陳 澤，胡明勇，趙 奇，范二榮

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凸二次曲面的工藝球面補償檢測

陳 澤1,2，胡明勇3，趙 奇3，范二榮3

( 1. 中國科學院南京天文儀器研制中心，南京210042；2. 中國科學院大學，北京100049；3. 合肥工業(yè)大學光電技術(shù)研究院，合肥 230009 )

在非球面的檢測中，工藝球面補償檢測是最普遍的方法。針對該方法適用范圍的局限性，本文提出了應(yīng)用工藝球面補償檢測時非球面所必須滿足的條件。根據(jù)波像差理論和瑞利判據(jù)，推導出凸二次曲面能夠應(yīng)用工藝球面補償檢測所必須滿足的條件，并采用有限距離正面補償檢測的方法，對工藝球面補償檢測的局限性提出了改進。最終結(jié)果表明本文所提出的理論能夠判定，所需要研制的凸雙曲面鏡不能直接應(yīng)用工藝球面補償檢測，而組合補償檢測方法能夠保證凸雙曲面的面形精度PV=0.159 8優(yōu)于/6(=632.8 nm)，滿足技術(shù)指標。

光學檢測；瑞利判據(jù)；凸二次曲面；像差理論

0 引 言

目前，非球面鏡的檢測主要分為接觸式檢測和非接觸式檢測兩大類。接觸式檢測中最常見的就是輪廓儀測量方法[1]。1856年，F(xiàn)u Ke Lewin發(fā)明了刀口儀[2]。20世紀70年代，數(shù)字干涉儀的問世。這都使得在加工或是最終檢測過程中非接觸式的檢測成為可能。非球面鏡的光學檢測方法直接決定了非球面鏡的加工精度與加工效率。非球面鏡的檢測中，凸非球面的檢測比凹非球面的檢測更加復雜，主要是因為其需要有一束至少同等口徑的會聚光束[3]才能夠?qū)崿F(xiàn)。在20世紀70年代Wyant等提出了計算全息圖(Computer Generated Hologram，CGH)檢測方法[4]，至今CGH檢測方法得到了長足的發(fā)展，這對于凸非球面鏡的檢測具有劃時代意義。但CGH方法檢測大相對孔徑的非球面鏡時存在著全息干涉片加工困難，制造成本相對高昂[5]。此外，凸非球面鏡的檢測還有子孔徑拼接法[6]，offner補償器檢測法[7]，工藝球面補償檢測法等。

工藝球面補償檢測方法無疑是凸二次曲面鏡檢測方法中最為方便，成本最低的一種方法。但是工藝球面補償檢測方法也有其適用條件以及應(yīng)用范圍，但遺憾的是迄今為止還沒有任何文獻對此進行過完善的分析。本文從波像差理論出發(fā)，提出了工藝球面補償檢測的波前像差的計算方法，分析了該檢測方法能夠得以應(yīng)用而應(yīng)該滿足的條件，并在理論分析的基礎(chǔ)上提出了工藝球面補償檢測方法的改進措施。

1 工藝球面補償檢測方法分析

1.1 以工藝球面為反射面的補償檢測方法

凸二次曲面鏡的技術(shù)參數(shù)：全口徑為500 mm，頂點曲率半徑為900 mm，材料為熔石英，中心厚度為70 mm，圓錐系數(shù)2=1.05，面形精度要求PV≤/6。

工藝球面補償檢測如圖1所示，即將非球面作為凸面，透鏡的第二面加工為工藝球面，用球面的固有球差補償非球面的法線像差。在非球面的有限元距離處放置點光源，工藝球面鍍上反射膜，使得同等口徑光束經(jīng)過球面反射后沿原路返回在光源處形成干涉。

圖1 工藝球面補償檢驗

由圖2所示的Ray fan曲線可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過設(shè)計優(yōu)化后整個系統(tǒng)的球差峰值依然很大，特別是在入瞳0.8環(huán)帶以后達到球差峰值，彌散斑達到了50 μm。由此可以發(fā)現(xiàn)，并不是任何凸二次曲面鏡都可應(yīng)用工藝球面補償檢測方法進行光學檢測。

圖2 工藝球面補償檢驗的Ray fan曲線

1.2 工藝球面補償檢測方法的像差模型的建立

由一系列球面和非球面組成的光學系統(tǒng)，其球差表面分布系數(shù)[8]：

其中：表示表面序號；h表示第一近軸光線在第面上的高度；P為該表面的球差系數(shù)；e為二次曲面的偏心率；n表示第面前的折射率；u第面的第一近軸光線的入射角。如圖3所示，非球面為透射面，工藝球面為反射面，求出三級球差的表達式。各個參量的表達式：

式中：0為圖中非球面頂點曲率半徑。根據(jù)近軸光路角度公式：

式中：R表示相應(yīng)序號表面的曲率半徑，若該表面為非球面，則表示為頂點曲率半徑，所以0=1。令=1，將式(2)中的參量代入式(5)中，整理上式可得：

對于補償檢測系統(tǒng)，光源處于有限遠距離，初級軸上球差為[8]

