楊小鵬， 張宗傲， 孫雨澤， 閆路

(北京理工大學 信息與電子學院， 北京 100081)

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基于罰函數和特征空間的子陣級自適應波束形成

楊小鵬， 張宗傲， 孫雨澤， 閆路

(北京理工大學 信息與電子學院， 北京 100081)

基于線性約束最小方差(LCMV)準則的自適應波束形成算法在實際中得到了廣泛的應用，但當其應用到子陣級時，自適應方向圖主瓣變形且旁瓣升高，抗干擾性能嚴重下降. 針對這些問題，提出一種基于罰函數和特征空間的子陣級自適應波束形成算法，引入罰函數對自適應方向圖進行約束使其逼近期望的靜態(tài)方向圖；同時在干擾子空間約束波束響應為0，對干擾信號進行抑制. 該算法在有效抑制干擾的同時，能夠使主瓣保形并保持較低的旁瓣，還能獲得較好的輸出信干噪比. 通過陣列方向圖及輸出信干噪比的計算機仿真驗證該算法的有效性.

自適應波束形成；子陣級；線性約束；罰函數；干擾子空間

自適應數字波束形成(ADBF)算法在通信、雷達、聲吶、地震勘探和醫(yī)學圖像等領域有著廣泛的應用，一般情況下，自適應波束形成算法是在一定理想條件下提出來的，但是在實際環(huán)境中往往存在許多誤差以及非理想因素，面對復雜的電磁環(huán)境，穩(wěn)健性自適應波束形成算法[1-4]得到了廣泛的應用. 通常穩(wěn)健性自適應波束形成算法是在采樣矩陣求逆(SMI)算法[5]基礎上，通過對波束圖施加更多的約束. 線性約束最小方差準則(LCMV)是其中較常用的一種算法[6-8]，它通過對方向圖施加約束，在方向圖滿足一定的條件下計算最優(yōu)權矢量，使輸出功率最小. 但當其應用到子陣級時，會導致自適應方向圖主瓣變形且旁瓣升高，這將會嚴重影響后續(xù)的單脈沖測角性能以及雷達目標檢測性能. 通常通過陣元級加窗來獲得較低的旁瓣，但是對于子陣級LCMV自適應波束形成算法，在陣元級加窗并不能獲得較低的旁瓣，因為各子陣輸出功率不相等，從而導致一部分加窗效果被抵消掉[9].

為了解決這些問題，本文引入罰函數[10-12]對自適應方向圖進行約束以使主瓣保形、旁瓣降低，并約束干擾子空間的波束響應為0,對干擾信號進行抑制. 算法在自適應抑制干擾的同時，使得在子陣級得到的自適應方向圖主瓣保形且旁瓣降低，并且能夠獲得較好的輸出信干噪比性能. 由于在實際中干擾信號的方向不容易得到，因此為了構造干擾子空間，本文對協(xié)方差矩陣進行特征值分解，以此來估計所需的干擾子空間.

1 線性約束自適應算法

1.1 LCMV算法原理

考慮一N元均勻間隔線性陣列，有P個互不相關的窄帶干擾入射，則陣列接收信號為

(1)

式中：sm(t)為干擾信號的復包絡；θm為干擾信號入射方向；a(θm)為干擾信號的導向矢量；N(t)為背景噪聲，假設它為空間白噪聲且與干擾信號不相關. 令

A=[a(θ1)a(θ2) … a(θP)],

S(t)=[s1(t) s2(t) … sP(t)]T，

則式(1)可表示為

(2)

陣列協(xié)方差矩陣為

(3)

LCMV自適應權為以下最優(yōu)化問題的解

(4)

式中：w為求取的自適應權矢量；C為約束矩陣；f為約束響應向量. 構造代價函數φ(w)=wHRw+(wHC-f)λ+λ(CHw-fH)，求得自適應權矢量為

(5)

這里約束期望信號方向θ0的陣列增益為μ，μ為一常數.

