許楊劍,武鵬偉,許 雷,梁利華

(浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

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含孔洞的顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料力學(xué)性能研究

許楊劍,武鵬偉,許 雷,梁利華

(浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

研究了顆粒體積分?jǐn)?shù)、粒徑、材料特性和孔洞等因素對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的影響.通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)了二維RVE模型構(gòu)建，并給出了周期性位移邊界條件施加過(guò)程.基于ABAQUS二次開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)均勻化方法，并用該方法計(jì)算分析了RVE的力學(xué)響應(yīng).研究表明：軟化顆粒比增強(qiáng)顆粒對(duì)基體力學(xué)性能的影響范圍大，孔洞缺陷對(duì)基體的力學(xué)性能具有嚴(yán)重的削弱作用.

復(fù)合材料；均勻化；代表性體積單元；周期性邊界條件

顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料是通過(guò)在基體材料中添加增強(qiáng)顆粒而形成的，其具有許多優(yōu)良的性能，被廣泛應(yīng)用于航天、國(guó)防和汽車(chē)等工程領(lǐng)域.由于制造過(guò)程易產(chǎn)生孔洞等缺陷，其細(xì)觀結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，所以目前對(duì)其力學(xué)性能的研究大多采用細(xì)觀力學(xué)分析方法.其中，基于代表性體積單元(RVE)的均勻化方法是一種能有效反映復(fù)合材料宏觀力學(xué)性能與組分材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)參量間關(guān)系的細(xì)觀力學(xué)分析方法[1-2].Segurado等[3]通過(guò)有限元法研究了增強(qiáng)顆粒分布對(duì)RVE拉伸加載時(shí)力學(xué)性能的影響.李偉等[4]研究了增強(qiáng)顆粒粒徑分布對(duì)復(fù)合材料力學(xué)性能的影響，建立了一個(gè)粒子統(tǒng)計(jì)分布的細(xì)觀等效力方法.崔文凱等[5]提出了一種復(fù)合材料單胞模型生成和網(wǎng)格劃分算法，但其邊界上顆粒沒(méi)有按照周期性分布.El等[6]研究了不同顆粒形狀對(duì)RVE的等效參數(shù)的影響，并給出了等效參數(shù)隨顆粒含量變化的函數(shù).Spaggiari等[7]利用有限元法研究了含有球形和橢圓形孔洞聚合物基復(fù)合材料，表明孔洞含量比孔洞分布對(duì)基體的影響大.有限元軟件ABAQUS因具有較好的二次開(kāi)發(fā)能力及非線性求解功能，而得到廣泛的應(yīng)用[8-10].

針對(duì)RVE模型的不足之處，通過(guò)Fortran編程構(gòu)建含顆粒/孔洞的RVE模型，并對(duì)其施加周期性邊界條件(PBC).目前，均勻化計(jì)算多數(shù)是基于非商業(yè)有限元程序進(jìn)行計(jì)算分析的，大大阻礙了該方法的發(fā)展和應(yīng)用.針對(duì)這一問(wèn)題，基于ABAQUS計(jì)算平臺(tái)，應(yīng)用多個(gè)用戶自定義程序接口，實(shí)現(xiàn)均勻化計(jì)算，并系統(tǒng)地研究了含孔洞的顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料在不同狀況下的力學(xué)響應(yīng)，對(duì)于顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的設(shè)計(jì)提供一定的借鑒作用.

1 RVE建模

復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)上顆?；蚩锥葱螤?，大小和分布均具有很大的隨機(jī)性.采用Fortran語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)隨機(jī)生成不同直徑的圓形顆?；蚩锥矗嗫梢陨赏淮笮≈睆降念w?；蚩锥矗译S機(jī)分布的二維RVE模型.快速生成RVE的流程，如圖1所示.

在RVE中，含顆?；蚩锥瓷蛇^(guò)程區(qū)別在于在ANSYS中基體和顆粒之間進(jìn)行不同的布爾操作.RVE模型的邊界上有顆粒分布，且顆粒呈周期性分布，RVE有限元模型劃分對(duì)稱(chēng)網(wǎng)格便于施加PBC(注：PBC的施加詳見(jiàn)后文).圖2顯示了構(gòu)造的顆粒20%孔洞5%RVE有限元模型.值得注意的是在RVE區(qū)域內(nèi)投放顆?；蚩锥吹奈恢门c隨機(jī)數(shù)有關(guān)，編程產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān).因此，當(dāng)模型參數(shù)確定時(shí)，生成的顆?；蚩锥捶植记闆r是確定的.