由式(6)可得1/，將其帶入式(8)中，波像差可表示為圓錐系數(shù)2和非球面鏡的相對孔徑=2/0的表達式：

根據(jù)瑞利判據(jù)可知，光學系統(tǒng)的波像差小于/4時，可以認為光學系統(tǒng)成像是完善的。所以，檢測凸二次曲面鏡的面形的光學系統(tǒng)的波像差必須小于/4，即凸二次曲面鏡的檢測光學系統(tǒng)完善成像。在實際光學系統(tǒng)中，波像差的大小會隨著高斯像點附近的參考點的選擇而異，所以總能在高斯像點附近找到一個位置，使得光學系統(tǒng)的波像差最小，而這個使得波像差最小的位置就是成像的最佳焦點位置。波像差推導過程中只考慮了光學系統(tǒng)的初級像差，對于這樣的光學系統(tǒng)，最佳焦點位置應(yīng)該在處，而邊緣帶球差為零，其最大剩余波像差在0.707環(huán)帶上[8]。所以波像差的表達式改為

1.3 工藝球面補償檢測的適用性判斷

以工藝球面為反射面，采用正向光路進行計算(即光線的方向為從左到右)。取透鏡的口徑為=500 mm，透鏡材料為熔石英，折射率=1.458 6。一般采用4干涉儀進行檢測，檢測波長為=632.8 nm。經(jīng)過計算可以發(fā)現(xiàn)，若將2的具體數(shù)值帶入能夠得出合理解的實數(shù)解。消去式(6)中的，得到關(guān)于的表達式，如下所示：

綜上所述，對于任意參數(shù)的凸二次曲面鏡，若采用工藝球面補償檢測，檢測系統(tǒng)的波像差需滿足瑞利判據(jù)，則凸二次曲面鏡的參數(shù)必須滿足式(10)、式(12)以及的取值。這也是判定不同圓錐系數(shù)和相對孔徑的凸二次曲面鏡能否采用工藝球面補償檢測的理論依據(jù)。由此可得：

其中：為比例關(guān)系的修正值，因為關(guān)于波像差計算過程中的近似以及誤差都可以通過的修正來使得理論值更加接近實際光線追跡的結(jié)果。現(xiàn)定義修正值，由式(11)求得的具體數(shù)值后，再計算其修正值。采用工藝球面補償檢測的凸二次曲面鏡的圓錐系數(shù)2以及相對孔徑的關(guān)系如圖4所示，在曲線下半部分區(qū)域內(nèi)的非球面都能夠滿足工藝球面補償檢測的條件。

在圖4中，實線表示實際光線追跡的曲線，虛線表示理論分析曲線。兩者之間的偏差主要在于，第一，理論推導過程中多次使用角度近似；第二，像差理論是在近軸光學的基礎(chǔ)上得以完善，而當孔徑角超過5°的時候，理論推導的誤差也就不能忽略了。所以這就造成了理論與實際的偏差，修正值的提出，能夠在一定程度上彌補這種偏差。經(jīng)過計算可以發(fā)現(xiàn)，，工藝球面半徑值無解，或者說沒有合理的解。

根據(jù)1.1中凸二次曲面鏡的技術(shù)參數(shù)，其點(2，)，即(1.05，0.555 6)，在曲線上方，不滿足檢測工藝球面補償檢測的條件。

2 工藝球面補償檢測方法的改進

2.1 有限距離正面補償原理

根據(jù)圖5所示，由光線的幾何關(guān)系很容易得出前組凹透鏡的焦距表達式：

利用方法求出前組透鏡的結(jié)構(gòu)參數(shù)。以無窮遠物距的歸一化特性參數(shù)表示有限遠物距的歸一化特性參數(shù)：

其中：2為透鏡第二面的曲率值。對前組透鏡的光焦度規(guī)一化，得到：

對于既定的球差值，將式(17)代入式(16)中，求得合理的透鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)值，再結(jié)合式(17)和式(18)得出透鏡表面的曲率半徑：

2.2 檢測系統(tǒng)設(shè)計及面形檢測結(jié)果

由圖5所示，可以將透鏡看作薄透鏡，設(shè)點至補償透鏡距離=1 200 mm，補償透鏡與待檢測透鏡間距=3 000 mm。設(shè)計時規(guī)定補償透鏡半口徑1=50 mm，而2=250 mm。凸二次曲面鏡的材料為熔石英，折射率=1.458 6。將參數(shù)代入式(2)、式(4)和式(6)可以分別求得：1=-0.066 6，=-0.626 4，Ⅰ=0.481 0。由于：

將和1代入式(20)中，求得1=592 2 mm，即是工藝球面的半徑值。

再將所設(shè)定的參數(shù)代入式(14)中，計算可得前組透鏡的焦距1=-2 000 mm。將所得的球差值和式(17)代入式(16)中，建立有關(guān)前組透鏡的形狀參數(shù)的方程：

