黃求標(biāo)（泰寧第一中學(xué)，福建泰寧354400）

高中信息技術(shù)與數(shù)學(xué)算法教學(xué)整合的若干思考

黃求標(biāo)
（泰寧第一中學(xué)，福建泰寧354400）

高中數(shù)學(xué)算法教學(xué)普遍存在“紙上談兵”的問(wèn)題，應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助軟件制作程序框圖十分簡(jiǎn)單，能編譯為可執(zhí)行文件運(yùn)行，立即檢驗(yàn)算法是否正確，非常適合高中師生講解或研習(xí)算法使用。

算法教學(xué)；程序框圖；程序代碼；編譯

在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，算法模塊中要求學(xué)生通過(guò)模仿、操作、探索，學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程；體會(huì)算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力，提高邏輯思維能力［1］。教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》在闡述高中數(shù)學(xué)課程的基本理念時(shí)，明確指出，當(dāng)今知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，計(jì)算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)相融合，正在對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的組織和呈現(xiàn)方式、數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程與方法產(chǎn)生深刻影響。教師應(yīng)盡可能使用各種教育技術(shù)手段，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的融合，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)手段進(jìn)行探索與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。

一、算法教學(xué)存在的問(wèn)題

算法作為具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)的教科書(shū)中，讓一些數(shù)學(xué)教師覺(jué)得難以適應(yīng)，算法教學(xué)該如何開(kāi)展，學(xué)生如何學(xué)習(xí)算法，這些問(wèn)題擺在了每一個(gè)高中教師的面前。信息技術(shù)作為一種現(xiàn)代教學(xué)手段如何更好的服務(wù)教學(xué)，提高教學(xué)效果。然而，放眼高中數(shù)學(xué)算法教學(xué)課堂，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在諸多問(wèn)題：

1.教師的算法水平和實(shí)現(xiàn)能力偏低，只會(huì)“紙上談兵”

算法是高中數(shù)學(xué)新課改課程新增內(nèi)容。許多一線高中數(shù)學(xué)教師，尤其是年齡較大的教師，求學(xué)期間沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)算法，在職培訓(xùn)也沒(méi)有及時(shí)有效跟進(jìn)，他們?nèi)狈υ谟?jì)算機(jī)上驗(yàn)證程序的意識(shí)和能力，一般只能機(jī)械地講講程序框圖，只會(huì)“紙上談兵”式地模擬計(jì)算機(jī)執(zhí)行程序框圖，幾乎從不安排學(xué)生集體上機(jī)實(shí)踐，從而將本來(lái)實(shí)踐性強(qiáng)、生動(dòng)有趣的內(nèi)容變成了機(jī)械呆板、枯燥乏味的說(shuō)教。

2.“固化”“機(jī)械”的高考題型助長(zhǎng)了教師的“紙上談兵”

由于許多省市高考似乎就只考“根據(jù)程序框圖寫(xiě)出程序運(yùn)行結(jié)果”這種題型，而且往往只需照著框圖模擬運(yùn)行幾趟（一般是3至6趟）就能直接得到結(jié)果，這種極端機(jī)械的題型，使得大部分一線數(shù)學(xué)教師和學(xué)生堅(jiān)信只需“紙上談兵”即可，從而大大削弱了算法教學(xué)。

3.算法教學(xué)存在兩大“結(jié)構(gòu)性”障礙，讓師生止步于“紙上談兵”

⑴分析問(wèn)題時(shí)，得到了用自然語(yǔ)言表示的解題步驟，然后把它轉(zhuǎn)化為程序框圖，那么怎么實(shí)現(xiàn)這個(gè)“轉(zhuǎn)化”？無(wú)論是在紙上還是在黑板或白板上畫(huà)，無(wú)論用鉛筆還是粉筆或白板筆或者用Word、Visio軟件畫(huà)程序框圖，都費(fèi)時(shí)費(fèi)力！