圖1 RVE建模及分析流程圖Fig.1 Flowchart of RVE modeling and its analysis

所構(gòu)建分析的RVE的尺寸大小均為1×1 mm，單元類(lèi)型均為平面應(yīng)變單元，后續(xù)計(jì)算分析的加載方式均為單向拉伸.基體為環(huán)氧樹(shù)脂，彈性模量為Em=3.5 GPa，泊松比μm=0.35，屈服強(qiáng)度σs=35 MPa，切線模量Gm=0.1 GPa.顆粒為二氧化硅，彈性模量Ef=80 GPa，泊松比μf=0.23.

圖2 RVE有限元模型Fig.2 Finite element model of RVE

2 周期性邊界條件

復(fù)合材料宏觀上呈現(xiàn)出RVE重復(fù)疊加的周期性分布，對(duì)其進(jìn)行均質(zhì)化計(jì)算施加周期性邊界條件更符合真實(shí)力學(xué)響應(yīng).RVE的邊界上需要滿足邊界上沒(méi)有分離也沒(méi)有重疊的變形協(xié)調(diào)條件和相對(duì)邊上的應(yīng)力矢量的方向相反大小相同的應(yīng)力連續(xù)條件.對(duì)RVE施加周期性位移邊界條件，能夠滿足以上兩個(gè)條件[11].

2.1 公式推導(dǎo)

對(duì)于具有周期性分布結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料，Suquet[12]給出了周期性位移場(chǎng)的表達(dá)式為

(1)

Xia等[13]給出了平行邊界面的三維RVE模型周期性邊界條件的一般性表達(dá)形式為

(2)

2.2 有限元實(shí)現(xiàn)

采用二維RVE模型，邊界示意圖，如圖3所示，將其邊界上的節(jié)點(diǎn)分為角節(jié)點(diǎn)和非角節(jié)點(diǎn)兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)形式.

圖3 RVE邊界條件示意圖Fig.3 Illustration of RVE boundary condition

在ABAQUS中，實(shí)現(xiàn)周期性邊界條件需要將邊界上節(jié)點(diǎn)的約束方程轉(zhuǎn)換到內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)上.若邊界上節(jié)點(diǎn)的約束方程組非獨(dú)立，直接將約束方程施加到模型上會(huì)出現(xiàn)過(guò)約束問(wèn)題，導(dǎo)致無(wú)法進(jìn)行計(jì)算.為了避免過(guò)約束問(wèn)題，需要消除約束方程組中非獨(dú)立方程.根據(jù)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系及式(2)，可消除非獨(dú)立約束方程，得到兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)約束方程組，即

(3)

(4)

式(3，4)通過(guò)Python script編程線性多點(diǎn)約束(MPC)的方式進(jìn)行施加，線性多點(diǎn)約束方程的表達(dá)式為

(5)

其中：Cn為相關(guān)系數(shù)，需要指定數(shù)值；n為線性多點(diǎn)約束方程的項(xiàng)數(shù).

值得注意的是式(3，4)右邊RVE模型內(nèi)的平均應(yīng)變通過(guò)關(guān)聯(lián)參考點(diǎn)，作為MPC方程的一項(xiàng).施加線性多點(diǎn)約束方程的節(jié)點(diǎn)只能是節(jié)點(diǎn)集，包括參考點(diǎn)亦要建立節(jié)點(diǎn)集，邊界上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)建立獨(dú)立集合是必要的.

3 均勻化求解

在RVE區(qū)域內(nèi)，應(yīng)用體積均勻化方法，其平均應(yīng)力和平均應(yīng)變計(jì)算公式分別為

(6)

其中：σij，εij分別為RVE的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)變量；V為RVE的體積.

在ABAQUS中，Standard求解器求解非線性問(wèn)題采用Newton-Raphson算法.基體彈塑性材料模型，在用戶自定義子程序UMAT中，采用J2彈塑性流動(dòng)理論實(shí)現(xiàn).

在RVE求解過(guò)程中計(jì)算每個(gè)增量步的平均應(yīng)力應(yīng)變.首先通過(guò)用戶自定義子程序UEXTERNALDB從外部文件中讀取單元節(jié)點(diǎn)信息；然后通過(guò)用戶自定義子程序URDFIL讀取每個(gè)增量步的各個(gè)積分點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變值；最后在UEXTERNALDB中，將(6)分別展開(kāi)為式(8，9)，計(jì)算平均應(yīng)力和平均應(yīng)變，并寫(xiě)到外部文件，其表達(dá)式為

(7)

(8)

4 計(jì)算分析

為了研究孔洞體積分?jǐn)?shù)對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的影響，探究顆粒和孔洞為單一因素時(shí)對(duì)基體的影響情況是必要的.故首先分析顆粒體積分?jǐn)?shù)，顆粒材料，粒徑對(duì)基體的影響.然后分析孔洞體積分?jǐn)?shù)，孔徑對(duì)基體的影響.最后分析孔洞體積分?jǐn)?shù)對(duì)顆粒增強(qiáng)基體的影響.