1.2 算法子陣級實現的主要問題

在實際中，對于大型陣列，直接在陣元級進行自適應波束形成，運算復雜度很高，不利于實時實現，通常將大型陣列劃分為若干個子陣，在子陣級進行自適應波束形成. 這里將上述算法推廣到子陣級. 設子陣個數為L且P+1

T=WwinΦT0，

式中Wwin=diag[wn]n=1，2，…，N，其中wn為第n個陣元的加權系數，用于抑制方向圖的旁瓣電平；

表示移相器的作用，λ為信號波長，dn為第n個陣元與參考陣元之間的間距，θ0為期望信號方向，本文假設波束指向與期望信號方向一致，n=1，2，…，N. T0為N×L的子陣形成矩陣，在其第l(l=1，2，…，L)列的所有元素中，只有與第l個子陣的陣元序號相對應的元素值為1，其余均為0(在非重疊子陣的情況下，T0的列向量相互正交).

在子陣級進行自適應波束形成時，子陣級協(xié)方差矩陣為Rsub=THRT，在子陣級構造所需要的約束矩陣Csub以及相應的約束響應向量fsub，構造子陣級自適應權矢量求解的最優(yōu)化問題

(6)

求得子陣級的自適應權矢量為

(7)

此時波束指向處的導向矢量為

asub(θ0)=THa(θ0).

當LCMV算法應用到子陣級時，雖然可以對干擾進行有效地抑制，但是其方向圖的主瓣變形且旁瓣升高，抗干擾性能嚴重下降. 通常通過陣元級加窗來獲得較低的旁瓣，但是對于子陣級自適應波束形成，在陣元級加窗并不能獲得較低的旁瓣，因為各子陣輸出功率不相等，從而導致一部分加窗效果被抵消掉.

2 穩(wěn)健的子陣級自適應算法

在子陣級實現LCMV自適應波束形成算法時，雖然能有效地抑制干擾，但是算法會導致自適應方向圖主瓣發(fā)生變形、旁瓣電平升高，抗干擾性能嚴重下降，這將嚴重影響雷達性能. 為使得自適應方向圖逼近期望的靜態(tài)方向圖，修正方向圖主瓣以及降低方向圖旁瓣，以獲得良好的性能，本文利用罰函數其進行約束；對信號協(xié)方差矩陣進行特征值分解，估計出干擾子空間，并在此空間內約束波束響應為0，從而對干擾進行抑制.

2.1 基于罰函數的方向圖控制

罰函數的定義如下

(8)

式中：asub(θ)為對應空間角θ的子陣級導向矢量，wsub_q為期望方向圖的靜態(tài)權矢量，由它確定期望的靜態(tài)方向圖；h(θ)為一個合適的非負加權函數. 可以看出E反映了自適應方向圖與靜態(tài)方向圖的差異，罰函數E被認為是一個能量函數，E的大小反映了自適應方向圖按照某種要求逼近期望的靜態(tài)方向圖的程度.

引入罰函數后，自適應權矢量為以下最優(yōu)問題的解

(9)

式中：wsub為需要求取的子陣級自適應權矢量；Csub、fsub分別為子陣級的約束矩陣、約束響應向量，且

Csub=[asub(θ0) asub(θ1) … asub(θP)]，

fsub=[μ 0 … 0]1×(P+1)；

Zsub為L維矩陣，

asub(θ)=THa(θ)，

則

(10)

(11)

通過代價函數φ(wsub)對wsub求導數并令其為0，可以求得自適應權矢量為

(12)

其中Q=Zsub. 在實際應用中，矩陣Z的計算可以離線進行，所以改進后的算法增加的計算量很小. 這種基于罰函數約束的自適應波束形成算法，在抑制干擾的同時，能夠使得自適應方向圖逼近期望的靜態(tài)方向圖，從而獲得主瓣保形與旁瓣降低的效果.

2.2 基于干擾子空間的干擾抑制

由于干擾信號的方向不容易得到，也就不能直接獲得asub(θ1)，asub(θ2)，…，asub(θP)來構造約束矩陣Csub. 但是由陣列協(xié)方差矩陣分解得到干擾子空間，可以間接提取干擾角度信息，然后通過干擾特征矢量約束抑制干擾. 干擾信號個數可以通過MDL、AIC等算法估計得到.

