文/汪利文

“謬誤”糾偏求真諦

文/汪利文

本文以中學(xué)生數(shù)學(xué)解題“謬誤”為載體，展示學(xué)生的負(fù)思維過程，以提升思辨能力為目標(biāo)。依據(jù)歸因理論剖析學(xué)生解題錯(cuò)誤的成因，規(guī)劃科學(xué)的導(dǎo)學(xué)組合。

謬誤糾偏；歸因探討；導(dǎo)學(xué)組合；思辨提升

中學(xué)各門文化課的教學(xué)方式和應(yīng)用取向都有所側(cè)重，有學(xué)科各自獨(dú)特的教育理念和功能定位。春蘭秋菊，各有千秋。

當(dāng)代社會(huì)鮮明的提示：數(shù)學(xué)不僅是科學(xué)的工具，而且更具備文化價(jià)值。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思維訓(xùn)練對促進(jìn)學(xué)生大腦的全面發(fā)展，形成健全的人格和優(yōu)良的思維品質(zhì)無可替代。

中學(xué)課堂，學(xué)生面臨兩大類數(shù)學(xué)分支：“代數(shù)”與“幾何”。

代數(shù)學(xué)科知識(shí)瑣碎繁雜，多種概念網(wǎng)絡(luò)交織。思辨無處不在：僅負(fù)號(hào)和括號(hào)就貫穿于學(xué)習(xí)過程的始末，隨時(shí)需要運(yùn)用相關(guān)概念思辨。從進(jìn)行整式、分式、根式等運(yùn)算中，當(dāng)在學(xué)習(xí)各類方程的解法時(shí)，或討論不同函數(shù)的變異處，不斷提升著學(xué)生的思辨能力。

數(shù)學(xué)課的推理論證，用文字、圖形、符號(hào)等進(jìn)行連續(xù)的幾何語言轉(zhuǎn)換，多角度、全方位的展示了數(shù)學(xué)的魅力！無論是由因?qū)Ч€是執(zhí)果索因，最終確立的是題設(shè)與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系。通過系列證明題的訓(xùn)練，直至學(xué)生形成比較完整的解題思路，逐步做到答題過程的規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)。不斷提高邏輯判斷、思維、推理能力。

歸因是指觀察者為預(yù)測和評價(jià)觀察對象的行為，并對其行為過程進(jìn)行的因果解釋。這種先覺者能追溯、推斷和解釋因果的理論稱為歸因理論。屬于社會(huì)心理學(xué)的動(dòng)機(jī)激勵(lì)理論范疇。其核心是從事件的結(jié)果狀態(tài)出發(fā)，追溯產(chǎn)生行為結(jié)果的主因，使準(zhǔn)確預(yù)測后繼行為成為可能。

歸因理論的鼻祖當(dāng)屬美國心理學(xué)家海德。后經(jīng)著名的社會(huì)心理學(xué)家韋納等以實(shí)證研究充實(shí)和發(fā)展。韋納對影響行為結(jié)果的原因特性、原因結(jié)構(gòu)以及原因歸因關(guān)乎情感、情感的激勵(lì)作用等都提出了獨(dú)創(chuàng)性的見解。

韋納在前人歸因研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了歸因的三維結(jié)構(gòu)模式，即原因源×穩(wěn)定性×控制性。他認(rèn)為任何一項(xiàng)原因都可從運(yùn)行維度進(jìn)行定性分析。

教師根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，往往能在教學(xué)過程中推測學(xué)生將出現(xiàn)一些預(yù)知的解題謬誤。有時(shí)甚至故意布設(shè)陷阱與圈套，放任學(xué)生在不知不覺中發(fā)生錯(cuò)誤的解答。直至無法理解的荒唐結(jié)論出現(xiàn)，致使學(xué)生們大惑不解！此時(shí)他們急想知道解題過程中產(chǎn)生錯(cuò)誤的隱蔽原因，因而激發(fā)出學(xué)生們探究真理的欲望。

研究學(xué)生在解題過程中消極的歸因傾向，反而具備積極的警示功能！

數(shù)學(xué)教學(xué)理當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和思辨能力。中學(xué)生數(shù)學(xué)解題差錯(cuò)不時(shí)發(fā)生。學(xué)生解題過程中的“謬誤糾偏”教學(xué)，在于教師的指向性導(dǎo)引，是訓(xùn)練學(xué)生大腦的體操。對學(xué)生邏輯思維能力的形成和思辨能力的提高不可或缺。

