蔡勇全

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={0，1，2}，則集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是（ ）.

A.1B.3C.5D.9

2.已知i是虛數(shù)單位，若（2-i）·z=i3，則z=（ ）.

A.15-25iB.-25+15i

C.-25-15iD.15+25i

3.命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為（）.

A.對任意x∈R，都有x2<0

B.不存在x∈R，都有x2<0

C.存在x0∈R，使得x20≥0

D.存在x0∈R，使得x20<0

4.某班有男生36人，女生18人，用分層抽樣的方法從該班全體學生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為（ ）.

A.6B.4C.3D.2

5.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且周期是π的是

（ ）.

A.y=2cos（2x+π2）

B.y=2cos（x+π2）

C.y=2sin（2x+π2）

D.y=2sin（2x+π2）

6.如圖1所示，在下列四個幾何體中，其三視圖中有且僅有兩個相同的是（ ）.

A.②③④B.①②③圖2

C.①③④ D.①②④

7.從1，3，5，7，9這5個奇數(shù)中選取3個數(shù)字，從2，4，6，8這4個偶數(shù)中選取2個數(shù)字，再將這5個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，且奇數(shù)數(shù)字與偶數(shù)數(shù)字相間排列，這樣的五位數(shù)的個數(shù)是（ ）.

A.180B.360

C.480D.720

8.某算法的程序框圖如圖2所示，則輸出S的值是（ ）.

A.6B.24

C.120D.840

9.已知點P在拋物線x2=4y上，且點P到x軸的距離與點P到此拋物線的焦點的距離之比為1∶3，則點P到x軸的距離是（ ）.

A.14B.12

C.1D.2

10.設偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x3.又函數(shù)g（x）=|xcos（πx）|，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在區(qū)間

[-12，32]上的零點個數(shù)為（ ）.

A.5B.6C.7D.8

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.二項式（2x3-12x2）5的展開式的常數(shù)項是.

12.在平面直角坐標系中，若點A（1，1），B（2，4），C（-1，3），則|AB-AC|= .

13.設函數(shù)f（x）=21-x，1-log2x，x≤1，x>1，則f（x）≤2時x的取值范圍是 .

14.已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線與圓x2+y2-4x+2=0有公共點，則該雙曲線離心率的取值范圍是 .

15.設滿足條件x2+y2≤1的點（x，y）構成的平面區(qū)域的面積為S1，滿足條件[x]2+[y]2≤

1的點（x，y）構成的平面區(qū)域的面積為S2（其中[x]、[y]分別表示不大于x、y的最大整數(shù)，例如[-0.3]=-1，[1.2]=1 ），給出下列結(jié)論：

①點（S1，S2）在直線y=x左上方的區(qū)域內(nèi)；

②點（S1，S2）在直線x+y=7左下方的區(qū)域內(nèi)；

③S1

④S1>S2.

其中所有正確結(jié)論的序號是 .

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+π6）+cos（2x-π3）.

（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值時x的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（C）=1，c=23，sinA=2sinB，求△ABC的面積.

17.（本小題滿分12分）在數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且Sn=n（n+1）2.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）設bn=an2n，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍.

18.（本小題滿分12分）某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”.為了了解本次競賽學生成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計.按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖（圖3），并做出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖4）（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）.

（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；

（Ⅱ）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取3名同學到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動，設ξ表示所抽取的3名同學得分在[80，90）的學生個數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學期望.

19.（本小題滿分12分）如圖5所示，直三棱柱ABC-A1B1C1

中，AB=BB1=12BC，∠ABC=90°，N、F分別為A1C1、B1C1的中點.

（Ⅰ）求證：CF⊥平面NFB；

（Ⅱ）求二面角B-NC-A的余弦值.

20.（本小題滿分13分）已知點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），動點G滿足|GF1|+|GF2|=22.

（Ⅰ）求動點G的軌跡Ω的方程；

（Ⅱ）已知過點F2且與x軸不垂直的直線l交（Ⅰ）中的軌跡Ω于P、Q兩點.在線段OF2上是否存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)） .

（Ⅰ）若k<0，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若k=2，當x∈（0，+∞）時，試比較f（x）與2的大??；

（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2（x1

參考答案

一、C A D C AA D C B B

二、11.-512.1013.[0，+∞）14.（1，2]15.①③

三、

16. 解（Ⅰ）由已知，得f（x）=sin（2x+π6）+cos（2x-π3）=32sin2x+12cos2x+12cos2x+32sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6）.當2x+π6=2kπ+π2，即x=kπ+π6（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取得最大值2.

（Ⅱ）由f（C）=2sin（2C+π6）=1得sin（2C+π6）=12，因為π6<2C+π6<2π+π6，所以2C+π6=5π6，解得C=π3.因為sinA=2sinB，根據(jù)正弦定理，得a=2b，由余弦定理，有c2=a2+b2-2abcosC，（23）2=4b2+b2-2×2b2cosπ3，解得b=2，a=4，故△ABC的面積S△ABC=12absinC=12×4×2×sinπ3=23.

17. 解（Ⅰ）當n=1時，a1=S1=1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n（n+1）2-（n-1）n2=n，經(jīng)驗證，a1=1滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式an=n.

（Ⅱ）由題意，易得Tn=12+222+323+…+n2n，則12Tn=122+223+324+…+n2n+1，兩式相減，得Tn-12Tn=

12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，所以Tn=2-n+22n.由于Tn+1-Tn=n+12n+1>0，則Tn單調(diào)遞增，故Tn≥T1=12，又Tn=2-n+22n<2，故Tn的取值范圍是[12，2）.