對R進行特征值分解，得到

(13)

式中：λi(i=1，2，…，L)為協(xié)方差矩陣的特征值；ei為與特征值λi對應的特征向量，將λi由大到小排列λ1≥λ2≥…≥λP≥λP+1=…=λL，這里已經假設共有P個互不相關的干擾， Us=[e1e2… eP]為干擾子空間，Un=[eP+1eP+2…eL]為噪聲子空間，且

Λs=diag[λ1λ2…λP],

Λn=diag[λP+1λP+2… λL].

由數學知識可知矢量e1，e2，…，eP與矢量a(θ1)，a(θ2)，…，a(θP)張成同一個矢量空間，即

span[e1e2…eP]=

(14)

式中：span{·}表示矢量張成的矢量空間；Us=[e1e2…eP]即為干擾子空間的估計. 此時約束矩陣、約束響應向量可以構造為如下形式

(15)

其中θ0為期望信號方向. 此時利用公式就可以得到基于子空間的自適應權矢量. 這樣就能夠將算法在子空間進行實現，并且抑制了干擾.

2.3 算法的實現步驟

在實際應用中，需要實時的根據接收的回波數據計算自適應權矢量，然后對回波數據進行加權. 在應用本文提出的基于罰函數和特征空間的子陣級自適應波束形成算法計算自適應權值時，利用罰函數對方向圖進行約束，使其逼近期望的靜態(tài)方向圖；同時在干擾子空間內約束波束響應為0，對干擾進行抑制. 在計算自適應權矢量時，矩陣Z可以事先已經計算出來并存儲，期望的靜態(tài)方向圖權矢量wsub_q也已經確定，自適應權矢量計算步驟為：

① 利用回波數據估計協(xié)方差矩陣：

式中：K為快拍個數；Xsub(k)為k時刻子陣接收的回波信號.

④ 依據式(15)構造自適應權求解中的約束矩陣以及約束響應向量.

⑤ 由式(12)求得最終的自適應權矢量.

其中，步驟③中可以采用MDL、AIC等算法來估計干擾源的個數.

3 仿真分析

對本文提出的自適應波束形成算法的陣列方向圖以及輸出信干噪比進行仿真，比較分析該算法的性能. 仿真實驗中假設陣列為一均勻線陣，陣元間隔為半波長，陣元個數為52，將陣元劃分為10個子陣，陣元個數依次為10、7、4、4、1、1、4、4、7、10，為非重疊子陣劃分.

3.1 陣列方向圖分析

干擾信號的入射方向為-12°、18°，干噪比(INR)均為30 dB，波束指向為0°，快拍個數K=20，且窗函數為-40 dB泰勒窗，進行100次蒙特卡洛仿真.

如圖1(a)所示，改進前后的自適應算法都能在干擾方向形成零陷，對干擾進行有效地抑制；但是改進前算法的主瓣變形，而改進后算法的主瓣跟靜態(tài)方向圖的主瓣一致；改進前算法的旁瓣電平升高，而改進后算法的旁瓣電平較低，達到了靜態(tài)方向圖的旁瓣水平.

圖1(b)是加窗時的陣列方向圖仿真，可以看出，改進前后的算法都能在干擾方向形成零陷，對干擾進行有效地抑制；在加窗情況下，改進前算法的主瓣變形嚴重，而改進后算法的主瓣與靜態(tài)方向圖的主瓣一致；改進前算法的旁瓣電平較高，而改進后算法的旁瓣電平較低，達到了靜態(tài)方向圖的旁瓣水平.

通過對算法自適應陣列方向圖的仿真分析，可以得到本文提出的自適應波束形成算法能夠對干擾進行有效地抑制，且能夠使陣列方向圖的主瓣保形、旁瓣降低.

3.2 輸出信干噪比分析

3.2.1 不同快拍下的輸出信干噪比

干擾信號的入射方向為-12°、18°，干噪比均為30 dB，波束指向為0°，信噪比(SNR)為0 dB，快拍數為10～60，進行100次蒙特卡洛仿真.

如圖2所示，相同快拍下，改進后的算法輸出的信干噪比比改進前高；改進前算法的輸出信干噪比在快拍數約為50時收斂，而改進后算法的輸出信干噪比在快拍數約為20時就已經收斂，說明改進后算法的輸出信干噪比收斂速度快. 因此在相同快拍下，改進后算法具有較好的輸出信干噪比性能，尤其是在低快拍時，改進后的算法輸出信干噪比性能大幅度提高.