4.1 顆粒體積分?jǐn)?shù)、材料、粒徑對(duì)基體的影響

圖4為在不同的顆粒體積分?jǐn)?shù)下考慮顆粒直徑隨機(jī)分布的等效應(yīng)力—等效應(yīng)變關(guān)系圖.在此每種含量作5組顆粒隨機(jī)分布的模擬分析.顆粒體積分?jǐn)?shù)接近0%時(shí)，響應(yīng)曲線與輸入的基體材料曲線非常相近，這驗(yàn)證了均勻化計(jì)算編程的正確性.顆粒體積分?jǐn)?shù)越高，對(duì)基體的增強(qiáng)作用越明顯.在同一顆粒體積分?jǐn)?shù)下，顆粒的隨機(jī)分布對(duì)RVE響應(yīng)曲線有一定影響，但影響不大.在同一等效應(yīng)變下，顆粒體積分?jǐn)?shù)越高，較前一顆粒體積分?jǐn)?shù)等效應(yīng)力的增量值就越大，這進(jìn)一步表明：顆粒體積分?jǐn)?shù)越大，增強(qiáng)作用越明顯.

圖4 考慮不同顆粒含量的RVE等效應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.4 The equivalent stress-strain curves of RVE with different particle fraction

圖5為顆粒體積分?jǐn)?shù)為20%時(shí)，12組模量比(基體材料參數(shù)不變，改變顆粒的彈性模量)的RVE響應(yīng)曲線.當(dāng)Ef大于Em時(shí)，顆粒對(duì)RVE有顯著的增強(qiáng)作用；且隨著Ef的增大，其對(duì)RVE的增強(qiáng)作用越明顯.但Ef增加到足夠大時(shí)，其增強(qiáng)作用將不明顯.當(dāng)Ef小于Em時(shí)，對(duì)RVE有軟化作用；且隨著Ef的減小，其軟化作用越明顯.但Ef減少到足夠小時(shí)，其軟化作用不再明顯，此時(shí)可以把顆粒近似看作孔洞.從增強(qiáng)和軟化范圍角度分析，顆粒軟化范圍比增強(qiáng)范圍大.因此，當(dāng)制備顆粒軟化復(fù)合材料時(shí)，顆粒材料彈性模量選取范圍較顆粒增強(qiáng)時(shí)的大.

圖5 考慮顆粒材料變化的RVE等效應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.5 The equivalent stress-strain curves of RVE with different particle material

圖6為顆粒體積分?jǐn)?shù)為20%時(shí)同一粒徑(考慮兩種情況：0.04 mm和0.1 mm)對(duì)RVE的影響.每種粒徑下考慮5種隨機(jī)分布.從圖6中可知：顆粒越細(xì)小，表現(xiàn)出越好的力學(xué)性能.對(duì)于兩種不同的粒徑，它們?cè)趶椥噪A段有著明顯的界線；但是塑性階段界線變得不太明顯，相同粒徑之間有微小波動(dòng)，這說(shuō)明顆粒的隨機(jī)分布對(duì)于塑性階段影響更大.

圖6 在同一粒徑下 RVE的等效應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.6 The equivalent stress-strain curves of RVE at the uniform particle diameter

4.2 孔洞體積分?jǐn)?shù)，孔徑對(duì)基體的影響

圖7為考慮不同孔洞體積分?jǐn)?shù)下RVE的響應(yīng)曲線.孔洞體積分?jǐn)?shù)小于5%時(shí)，每種體積分?jǐn)?shù)只作了1組算例，而其余每一體積分?jǐn)?shù)各作了5組算例.從圖7中可知：體積分?jǐn)?shù)越高，對(duì)基體的削弱作用越明顯.當(dāng)體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)，進(jìn)入塑性階段后，等效應(yīng)力變化趨于平緩.當(dāng)體積分?jǐn)?shù)達(dá)到30%以上，進(jìn)入到塑性階段后，等效應(yīng)力有一定斜率的增加.隨著孔洞體積分?jǐn)?shù)的增加，相同邊界條件下，其等效應(yīng)變數(shù)值越小，且對(duì)于30%和40%響應(yīng)曲線，它們之間后段有部分交叉.此外，從圖7中也可以觀察到：當(dāng)孔洞體積分?jǐn)?shù)較小(小于5%)時(shí)，其等效應(yīng)力已經(jīng)大幅下降，也就意味著基體已被嚴(yán)重削弱.在同一孔洞體積分?jǐn)?shù)下，相較顆粒增強(qiáng)材料，孔洞分布對(duì)RVE響應(yīng)曲線有較大的影響.當(dāng)體積分?jǐn)?shù)增加時(shí)，影響略有減少，原因在于體積分?jǐn)?shù)較大時(shí)孔洞分布相對(duì)均勻，分布的影響則減小.