⑵好不容易畫(huà)出程序框圖后，再怎么轉(zhuǎn)化為程序？這個(gè)框圖是給人看的，是人與人之間交流算法思想時(shí)用的，根本不能由計(jì)算機(jī)運(yùn)行，只能用于紙上談兵式的手工模擬！只有將它轉(zhuǎn)換為程序，才能由計(jì)算機(jī)執(zhí)行。由于學(xué)生先學(xué)程序框圖，還不會(huì)寫(xiě)代碼，因此無(wú)法寫(xiě)出代碼驗(yàn)證算法。如果先學(xué)算法語(yǔ)句，學(xué)會(huì)編寫(xiě)程序代碼，則又淡化了算法思想的主導(dǎo)作用，違背了算法教學(xué)的初衷：重在理解算法思想，不要上成程序設(shè)計(jì)課，這就是算法思想與程序?qū)崿F(xiàn)之間的結(jié)構(gòu)性矛盾：從邏輯上講，先有算法思想，再編程實(shí)現(xiàn)；但從技術(shù)上講，先要編寫(xiě)程序，運(yùn)行程序才能實(shí)現(xiàn)算法檢驗(yàn)算法——這樣就陷入了類似于先有“雞”還是先有“蛋”的“怪圈”。

離開(kāi)算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，在紙上空談算法是荒謬的。那么，如何激活機(jī)械呆板、死氣沉沉的算法教學(xué)呢？歸根到底，算法就是人們?yōu)榱吮阌谟糜?jì)算機(jī)解決問(wèn)題而創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)運(yùn)算模型，由于上述諸多原因，倒在了離它被實(shí)現(xiàn)被實(shí)證的“最后一米”！傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的“師-生”（或“師-演示電腦-生”）模式無(wú)法逾越這道“數(shù)字鴻溝”，必須引入“生-機(jī)（電腦）”模式，用信息技術(shù)破解本來(lái)就屬于信息技術(shù)范疇的算法教學(xué)的困境，為算法思想的實(shí)現(xiàn)插上飛翔的翅膀。

算法最直觀形象的表示方法就是流程圖（即程序框圖），因此，流程圖就是高中算法教學(xué)的“牛鼻子”！無(wú)論用什么工具畫(huà)流程圖，畫(huà)出來(lái)的圖都是“死”圖，這個(gè)圖不能象真正的程序一樣由計(jì)算機(jī)運(yùn)行，是否正確只能在紙上模擬。一個(gè)能精確表示算法的流程圖，卻不能成為真正可運(yùn)行的程序，從而使算法教學(xué)嚴(yán)重依附于程序設(shè)計(jì)，成為其附屬物，甚至累贅！這導(dǎo)致兩種后果：一是象數(shù)學(xué)上的算法課那樣，算法的“實(shí)現(xiàn)”用紙上談兵式的手工“模擬”代替（純講算法，忽視實(shí)現(xiàn)），二是像信息技術(shù)課程中的程序設(shè)計(jì)那樣，把“雞肋”似的算法直接忽略（講了程序，算法就顯得多余）！

二、信息技術(shù)在數(shù)學(xué)算法教學(xué)上的運(yùn)用

學(xué)習(xí)算法，關(guān)鍵在于編寫(xiě)出讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行的程序。看到計(jì)算機(jī)執(zhí)行自己的程序并快速準(zhǔn)確地給出問(wèn)題的解答，會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)算法的成就感；另一方面，若執(zhí)行程序未得到自己預(yù)期的答案，則可以對(duì)自己的算法和程序進(jìn)行檢查，

通過(guò)實(shí)踐中的問(wèn)題學(xué)習(xí)算法可以加深對(duì)算法及程序的認(rèn)識(shí)和理解［2］。如果在算法課堂上，學(xué)生用拖拽圖標(biāo)的方式輕松地繪制流程圖，系統(tǒng)自動(dòng)生成程序代碼，這樣就使流程圖成為可執(zhí)行的“活”圖，算法就成為可立即運(yùn)行檢驗(yàn)的“活”思想，那么學(xué)生在研究、設(shè)計(jì)算法時(shí)，就暫時(shí)不必理會(huì)程序語(yǔ)言代碼和實(shí)現(xiàn)的細(xì)節(jié)，只需專注于算法思想，這樣就大大降低了算法入門(mén)的門(mén)檻，算法就可以獨(dú)立于程序設(shè)計(jì)，而成為程序設(shè)計(jì)的先導(dǎo)內(nèi)容，真正成為程序的靈魂。顯然，高中師生需要這樣的工具平臺(tái)，來(lái)輔助解決兩個(gè)問(wèn)題：一是快捷方便地繪制程序框圖，二是自動(dòng)編程實(shí)現(xiàn)算法驗(yàn)證算法。

