江蘇省海門市四甲初級(jí)中學(xué)　張　丹

從一道中考題剖析幾何中有關(guān)圓的問題

江蘇省海門市四甲初級(jí)中學(xué)張丹

數(shù)學(xué)的幾何試題是一種將計(jì)算與平面證明融為一起的推斷問題，真正體現(xiàn)了邏輯思維的運(yùn)用。很多初中學(xué)生的邏輯思維能力不強(qiáng)，做題的過程推理不嚴(yán)密，時(shí)有“卡殼”現(xiàn)象，究其原因在于儲(chǔ)存的幾何知識(shí)欠缺。當(dāng)幾何試題中有圓圖形出現(xiàn)時(shí)，更是底氣不足，一個(gè)重要的原因就是對(duì)有圓的圖形所涉及到的內(nèi)涵和外延都是一知半解。不能夠挖掘內(nèi)涵，就找不到要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系；不能理順外延，就排除不了試題設(shè)置的障礙。怎樣才能做到充分認(rèn)識(shí)幾何試題中圓涉及到的內(nèi)涵和外延呢？本文從2016年的江蘇南通的一道中考試題說起，通過剖析試題讓我們?cè)俅晤I(lǐng)略中考試題的風(fēng)采，找尋其試題的奧秘所在。

中考；剖析；圓；幾何

進(jìn)入初三，學(xué)生面臨的升學(xué)壓力越來越大，自然而然覺得掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)越來越不夠用。幾何問題從線形的變換到數(shù)值計(jì)算的容易，使學(xué)生“壓力山大”。包涵著邏輯推理的幾何問題在學(xué)生的認(rèn)知層面開始深化，體現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的思維里悄無聲息的形成。這是一個(gè)關(guān)鍵時(shí)期，是為高中乃至于大學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)的階段，讓學(xué)生真正能夠形成學(xué)科素養(yǎng)。

一、剖析典例挖掘試題的真正內(nèi)涵

【例題】（2016年南通市初中畢業(yè)升學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知：如圖1，AM為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過⊙O上一點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB

（1）求∠AOB的度數(shù)

（2）若⊙O的半徑為2cm，求線段CD的長(zhǎng)

圖1

【試題分析】從圖形可知，AM是⊙O的切線，BD是⊙O的割線，OA與BD平行，可以發(fā)現(xiàn)一些特殊的圖形，如四邊形AOBD是直角梯形。另一方面OC是一條角平分線，它有平分角的作用，能否形成特殊角？只有認(rèn)真去挖掘圖形中的這些內(nèi)涵，就可以找到解決問題的方法。

（1）根據(jù)題干已知OC平分∠AOB，就可以得出平分得到的兩個(gè)角相等，即是∠AOC=∠COB；必須將這兩個(gè)相等的角應(yīng)用到推理中去。

根據(jù)題干已知AM切⊙O于點(diǎn)A，可以挖掘出來OA⊥AM，再由已知BD⊥AM，就能得到OA∥BD，由夾在平行線中的內(nèi)錯(cuò)角相等推斷出∠AOC=∠OCB。

利用同圓的半徑相等來分析△OBC，OC=OB，△OBC是等腰三角形，而∠OCB=∠B，等腰三角形的頂角和底角相同，說明△OBC是等邊三角形，因此就可以得到∠B=∠OCB=∠COB=60°，故可以推斷∠AOB=120°

（2）方法是多樣的，可以真正體驗(yàn)圓所涉及到的內(nèi)涵和外延。方法1：可以在等邊三角形△OBC中，過點(diǎn)O作輔助線OE⊥BC于E，即是等邊△OBC邊BC上的高，如下圖2：

圖2

可知四邊形AOED為矩形，矩形的對(duì)邊相等，⊙O的半徑為2cm，即OD=AO=2cm；

在由BC=2cm，CE=BE=1cm得出CD=BE=CE=1cm

方法2：連接AC，如圖3。因?yàn)椤螼CA=∠AOC=60°，直角三角形ACD是特殊角三角形。

圖3

△AOC≌△COB，是對(duì)邊三角形，AC=2cm，推斷出OD=AC=1cm。

二、分析典例體驗(yàn)命題的發(fā)展方向

從以上典例分析可以發(fā)現(xiàn)，中考試題注重考查的是幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、解題的基本技能，因此在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)必須從基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知和應(yīng)用等方面出發(fā)，緊扣分析和解決問題的方法培養(yǎng)。

（1）因?yàn)樵囶}關(guān)注了對(duì)幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，所以，在這里試題的分析過程中需要利用圓豐富的元素將復(fù)雜幾何圖形中分解成為簡(jiǎn)單、基本的圖形，如等腰三角形、直角三角形等，從而提升學(xué)生利用基本圖形挖掘基本元素之間的關(guān)系的能力。

（2）無論是幾何證明題還是幾何計(jì)算題，推理論證是必要的過程，在平時(shí)學(xué)習(xí)中可以借助于圓中的直徑、半徑、圓周角等元素的特征，整合學(xué)生已掌握的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將這些已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行靈活的運(yùn)用。

（3）在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要不斷地挖掘圓的元素及其內(nèi)涵，譬如直徑所對(duì)的圓周角為直角，可以構(gòu)成直角三角形，也可以分散到兩條直線垂直知識(shí)方面；另外還可以從圓的外延出發(fā)，用一些熟知的定理如切割線定理、相交線定理來證明或者計(jì)算有關(guān)圓的幾何問題，不斷豐富學(xué)生的解題方法和技巧。

總之，通過2016年的江蘇南通的一道有關(guān)圓的經(jīng)典中考試題的剖析，讓我們不但領(lǐng)略到了中考試題的風(fēng)采，而且通過試題探究明確了其真正的內(nèi)涵以及所折射出來的外延。

［1］何國(guó)偉，楊德焱.一道中考幾何計(jì)算題解法的探究與啟示［J］.《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》，2011（5）：16-18.

［2］吳永剛.在偶然與必然之間徜徉探究——對(duì)一道中考幾何試題的再研究［J］.《中學(xué)數(shù)學(xué)》，2010（10）：60-61.

［3］張宏政.幾何題的分析首先從邏輯關(guān)系入手——從一道中考錯(cuò)題談起［J］.《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》，2013（1）：62-64.