的亭角及冠角，但由于其臺(tái)寬比偏小從而損失了部分的亮度，可以考慮適當(dāng)增加一些臺(tái)寬來(lái)使亮度達(dá)到最大化，以盡可能的體現(xiàn)出鉆石固有的美觀性。Scan D N琢型的比例與模型計(jì)算的理想化琢型也存在一定的偏差，與模型對(duì)比，Scan D N琢型的冠角偏大，不能最好的體現(xiàn)鉆石的火彩，而且在腰圍直徑相同的情況下，無(wú)疑要增加鉆石的用料。若適當(dāng)減小冠角，不但能夠更好地顯示火彩，而且可以降低成本。雖然偏大的冠角能夠適當(dāng)?shù)脑黾鱼@石成品的重量，但是在現(xiàn)代的鉆石琢型的設(shè)計(jì)中，更好的明亮度效果已經(jīng)比保重更能提升鉆石的價(jià)值。一顆鉆石的珍稀性永遠(yuǎn)不會(huì)改變，但品質(zhì)性會(huì)被切工好壞所改變，也會(huì)極大影響鉆石的長(zhǎng)久價(jià)值［8］。隨著鉆石切磨技術(shù)的不斷發(fā)展，使更加精準(zhǔn)的切磨鉆石工藝成為可能，為了追求極致的明亮度效果，需要設(shè)計(jì)出更為精確的鉆石切磨比例?？傊?，通過(guò)模型的計(jì)算和分析，可以通過(guò)光線返回值、暗區(qū)比值及加權(quán)平均色散角等因素來(lái)評(píng)價(jià)不同比例和角度的圓形明亮琢型鉆石的明亮度，為鉆石琢型的改進(jìn)提供了具體依據(jù)。

表1　部分具有最佳火彩的亭角與冠角的組合Table 1 Some matching groups with the best fire of the pavilion angles and crown angles

表2　幾種不同比例圓形明亮琢型的明亮度評(píng)價(jià)Table 2 Intensity evaluations on several different cutting ratios of the round brilliant cut diamond

3　結(jié) 論

利用MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算及繪圖功能精準(zhǔn)地模擬了現(xiàn)代圓形明亮琢型鉆石內(nèi)部的光線傳播情況，從光線返回值、暗區(qū)比值和加權(quán)平均色散角等方面分析探討了影響圓形明亮琢型鉆石明亮度的各種因素，對(duì)目前流行的3種圓形明亮琢型的明亮度進(jìn)行了對(duì)比分析，獲得幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

（1）圓形明亮琢型鉆石的亮度主要來(lái)自冠部入射的光線，從亭部進(jìn)入鉆石的光線幾乎不能從冠部射出，對(duì)鉆石的亮度幾乎沒(méi)有貢獻(xiàn)。亭角的大小決定了從冠部入射的光線能否返回冠部，但現(xiàn)代圓形明亮琢型切磨比例范圍內(nèi)的鉆石腰部普遍存在漏光現(xiàn)象，模擬分析認(rèn)為：亭角在39.0°～41.0°范圍內(nèi)較為合適，具有最大光線返回值及較小的暗區(qū)比值。

（2）鉆石火彩的強(qiáng)弱與冠角的大小及臺(tái)寬比密切相關(guān)。通過(guò)加權(quán)平均色散角計(jì)算和分析：當(dāng)亭角的大小一定時(shí)，存在唯一大小的冠角使加權(quán)平均色散角出現(xiàn)明顯的峰值，從而獲得能夠出現(xiàn)最佳火彩效果的亭角與冠角的組合。當(dāng)鉆石的臺(tái)寬比大于最小臺(tái)寬比Amin時(shí)，臺(tái)寬比對(duì)亮度無(wú)影響，在Amin～100%范圍內(nèi)，臺(tái)寬比越小，加權(quán)平均色散角的權(quán)數(shù)越大，火彩效果越好。

（3）以光線返回值、暗區(qū)比值及加權(quán)平均色散角能夠較好的評(píng)價(jià)不同切磨比例圓形明亮琢型鉆石的明亮度。

［1］英國(guó)寶石協(xié)會(huì)和寶石檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室.寶石學(xué)基礎(chǔ)教程［M］.陳鐘惠，譯.武漢：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社，2004：313-332.

［2］周漢利.寶石琢型設(shè)計(jì)及加工工藝學(xué)［M］.武漢：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社，2009：23-34.

［3］Tolkowsky M.Diamond Design：A Study of the Reflection and Refraction of Light in a Diamond［M］.London：E&F.N. Spon，1919.

［4］GB/T 16554—2010，鉆石分級(jí)［S］.

［5］Hemphill T S，Reinitz I M，Johnson M L，et al.Modeling the appearance of the round brilliant cut diamond：An analysis of brilliance［J］.Gems&Gemology，1998，34（3）：158-183.

［6］武文龍.鉆石切工—— “4C”標(biāo)準(zhǔn)的唯一人為因素 ［J］.藝術(shù)市場(chǎng)，2013（27）：61-65.

［7］Cowing M.Diamond brilliance：Theories，measurement and judgment［J］.Journal of Gemology，2000，27（4）：209-227.

［8］劉瑞梅.鉆石切工營(yíng)銷的現(xiàn)實(shí)意義［J］.中國(guó)黃金珠寶，2011（6）：60-65.

Investigation on cutting ratio for round brilliant cut diamond

YU Xin-yuan1，RUAN Qing-feng1，YU Yuan-ming2，SONG Lin1，YANG Yang1，ZHANG Shi1
（1.College of Earth Sciences，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China；2.School of Economics，Xiamen University，Xiamen 361005，China）

The optical path in diamond is simulated by the technique of MATLAB，and a series of parallel and equidistant lights are selected.The crown and pavilion of the diamond are illuminated respectively.This paper focuses on the influence of different cutting ratios on diamond intensity and fire，under vertical incident light changing to oblique incidence light.Various factors，such as light returning values，dark region values and weighted average dispersion angles，which have impact on the intensity and fire of round brilliant cut diamond，are analyzed and discussed，and the relationship of various factors to achieve the best processing effect is given. The simulation analysis shows that the pavilion angle is more suitable in the range of 39.0°to 41.0°，and has maximum light return and smaller dark area ratio.The calculation and analysis results of the weighted average dispersion angle shows that when the size of the pavilion angle is determined，only a crown angle makes the curve of weighted average dispersion angle appear obvious peak，and the combination of pavilion angle and crown angle which can appear the best fire color is also obtained.When table percentage of diamond is larger than the minimum table percentage（Amin），the table percentage has no effect on the brilliance.In the range of Aminto 100%，when the table percentage is smaller，the weight of weighted average dispersion angle is bigger，and the fire is better.

diamond；round brilliant cut；brilliance；fire；computer simulation

P619.28；TP391.75；TS933.3

A

1674-9057（2016）03-0435-09

10.3969/j.issn.1674-9057.2016.03.004

2015-01-23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41362004）

俞鑫源 （1988—），女，碩士，研究方向：寶石礦物學(xué)，461157940@qq.com。

阮青鋒，博士，副教授，rqfgut@163.com。

引文格式：俞鑫源，阮青鋒，俞淵銘，等.圓形明亮琢型鉆石切磨比例的探討［J］.桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，36（3）：435-443.