在教學(xué)實(shí)踐中，把“謬誤糾偏”作為導(dǎo)學(xué)組合中的一個(gè)元素，確實(shí)對提高學(xué)生的思辨能力是行之有效的。而此能力通常是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平高低的一項(xiàng)指標(biāo)。

古人云：“授人以魚，只供一飯之需，教人以漁，則終身受用無窮。”

教師需經(jīng)常挖掘一些解題“謬誤”的反面教材，讓學(xué)生辨析糾正后印象深刻，不斷提高解題正確率。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤的解題信息，這是教師題庫中寶貴的教學(xué)資源，應(yīng)當(dāng)充分利用。幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)產(chǎn)生解題錯(cuò)誤的原因，在警示作用下學(xué)到正確的解法。這是值得探討的課題！

失敗乃成功之母，謬誤為真理先導(dǎo)！

學(xué)生解題謬誤五花八門, 不自覺的差錯(cuò)事出有因。本文從數(shù)學(xué)解題糾錯(cuò)的意義、方法等側(cè)面進(jìn)行探討。通過糾錯(cuò),將學(xué)生解題謬誤分類整理，概略分析。把原因源歸因定性為：（一.似是而非假亂真；二.生搬硬套模仿秀：三.偷龍轉(zhuǎn)鳳調(diào)包計(jì)。）反思主因，并初探相應(yīng)的排障對策，規(guī)劃科學(xué)的導(dǎo)學(xué)組合。

1 似是而非假亂真

中數(shù)教學(xué)每堂新課幾乎都要出現(xiàn)新概念。本質(zhì)上，這些以文字、符號(hào)、公式、

性質(zhì)、定義、公理、定理等呈現(xiàn)出的均是概念。作為思維形式的顯性表現(xiàn)，數(shù)學(xué)概念具有類同性、排它性、抽象性、發(fā)展性等特點(diǎn)。概念反映的是“數(shù)”與“形”的本質(zhì)特征。而學(xué)生往往受已學(xué)概念的固化影響，并由于對舊概念產(chǎn)生的聯(lián)想，對新概念內(nèi)涵理解不深，僅僅停留在表層認(rèn)識(shí)上。顧名思義，一知半解。就容易產(chǎn)生以假亂真的謬誤。此類現(xiàn)象在學(xué)生解題過程中層出不窮。概念性“謬誤”通常有下述表現(xiàn)：

1．1 混淆概念的內(nèi)涵

如，倒數(shù)與相反數(shù)，前者是分子與分母倒置，后者是正負(fù)符號(hào)相左。乘方與冪，表示運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果的區(qū)別。差的平方與平方差，在于運(yùn)算順序不同。直角與90°，前者是角的名稱，后者是角度的量數(shù)。三角形對邊與對應(yīng)邊，是同一個(gè)三角形邊角關(guān)系區(qū)分不同三角形的對應(yīng)邊之間的關(guān)系。相似形與位似形，指圖形同為相似形但位似形對位置有嚴(yán)格要求。一元二次方程與二次函數(shù)，前者只是函數(shù)變量在當(dāng)它的值等于零時(shí)的特殊類型。

隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件，在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，這種偶然發(fā)生的現(xiàn)象叫做隨機(jī)現(xiàn)象；將試驗(yàn)結(jié)果稱為事件.在大量試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件(或偶然事件)。

在概率論中,排列與組合，要看問題是否和順序有關(guān)。有關(guān)就是排列，無關(guān)則為組合。如：甲乙兩人排隊(duì)，有站法是甲乙、乙甲兩種不同的排列，所以排列有A(2,2)=2種。再如：從甲乙兩個(gè)球中選2個(gè)，無論先取甲，還是先取乙，和取球的先后順序無關(guān)，所以組合有C(2,2)=1種。

互拆事件與對立事件，對立事件是試驗(yàn)結(jié)果的非此即彼；而互斥事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但彼此互斥的可以有很多：比如擲骰子，正面朝上是1和非1，這兩事件是對立事件；而正面朝上是1和正面朝上是2則是互斥事件。對立事件一定是互斥事件（因不能同時(shí)發(fā)生），但互斥事件則不一定是對立事件。

1．2 無視概念的擴(kuò)充

概念是最基本的思維形式，命題由概念構(gòu)成。正確地理解概念，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提。因此，數(shù)學(xué)的概念教學(xué)不可忽視。關(guān)于“數(shù)系”的擴(kuò)充，是在歷史長河中逐步演變的。人類從認(rèn)識(shí)自然數(shù)始，逐步擴(kuò)展至算術(shù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)…構(gòu)筑了現(xiàn)代的代數(shù)體系。如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)和在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解的結(jié)果是不同的。