前組補償鏡采用K9材料，其特性參數(shù)為：d=1.516 3，0=2.05，0=-1.25。經(jīng)計算整理可得：

解得：=-15.214 4或者17.547 8，取=-15.214 4。代入式(19)中，得：前組補償透鏡，。

Zemax對計算出的透鏡初始結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計。4D干涉儀的激光波長=632.8 nm，而刀口儀的鈉光波長=589.3 nm，優(yōu)化設(shè)計過程采用多重結(jié)構(gòu)，保證凸二次曲面鏡在修磨階段能夠用刀口儀或干涉儀進行檢測。將前端物距和補償透鏡至待檢測透鏡的間距設(shè)為補償量，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖5 有限距離正面補償檢測光路圖

表1 優(yōu)化后的檢測光路參數(shù)

Table 1 Data of light path after optimizing

由圖6和圖7所示的檢測系統(tǒng)波前像差不難發(fā)現(xiàn)，=632.8 nm干涉儀檢測時，補償方案的理論波像差PV=0.000 9，RMS=0.000 2；=589.3 nm刀口儀檢測時，補償方案的理論波像差PV=0.016 1，RMS=0.0035。設(shè)計結(jié)果優(yōu)于凸二次曲面鏡的技術(shù)要求，滿足實際應(yīng)用的需要。

圖6 檢測系統(tǒng)波像差(λ=632.8 nm)

圖7 檢測系統(tǒng)波像差(λ=589.3 nm)

根據(jù)裝配需求，對檢測系統(tǒng)進行公差分析。為了更好的約束公差，將公差分析的RMS Wavefront值約束在/25以下。補償鏡和工藝球面的半徑公差對補償檢測精度的影響遠遠沒有間距和待檢測元件的傾斜所帶來的影響更大。所以，在加工補償透鏡和工藝球面的時候，規(guī)定其半徑公差控制在1 μm以下，這對于成熟的球面加工工藝來說是很容易實現(xiàn)的。從公差分析來看，補償鏡的厚度、補償鏡和凸二次曲面鏡之間的間距公差控制在1 μm以內(nèi)，待檢測元件的傾斜在0.000 5°以下，這兩個因素都不僅僅是加工所能直接解決的，只能在凸二次曲面鏡的檢測過程中通過不斷的微調(diào)來保證檢測的精度。由此看來，為了降低系統(tǒng)的誤差，第一需要保證補償透鏡和工藝球面的半徑誤差；第二，在檢測過程中也依賴于完善的裝調(diào)方案。加工完成后，利用4D干涉儀檢測凸二次曲面鏡的面形，如圖8所示。PV=0.159 8，RMS=0.025 6，面形精度滿足技術(shù)要求。

圖8 凸雙曲面鏡的面形干涉圖

3 結(jié) 論

確定凸二次曲面鏡的口徑及材料，如若滿足前文所述的判定條件，凸二次曲面鏡便可用工藝球面補償?shù)姆椒ㄟM行檢測；如若不滿足上述條件，根據(jù)波像差的大小選擇合適的前組補償透鏡進行補償檢測。雖然上述判定條件存在一定的理論誤差，文中所述的改進方法也不能作為凸二次曲面鏡檢測的完備方法，但是無論是從波像差概念出發(fā)的理論分析，還是對于傳統(tǒng)工藝球面補償檢測方法的改進都為非球面檢測的分析和設(shè)計提供了新的思路。

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Compensation Testing of Technological Spherical Surface for Convex Quadric Surface

CHEN Ze1,2，HU Mingyong3，ZHAO Qi3，F(xiàn)AN Errong3

( 1. Nanjing Astronomical Instruments Research Center, Chinese Academy of Sciences, Nanjing210042, China; 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. Academy of Photoelectric Technology, Hefei University of Technology, Hefei230009, China)

In the testing of aspheric surface, the method of spherical compensation testing is always applied widely. Referring to the limitation of this method, the conditions are put forward which the aspheric surface has to meet. According to aberration theory and Rayleigh criterion, we could get the principles of applying the spherical compensation testing method to test convex quadric surface. And according to the compensation tests with the beam incidence at a distance, we can improve the method of spherical compensation testing. After accomplishing the manufacture of convex quadric surface mirror, the finial consequence shows that the theory and practices in this article can determine that spherical compensation testing can not be used to the test of this convex hyperboloidal surface mirror andPVof the surface is 0.158 9which is better than/6 (=632.8 nm) under the use of combined compensation testing.

optical test; Rayleigh criterion; convex quadric surface; aberration theory

1003-501X(2016)09-0056-06

O435.2；TN247

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.09.010

2015-09-25；

2016-03-01

陳澤(1991-)，男(漢族)，江蘇揚州人。碩士研究生，主要研究工作是光學設(shè)計、加工及檢測。E-mail：taijiguiyi@163.com。