3.2.2 不同波束指向的輸出信干噪比

干擾信號的入射方向為-12°、18°，干噪比均為30 dB，波束指向為-40°～40°，信噪比為0 dB，快拍數為20，30，進行100次蒙特卡洛仿真結果如圖3.

從圖3可以看出，在同一波束指向處，改進前算法的輸出信干噪比較低，而改進后算法的輸出信干噪比較高；比較圖3(a)與圖3(b)，當快拍數從20變?yōu)?0時，改進前算法的輸出信干噪比變化較大，而改進后算法的輸出信干噪比變化很小，且都保持較高的水平，說明改進后算法對快拍數不敏感.

通過對算法輸出信干噪比的仿真及分析可知，改進后的自適應波束形成算法能夠獲得較高的輸出信干噪比，且對快拍個數不敏感，具有較好的輸出信干噪比性能.

4 結 論

針對在子陣級應用LCMV自適應波束形成算法時，導致方向圖主瓣變形且旁瓣升高從而導致抗干擾性能嚴重下降的問題，提出一種基于罰函數和特征空間的子陣級自適應波束形成算法. 該算法通過引入罰函數對自適應方向圖進行約束使其逼近期望的靜態(tài)方向圖；同時在干擾子空間約束波束響應為0，對干擾信號進行抑制. 由仿真結果可以看出，該算法能夠達到主瓣保形以及降低旁瓣的效果，同時能夠獲得較好的輸出信干噪比且對快拍數穩(wěn)健. 本文所提出的算法具有良好的抗干擾性能，是一種適用于子陣級自適應波束形成的穩(wěn)健算法.

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[2] 任超，王永慶.基于兩步最小均方的自適應方向圖控制算法[J].北京理工大學學報：自然科學版，2010，30(9):1090-1093.

Ren Chao， Wang Yongqing. Method of adaptive pattern control based on the two-step least-squares[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology: Science and Technology, 2010，30(9):1090-1093. (in Chinese)

[3] 任超，吳嗣亮，王菊，等.基于可變對角加載的穩(wěn)健孔氏波束形成算法[J].北京理工大學學報：自然科學版，2008，28(11):1008-1012．

Ren Chao， Wu Siliang， Wang Ju, et al. Robust space-time beamforming algorithm with variable biagonal loading[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology: Science and Technology, 2008，28(11):1008-1012. (in Chinese)

Adaptive Beamforming at Sub-Array Level Based on Penalty Function and Eigen-Space

YANG Xiao-peng， ZHANG Zong-ao， SUN Yu-ze， YAN Lu

(School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

Adaptive beamforming algorithm based on the linearly constrained minimum variance principle (LCMV) is widely applied in adaptive array processing. However, when LCMV is applied to the sub-array level, it causes the distortion of the mainlobe and heightening of the sidelobe. In order to solve these problems, an adaptive beamforming algorithm at sub-array level was proposed based on penalty function and eigen-space. In this proposed method, the penalty function was applied to control the adaptive pattern, meanwhile, interference was suppressed adaptively by setting constraints in interference subspace. Results show that, the proposed method can not only provide automatic suppression of jamming but also guarantee the adaptive pattern be close to the desired quiescent pattern, so that the mainlobe of the pattern is maintained and the level of the sidelobe is lowered. Furthermore, it provides better performance of output signal to interference plus noise ratio (SINR). Computer simulation results of array pattern and output SINR prove the validity of this proposed algorithm.

adaptive beamforming; sub-array level; linearly constraints; penalty function; interference subspace

2014-01-15

國家高等學校學科創(chuàng)新引智計劃(B14010)；國家自然科學基金資助項目(61225005，61120106004)

楊小鵬(1976—)，男，副教授，博士生導師，E-mail:xiaopengyang@bit.edu.cn.

張宗傲(1989—)，男，碩士生，E-mail:zongaozhang@126.com.

TN 957.2

A

1001-0645(2016)05-0541-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.05.019