概念具有確定性與靈活性。隨著年級(jí)的升高，數(shù)學(xué)知識(shí)的累積，概念的內(nèi)涵和外延會(huì)起變化。概念將不斷擴(kuò)充，逐步完善。教師應(yīng)告知學(xué)生數(shù)學(xué)概念是相對真理。若總是受舊概念思維定勢束縛，無視概念的擴(kuò)充，則解題必將出錯(cuò)。如 “角”這個(gè)概念的擴(kuò)充也是階段性的：最初僅限于對平角，周角的認(rèn)識(shí)。當(dāng)高中數(shù)學(xué)中把角擴(kuò)展到任意角之后，還往往有學(xué)生認(rèn)為第一象限的角都是銳角，即認(rèn)識(shí)還停留在舊概念上產(chǎn)生的誤解。

1．3 聯(lián)想產(chǎn)生負(fù)遷移

聯(lián)想的負(fù)遷移，即應(yīng)用之前所學(xué)的知識(shí)和方法解決遇到的新問題。如，由( xy)2=x2y2聯(lián)想得(a+b)2=a2+b2false由false聯(lián)想得a8÷a2=a4false；由a(m+n)=am+an聯(lián)想得sin(A +B)=sinA +sinB等等，都是聯(lián)想的負(fù)遷移所致。

教師需多進(jìn)行概念的比較教學(xué)設(shè)計(jì)。

A．點(diǎn)(-1,6)在它的圖象上

B．自變量的取值范圍是x≠0

C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小

D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大

在概念教學(xué)中多質(zhì)疑問難，消除由錯(cuò)誤的聯(lián)想產(chǎn)生的負(fù)遷移作用，以發(fā)展的眼光去捕捉新概念中的變異，澄清模糊認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生解惑，作為教師責(zé)無旁貸。

2 生搬硬套模仿秀

在“三角函數(shù)”一章中，有近二十個(gè)誘導(dǎo)公式。如果死記硬背這些公式，抓不住本質(zhì)（符號(hào)問題），極易出現(xiàn)生搬硬套的差錯(cuò)。

總結(jié)誘導(dǎo)公式的規(guī)律，教給學(xué)生一句口訣：“縱變橫不變，符號(hào)看象限”。但前提是需把角看作“銳角”再用公式。比如，用錯(cuò)公式falsecos(-α)=cosα的概率是很大的。常見下面類型的錯(cuò)解：

cos(-2π/3)=- cos(2π/3)=-cos(π-π/3)= cosπ/3=1/2

第一步就出現(xiàn)了不易察覺的錯(cuò)！本例中cos(π-π/3)的角π落在橫軸上，屬于“橫不變”，即函數(shù)名稱不變。但在“符號(hào)看象限”時(shí)忽視了把角-2π/3看作“負(fù)銳角”，而生搬硬套sin(-α)=-sinα這樣的同象限角的三角函數(shù)公式。正確的解法應(yīng)是：

c o s(-2 π/3)=c o s(2 π/3)= cos(π-π/3)=- cosπ/3=-1/2

在二次函數(shù)的教學(xué)中，有關(guān)符號(hào)的方向性意義應(yīng)得到充分的重視：如：

拋物線y=（x+2）2-3由拋物線y=x2平移得到,下列平移正確的是( D )

A. 先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位

B. 先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位

C. 先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位

D. 先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位

觀察力又是邏輯思維和推理的技能，學(xué)生對題中符號(hào)的觀察無疑是第一反應(yīng)。

從算術(shù)數(shù)擴(kuò)展至有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生處處受到“負(fù)數(shù)”及“減號(hào)”的困擾。加之?dāng)?shù)軸的方向性指引，一直以來，形成了頑固的思維定勢，生搬硬套使此題的解答正確率低。而此題正確的選項(xiàng)卻是( D )，令學(xué)生百思不得其解，教師要教懂他們需頗費(fèi)一番周折。

3 偷龍轉(zhuǎn)鳳調(diào)包計(jì)

邏輯思維與推理能力對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)至關(guān)重要。然而觀察力是思維的起點(diǎn)，是學(xué)生各項(xiàng)學(xué)習(xí)能力發(fā)展的基礎(chǔ)。如：

例1. 一副三角板如下圖疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為 ( )

75° B. 65° C. 60 D. 55°

初見本題，因它沒有顯性條件，似乎思路找不著北。進(jìn)入思考后卻發(fā)現(xiàn)內(nèi)有乾坤。它考察了低年級(jí)學(xué)生對三角形內(nèi)角和與外角定理的熟練應(yīng)用程度。是一道培育學(xué)生思維能力的好題！