18. 解（Ⅰ）由題意可知，樣本容量n=

80.016×10=50，y=250×10=0.004，x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.

（Ⅱ）由題意可知，分數(shù)在[80，90）有5人，分數(shù)在[90，100]有2人，共7人.抽取的3名同學中得分在[80，90）的學生個數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，則P（ξ=1）=C15C22C37=535=17，P（ξ=2）=C25C12C37=2035=47，P（ξ=3）=C35C37=1035=27，所以ξ的分布列如下：

ξ123

p174727

故ξ的數(shù)學期望為

Eξ=1×17+2×47+3×27=157.

19. 解解法一

（Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥AB，BC⊥AB，B1B∩BC=B，所以AB⊥平面BB1C1C.又N、F分別為A1C1、B1C1的中點，所以AB∥A1B1∥NF，NF⊥平面BB1C1C.又因FC平面BB1C1C，所以NF⊥FC.取BC中點G，有BG=GF=GC，所以BF⊥FC，又NF∩FB=F，所以CF⊥平面NFB.

（Ⅱ）由題意，平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC.過點B做BH⊥AC于H，則BH⊥平面ACC1A1，所以BH⊥NC.過H做HE⊥NC于E，連結(jié)BE，所以NC⊥平面BEH，NC⊥BE，則∠BEH是二面角B-NC-A的平面角.

在Rt△ABC中，BH×AC=AB×BC.不妨設AB=a，則BH=AB×BCAC=255a.

因為BF=CF，所以在△BNC中，NC=BN=32a，BE×CN=BC×NG.又因為在Rt△BNG中，NG=52a，所以BE=BC×NGCN=253a，故在Rt△BEH中，sin∠BEH=BHBE=35，則cos∠BEH=45，二面角B-NC-A的平面角的余弦值為45.

解法二

（Ⅰ）以B1為坐標原點，B1B，B1C1，B1A1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.

不妨設AB=a，則B1（0，0，0），B（a，0，0），F(xiàn)（0，a，0），A1（0，0，a），C1（0，2a，0），N（0，a，a2），C（a，2a，0），則BF=（-a，a，0），F(xiàn)N=（0，0，a2），CF=（-a，-a，0），CF·BF=a2-a2=0，

CF·FN=0×

（-a）+0×（-a）+0×a2=0，所以CF⊥BF，CF⊥FN，又BF∩FN=F，所以CF⊥平面NFB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得CC1=（-a，0，0），A1C1=（0，2a，-a），BC=（0，2a，0），BN=（-a，a，a2），

設平面ACC1A1的一個法向量為n1=（x1，y1，z1），則有n1·CC1=0與n1·A1C1=0，

即-ax1=0與2ay1-az1=0，取y1=1，z1=2，

則n1=（0，1，2）.設平面BNC的一個法向量為n2=（x2，y2，z2），則有n2·BC=0與n2·BN=0，即2ay2=0與-ax2+ay2+a2z2=0，取x2=1，z2=2，則

n2=（1，0，2）.設二面

角B-NC-A的平面角大小為θ，則由n1·n2=|n1||n2|cosθ得二面角B-NC-A的平面角的余弦值為45.

20. 解（Ⅰ）由|GF1|+|GF2|=22，且

|F1F2|<22知，動點G的軌跡是以F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為焦點的橢圓，設橢圓的標準方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0），c=a2-b2， 由題知，c=1，a=2，則b2=a2-c2=2-1=1，故動點G的軌跡Ω的方程是x22+y2=1.

（Ⅱ）假設在線段OF2上存在M（m，0）（0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，MP=（x1-m，y1），MQ=（x2-m，y2），PQ=（x2-x1，y2-y1），其中x2-x1≠0.由于以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以（MP+MQ）⊥PQ，則有（MP+MQ）·PQ=0，從而有（x2+x1-2m，y2+y1）·（x2-x1，y2-y1）=0，所以（x2+x1-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，又因y=k（x-1），則有y2-y1=k（x2-x1），y2+y1=k（x1+x2-2），故上述式子可以變形為（x1+x2-2m）+k2（x1+x2-2）=0，將x1+x2=4k21+2k2代入上式，可以得到（4k21+2k2-2m）+k2（4k21+2k2-2）=0，即2k2-（2+4k2）m=0，所以m=k21+2k2（k≠0），可知0

（0，12）.

21. 解（Ⅰ）由f ′（x）=kex-2x可知，當k<0時，由于x∈（0，+∞），f ′（x）=kex-2x<0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).

（Ⅱ）當k=2時，f（x）=2ex-x2，則f ′（x）=2ex-2x，令h（x）=2ex-2x，h′（x）=2ex-2，由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex-2>0，于是h（x）=2ex-2x在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，所以h（x）=2ex-2x>h（0）=2>0，即f ′（x）=2ex-2x>0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，從而f（x）=2ex-x2在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，故f（x）=2ex-x2>f（0）=2.

（Ⅲ）函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，則x1，x2是f ′（x）=kex-2x=0 的兩個根，即方程k=2xex有兩個根，設φ（x）=2xex，則φ′（x）=2-2xex，當x<0時，φ′（x）>0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）<0；當00，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）>0；當x>1時，φ′（x）<0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減且φ（x）>0.要使方程k=2xex有兩個根，只需0

（收稿日期：2015-12-12）