圖7 考慮不同孔洞體積分?jǐn)?shù)的RVE等效應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.7 The equivalent stress-strain curves of RVE with different void fractions

圖8為孔洞體積分?jǐn)?shù)為20%時(shí)同一孔徑(考慮兩種情況：0.04 mm和0.1 mm)對(duì)RVE的影響.孔洞越細(xì)小，表現(xiàn)出越好的力學(xué)性能.兩種孔徑的響應(yīng)曲線，彈性階段界線不明顯，塑性階段界線開(kāi)始變得非常明顯，相同孔徑下顆粒的響應(yīng)曲線有較大波動(dòng)，這說(shuō)明孔洞的隨機(jī)分布對(duì)于塑性階段有著更大的影響.復(fù)合材料制備時(shí)應(yīng)盡量減小大孔徑的孔洞出現(xiàn)，以保證得到較好的力學(xué)性能.

圖8 同一孔徑下RVE的等效應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.8 The equivalent stress-strain curves of RVE at the uniform void diameter

4.3 孔洞體積分?jǐn)?shù)對(duì)顆粒增強(qiáng)基體的影響

由于顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料在制造過(guò)程中產(chǎn)生孔洞缺陷的含量不太大，所以在此分析了0.5%，1%，2%，5%孔洞體積分?jǐn)?shù)對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料(考慮顆粒體積分?jǐn)?shù)為20%)的影響.每種體積分?jǐn)?shù)下分別考慮了兩組算例，結(jié)果見(jiàn)圖9.孔洞體積分?jǐn)?shù)越大，對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的削弱作用越加明顯，且分布對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的影響較大.當(dāng)在孔洞體積分?jǐn)?shù)為0.5%，1%，2%時(shí)，孔洞對(duì)基體的弱化作用非常明顯，但是體積分?jǐn)?shù)大于2%以后，其分布非常接近，即，隨著孔洞再增大，其弱化作用趨于相近.這一結(jié)論與孔洞對(duì)純基體的影響大致一致.在顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料加工過(guò)程中，應(yīng)盡量避免孔洞缺陷的產(chǎn)生.即便是小缺陷也會(huì)對(duì)材料的綜合性能產(chǎn)生較大影響.

圖9 孔洞體積分?jǐn)?shù)對(duì)顆粒增強(qiáng)材料的影響Fig.9 The effect of void volume fraction on particle reinforced material

5 結(jié) 論

通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)了含顆粒/孔洞的RVE模型構(gòu)建，并對(duì)其施加了周期性邊界條件.同時(shí)，基于ABAQUS二次開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)了細(xì)觀力學(xué)的均勻化方法在商業(yè)軟件中的應(yīng)用.計(jì)算分析了各個(gè)因素對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的影響.結(jié)果表明：隨著顆粒體積分?jǐn)?shù)的增加，其對(duì)基體的增強(qiáng)作用越加明顯，且顆粒越細(xì)性能也越好，但是顆粒體積分?jǐn)?shù)的影響起到主導(dǎo)作用.此外，顆粒軟化較顆粒增強(qiáng)對(duì)基體力學(xué)性能的影響范圍大；隨著孔洞體積分?jǐn)?shù)的增加，其對(duì)基體的削弱作用越加明顯，且孔徑越大削弱作用也會(huì)增加，但是孔洞體積分?jǐn)?shù)的影響起到主導(dǎo)作用；孔洞缺陷對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的力學(xué)性能具有嚴(yán)重的削弱作用，即便是小缺陷也會(huì)對(duì)材料的綜合性能產(chǎn)生較大影響.以上結(jié)論為顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的制備提供有意義的指導(dǎo)作用.

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(責(zé)任編輯：劉 巖)

Study on mechanical properties of particle reinforced composite materials containing voids

XU Yangjian, WU Pengwei, XU Lei, LIANG Lihua

(College of Mechanical Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

The effects of particle volume fraction, particle diameter, particle material property and void etc. on particle reinforced composites were studied. A two-dimensional RVE model was built by programming, and the periodic displacement boundary conditions were given. Homogenization method was implemented by second development in the platform of ABAQUS, and the mechanical response of RVE was calculated and analyzed by using this method. The study shows that the influence range of softening particles on the mechanical properties of the matrix is larger than reinforcing particles, and its mechanical properties were greatly weakened by the void defects.

composite; homogenization; representative volume element; periodic boundary conditions

2016-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375448,51375447)

許楊劍(1979—)，男，浙江東陽(yáng)人，副教授，研究方向?yàn)楣腆w力學(xué)，E-mail：xuyangjian571@163.com.

TB332

A

1006-4303(2016)05-0564-05