算法是求解某一類問(wèn)題所采用的一組定義明確、操作有序的步驟。通俗地說(shuō)，就是計(jì)算機(jī)解題的過(guò)程。對(duì)算法進(jìn)行描述，通?？梢允褂米匀徽Z(yǔ)言、程序框圖、程序代碼等方式。

例如，用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算圓的面積，即用自然語(yǔ)言描述算法［3］：

第1步：用戶要把圓的半徑r的值告訴計(jì)算機(jī)，即輸入圓的半徑r；

第2步：計(jì)算機(jī)用公式S=πr2計(jì)算圓的面積（圓周率也要明確告知計(jì)算機(jī)）；

第3步：計(jì)算機(jī)要把圓的面積S的值反饋給用戶，即輸出圓的面積S。

這種用自然語(yǔ)言描述的算法不直觀，有時(shí)可能還有歧義，計(jì)算機(jī)也不明白人類的語(yǔ)言。于是，人們就想出了另外一種形式——用一種特定的圖形把算法直觀、準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái)，這就是程序框圖。啟動(dòng)軟件，“流程圖窗口”中會(huì)自動(dòng)創(chuàng)建了一個(gè)“最簡(jiǎn)單”的程序框圖：一個(gè)“開(kāi)始”圖標(biāo)和一個(gè)“結(jié)束”圖標(biāo)，在這兩個(gè)圖標(biāo)之間有一條“流程線”，如圖1所示。用軟件計(jì)算圓的面積操作如下。

第1步：輸入圓的半徑。點(diǎn)擊“圖標(biāo)工具箱”，選擇“輸入”圖標(biāo)（平行四邊形），按住鼠標(biāo)左鍵拖拽到流程線上，至出現(xiàn)虛線框時(shí)釋放左鍵，插入一個(gè)“輸入”圖標(biāo)。輸入字母r，表示圓的半徑（為嚴(yán)謹(jǐn)起見(jiàn)，向圖標(biāo)內(nèi)鍵入的內(nèi)容在文章中一律加下劃線表示，實(shí)際錄入時(shí)則不必加下劃線）。

圖1 用畫(huà)程軟件繪制“計(jì)算圓的面積”程序框圖

第2步：用公式計(jì)算圓的面積。點(diǎn)擊“圖標(biāo)工具箱”，選擇“處理”圖標(biāo)（矩形），拖拽一個(gè)“處理”圖標(biāo)到流程線上，在圖標(biāo)里面輸入計(jì)算圓的面積的公式：S= 3.14159*r^2，變量S表示圓的面積，圓周率π直接給出常數(shù)3.14159，乘號(hào)用“*”號(hào)表示，r是半徑，乘方符號(hào)“^”是主鍵盤(pán)數(shù)字6的上檔鍵，按住Shift鍵不放，再按下6，這樣就輸入了乘方符號(hào)“^”。

第3步：輸出圓的面積。點(diǎn)擊“圖標(biāo)工具箱”，選擇“輸出”圖標(biāo)（平行四邊形），拖拽到流程線上釋放，在輸出圖標(biāo)內(nèi)鍵入變量S。

結(jié)果表明，這個(gè)程序框圖所對(duì)應(yīng)的程序代碼是正確的，從而也表明程序框圖是正確的。

再來(lái)分析一下復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題——考拉茲猜想。

（一）算法設(shè)計(jì)

德國(guó)數(shù)學(xué)家考拉茲（Lothar Collatz）于1930年代提出考拉茲猜想，又名3n+1猜想或冰雹猜想，是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2，如此循環(huán)，最終都能得到1。設(shè)計(jì)算法驗(yàn)證考拉茲猜想（當(dāng)然只能是在有限的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)驗(yàn)證），還是先用自然語(yǔ)言來(lái)描述算法：

第1步輸入n（正整數(shù)）；

第2步若n為偶數(shù)，則將其除以2，否則（n為奇數(shù)），將其乘以3后加上1，結(jié)果仍用n表示；

第3步如果n=1，退出到第4步，否則轉(zhuǎn)回到第2步；

第4步輸出“考拉茲猜想成立！”