從三角形全等的判定方法始，學(xué)生開始接觸幾何證明規(guī)范的書寫形式，關(guān)注題設(shè)與結(jié)論的因果關(guān)系。三角形全等中系統(tǒng)的判定方法是平面幾何證明的重要內(nèi)容，在幾何證明中有著廣泛的應(yīng)用。一般三角形全等有四條判定方法：“SSS”, “SAS”, “ASA”, “AAS”.此模型提供了明確的因果關(guān)系。在許多題中，給定的題設(shè)及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們細(xì)致的觀察、認(rèn)真地分析。根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在因素.使學(xué)生能進(jìn)一步深入探究。

例2.如圖，若點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上且∠AEB=∠ADC則無法判定

△ABE≌△ACD的條件是（ ）

A．AD=AE B．AB=AC

C．∠B=∠C D．BE=CD

（例1）

（例2）

圖形隱含的條件是公共角∠A．考慮各組判定方法的條件必考慮此公共角.此題有已知條件∠AEB=∠ADC，公共角∠A ，若再選擇∠B=∠C，因“角角角”定理不存在，三對角對應(yīng)相等不能判定三角形全等！經(jīng)以后的學(xué)習(xí)才知“角角角”只能判三角形相似。

任何數(shù)學(xué)命題均由條件與結(jié)論構(gòu)成。學(xué)生在解題時(shí)忽略條件，重視結(jié)論的現(xiàn)象普遍存在。其實(shí)，結(jié)論是在特定的條件下才產(chǎn)生的。對條件既不能遺漏，也不能外加；對條件存在的范圍既不能縮小，也不能擴(kuò)大。更不能把一般的條件特殊化。

要善于在審題時(shí)發(fā)現(xiàn)隱蔽條件，而這樣的條件極易被忽視。

為加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念及定理的理解，教師往往精選一些相關(guān)的題型鞏固新學(xué)的知識(shí)成果。如推出反比例函數(shù)自變量的值與函數(shù)值大小關(guān)系的比較題：

例3.已知（x1, y1）,（x2,y2）,（x3,y3）是反比例函數(shù)的圖象上的三個(gè)點(diǎn),

且y1＞y2＞y3＞0,則x1, x2, x3的大小關(guān)系是 （ ）

我們可從圖象上觀察到：分布在不同象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小比較與性質(zhì)

卻截然相反。丟棄性質(zhì)“在每個(gè)象限內(nèi)”的前提，就實(shí)施了偷龍轉(zhuǎn)鳳調(diào)包計(jì)。

習(xí)題錯(cuò)解警示：對概念當(dāng)理解本質(zhì)；對結(jié)果要追本窮源；對知識(shí)須靈活運(yùn)用。

在學(xué)生五花八門的解題亂象中，對癥下藥，從謬誤中求真諦，是教學(xué)的必要環(huán)節(jié)！

數(shù)學(xué)已然不是數(shù)字的運(yùn)算！它的觸角涉及廣泛：從整式的乘法與因式分解的互逆變形；由各類方程到不等式，把等量關(guān)系又?jǐn)U展至不等關(guān)系；多變的函數(shù)使數(shù)學(xué)由靜態(tài)過渡到動(dòng)態(tài)。數(shù)學(xué)世界，七彩繽紛，別有洞天。點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體，大千世界處處皆幾何；三角形、矩形、菱形、圓形…。圖中的邏輯關(guān)系闡明沒有規(guī)矩不成方圓的社會(huì)鐵律！

德國教育家第多斯惠精辟的指出：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于喚醒、鼓舞和激勵(lì)”。

三尺講臺(tái)，數(shù)學(xué)教師任重而道遠(yuǎn)。在課堂我們激發(fā)靈感、鼓勵(lì)置疑、拋磚引玉，引領(lǐng)蠻荒的大腦迸擦出智慧的火花。在課余我們致力于題型的發(fā)掘、教法的探討，為提升學(xué)生智能殫精竭慮。本文拓延——更應(yīng)運(yùn)用歸因理論，激發(fā)學(xué)生積極的歸因動(dòng)機(jī)。以導(dǎo)激學(xué)、以學(xué)促智。擬開展的主題研究：

（1）迷惑型,發(fā)掘?qū)W生批判選擇的能力。

（2）類比型,訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力。

（3）發(fā)散型,引導(dǎo)學(xué)生求異創(chuàng)新的能力。

作者單位
浙江體育職業(yè)技術(shù)學(xué)院