此時(shí)，用《畫(huà)程》軟件繪制流程圖：

第1步，拖入一個(gè)輸入圖標(biāo)，在其內(nèi)鍵入n；

第2步，拖入一個(gè)判斷-分支圖標(biāo)，條件怎么寫(xiě)？“n是偶數(shù)”，如何用計(jì)算機(jī)的語(yǔ)言表達(dá)呢？n除以2所得余數(shù)為0。在VB［4］或QBX7.1中用mod表示取余運(yùn)算，如5 mod 3表示5除以3所得余數(shù)（為2），所以鍵入條件n mod 2=0，在“是分支”里拖入一個(gè)“處理”圖標(biāo)，在“處理”圖標(biāo)里鍵入賦值語(yǔ)句n=n2。在“否分支”里拖入一個(gè)“處理”圖標(biāo)，鍵入賦值語(yǔ)句n=n*3+1（如圖2）。

第3步，這里有一個(gè)詞非常關(guān)鍵：“轉(zhuǎn)回”！也就是說(shuō)，流程線要回到上面來(lái)！要用“判斷-循環(huán)”圖標(biāo)，拖入一個(gè)“判斷-循環(huán)”圖標(biāo)，條件怎么寫(xiě)呢？鍵入n=1，“如果n=1則退出”，所以這個(gè)“否”與“是”要交換，只要雙擊“是”或“否”就改變了（如圖3）?！胺駝t，轉(zhuǎn)回第2步”，要轉(zhuǎn)到上面來(lái)，怎么操作呢？流程線不能拖動(dòng)，可以把上面的條件結(jié)構(gòu)拖拽到循環(huán)返回線的下面來(lái)（如圖3），這樣就實(shí)現(xiàn)了“轉(zhuǎn)回第2步”。

第4步，拖入一個(gè)輸出圖標(biāo)，鍵入“考拉茲猜想成立！”（如圖4）

（二）三種基本結(jié)構(gòu)

人們已經(jīng)證明：任何復(fù)雜的程序結(jié)構(gòu)，都可以用三種基本結(jié)構(gòu)（順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)）或它們的組合來(lái)表示。

本例的總體結(jié)構(gòu)是：①輸入n；②驗(yàn)算考拉茲猜想；③輸出結(jié)論。它們構(gòu)成了順序結(jié)構(gòu)，其中“驗(yàn)算考拉茲猜想”就是循環(huán)結(jié)構(gòu)（由判斷-循環(huán)圖標(biāo)“n=1”主導(dǎo)），而“n是否偶數(shù)”組成的條件結(jié)構(gòu)，嵌套于上述的循環(huán)結(jié)構(gòu)的循環(huán)體內(nèi)，這樣，本例同時(shí)包含了三種基本結(jié)構(gòu)。

（三）單步運(yùn)行

保存剛才所畫(huà)流程圖，編譯、運(yùn)行程序（注意n為正整數(shù)，且任何時(shí)候n不超出2147483647）。這個(gè)程序很快就輸出“考拉茲猜想成立！”由于其中間運(yùn)行過(guò)程看不到，是不是有點(diǎn)不放心？選擇“單步運(yùn)行”功能，可以一步一步地運(yùn)行程序，用戶可以“看清”每步運(yùn)行的結(jié)果。單擊“單步運(yùn)行”工具，彈出一個(gè)提示框，單擊“確定”按鈕，彈出“單步運(yùn)行”窗體，單擊“開(kāi)始”（或“下一步”）按鈕將開(kāi)始單步運(yùn)行（若勾選“自動(dòng)”復(fù)選框，則自動(dòng)單步運(yùn)行（如圖5）。

圖5“單步運(yùn)行”窗體展示程序每一步運(yùn)行的狀況

信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)算法教學(xué)整合能幫助學(xué)生從枯燥、深?yuàn)W的算法理論上升到理解、消化知識(shí)的高度。信息技術(shù)為學(xué)生提供直觀、易操作讓學(xué)生所見(jiàn)所得的算法內(nèi)函展示，使深?yuàn)W的數(shù)學(xué)算法理論通過(guò)手、眼、腦等多種器官的刺激深深扎根于學(xué)生的知識(shí)體系中。

［1］數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2000.

［2］張景中.超級(jí)畫(huà)板自由行［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

［3］伍先軍.流程圖（程序框圖）高考題型例解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（3）.

［4］張福祥.VB程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)工業(yè)［M］.北京：中國(guó)電力出版社，2003.

（責(zé)任編輯：鄒開(kāi)煌）